Problemi di geometria su circonferenze
1. Considera una corda AB di una circonferenza di centro O, che non sia diametro. Considera un punto C appartenente
⌢
⌢
\ e ADB
\ sono supplementari.
all’arco minore AB e un punto D appartenente all’arco maggiore AB. Dimostra che ACB
2. Considera un punto P su una circonferenza di diametro AB e centro O. Traccia i segmenti PA, PB e la semiretta PO
\
di origine P che incontra ulteriormente la circonferenza in D. Posto P
AB = α, esprimi in funzione di α gli angoli
della figura. Come sono i segmenti AP e BD?
3. PQ e RS sono due corde parallele di una circonferenza. Indicato con O il punto di intersezione di QS con PR,
dimostra che sono congruenti i triangoli PRS e QRS, PRQ e PSQ. Che tipi di triangoli sono OPQ e ORS?
\ sia doppio dell’angolo CBA.
\
4. Su una circonferenza di diametro AB considera un punto C in modo che l’angolo CAB
Dimostra che la corda AC è congruente al raggio della circonferenza.
5. Siano AB e CD due archi congruenti di una circonferenza, senza punti in comune. Dimostra che il quadrilatero
ABCD è un trapezio isoscele.
6. Due circonferenze sono tangenti internamente e quella più interna passa per il centro C di quella più esterna. Dal
punto P di tangenza conduci una semiretta che incontra la circonferenza maggiore in R e quella minore in Q. Dimostra
che P R ∼
= 2P Q.
\ che interseca ulteriormente
7. Traccia due corde AB e AC di una circonferenza. Traccia la bisettrice dell’angolo BAC,
la circonferenza in D. Traccia la corda DE parallela ad AC. Dimostra che:
\∼
\
(a) EAD
= BDA.
(b) Il quadrilatero BEAD è un trapezio isoscele.
8. Dimostra che se in una circonferenza due corde congruenti AB e CD vengono prolungate di due segmenti congruenti
BP e DQ, allora l’asse del segmento PQ passa per il centro (suggerimento: l’asse del segmento è il luogo dei punti...).
9. Per ognuno dei seguenti poligoni, determina se è inscrittibile o circoscrivibile ad una circonferenza: triangolo,
quadrato, rettangolo, parallelogramma, rombo, trapezio scaleno, trapezio rettangolo, trapezio isoscele.
10. Un quadrilatero ABCD è inscritto in una circonferenza e i prolungamenti dei lati BC e AD si incontrano in E.
Dimostra che il triangolo CDE ha gli angoli congruenti a quelli del triangolo ABE.
11. Considera una circonferenza di diametro AB e centro O e traccia due corde AC e AD, da parti opposte rispetto
ad AB. Indica con M e N, rispettivamente, i punti medi di AC e AD. Dimostra che ANOM è inscrivibile in una
circonferenza. Dove sta il centro di questa circonferenza?
12. (Figura 1) Da un punto E esterno ad una circonferenza di centro O si tracciano due semirette che intersecano la
\ = 42◦ e DOB
\ = 134◦ , calcolare
circonferenza rispettivamente nei punti D e A e nei punti C e B. Sapendo che AEB
le ampiezze degli angoli del quadrilatero ABCD.
13. (Figura 2) Si considerino due corde parallele AB e CD di una circonferenza, tali che AC e BD si intersechino in un
punto E interno alla circonferenza.
\ = x, determinare in funzione di x gli angoli (giustificando la risposta): ABE,
\ EDC,
\ DCE,
\ AEB,
\
a) Detto CAB
\ DEA
\ e CEB.
\
DEC,
\
b) Supponendo che DC sia congruente al raggio della circonferenza, calcolare la misura, in gradi, di DAC.
14. (Figura 3) Determinare la somma degli angoli segnati in figura.
\
15. Due corde VX e WY di una circonferenza si intersecano nel punto Z. Sapendo che XV
W = 72◦ e che V\
XY = 38◦ ,
\
determina l’ampiezza di V ZW .
16. Da un punto R esterno ad una circonferenza traccia due tangenti che intersecano la circonferenza rispettivamente in
[ , sapendo che SU
[
S e in T. Calcola l’ampiezza di SRT
T = 72◦ .
1
17. Dimostra che la circonferenza avente per diametro uno dei lati di un triangolo interseca gli altri due lati nei piedi
delle altezze ad essi relative.
18. Due circonferenze sono tangenti esternamente in A, e una retta tangente comune t tocca la prima circonferenza in
B e la seconda in C.
\ è retto.
(a) Dimostra che l’angolo BAC
(b) Dimostra che se si prolunga la corda BA fino ad incontrare la seconda circonferenza in D, la congiungente CD
è un diametro della seconda circonferenza.
19. Dimostra che il circocentro di un triangolo coincide con l’ortocentro del triangolo che si ottiene congiungendo i punti
medi del triangolo di partenza.
Cognome e Nome:
Data:
Don Bosco 2015/16, Classe 2A - Secondo compito in classe di Matematica (simulazione)
1. Il costo totale di due vestiti è di 80 euro. Dopo uno sconto del 10% per il primo vestito, e del 20% per il secondo
vestito, il prezzo complessivo scende a 67 euro. Determina il prezzo originario di ciascun vestito.
2. In un supermercato si vendono confezioni di biscotti da mezzo kilogrammo a 1 euro, da un kilogrammo a 2 euro,
e da due kilogrammi a 3 euro. Calcola quante confezioni sono state vendute per ogni tipo, sapendo che sono stati
incassati in totale 46 euro, sono stati venduti in totale 24 kg di biscotti e che sono state vendute 8 confezioni in più
di biscotti da mezzo kilogrammo rispetto a quelle da due kilogrammi.
3. Adriana deve preparare una soluzione di 12 litri di etanolo e acqua. Sapendo che l’etanolo presente nella soluzione
deve avere una massa pari a quattro volte quella dell’acqua, e che un kg di etanolo occupa 1,25 litri mentre un kg
d’acqua occupa 1 litro, di quanti litri di etanolo ha bisogno Adriana?
4. Una bicicletta ha due ruote di dimensioni diverse, e ogni volta che la più grande compie 5 giri completi la più piccola
ne compie 7. Determina il raggio delle due ruote sapendo che la somma dei diametri delle due ruote è 48 cm.
5. L’auto dell’autonoleggio consuma 1 litro di benzina ogni 5 km percorsi.
(a) Scrivi l’equazione della funzione che fornisce i litri di benzina consumati in funzione dei km percorsi, e tracciane
il grafico.
La benzina costa 2 euro al litro, e il noleggio costa 10 euro (fissi).
(a) Scrivi l’equazione della funzione che fornisce il costo totale del viaggio di Mario in funzione dei km percorsi, e
tracciane il grafico.
(b) Se Mario ha speso in totale 45 euro, quanti km ha percorso?
6. Il parcheggio A costa 2 euro all’ora. Il parcheggio B costa 3 euro all’ora per le prime 4 ore, e 1 euro all’ora per
le restanti. Determina le equazioni e traccia il grafico delle funzioni che rappresentano il costo dei due parcheggi.
Quando conviene il parcheggio B?
7. Vuoi incorniciare con una cornice rettangolare di spessore x cm una foto di dimensioni 10 cm x 5 cm. Esprimi in
funzione di x l’area della cornice e traccia il grafico della funzione.
