APPUNTI DI GEOMETRIA EUCLIDEA AA 2014/15 Euclide

APPUNTI DI GEOMETRIA EUCLIDEA A.A. 2014/15
Euclide (Gela-?-323 a.C. 285 a.C.)
Molte conoscenze matematiche erano note dai tempi più antichi per fini pratici (misurazioni, ripartizioni di
stipendi, tasse..): era un approccio pragmatico, non si davano teoremi generali, ma venivano descritti molti
esempi di casi pratici. Ne abbiamo documentazione, ad esempio, da tavolette di argilla babilonesi e da pergamene
egizie. Furono i greci a cambiare modo di operare, distinguendo una matematica pratica da una teoria che era
conoscenza, capendo che era possibile ragionare in termini astratti, e procedendo con un metodo logico deduttivo
arrivare a conclusioni. I greci con i loro principi di democrazia e la loro logica aristotelica, introdussero il concetto
di dimostrazione, che garantiva che una conoscenza poteva essere accettata da chiunque, perché chiunque ne
poteva condividere i percorsi che la producevano, non perché imposta.
Dunque, per la prima volta negli Elementi di Euclide, la matematica viene impostata come teoria assiomatica,
introducendo cioè pochi enti fondamentali (punti, rette, angoli retti) e il numero minimo di regole del gioco,
ovvero gli assiomi. A partire da queste informazioni, si costruiscono le definizioni degli altri enti della teoria, e,
tramite ragionamento logico deduttivo, si indaga. La scelta iniziale di enti primitivi e assiomi non era del tutto
astratta, ma motivata dall ’osservazione del mondo tangibile. La geometria era infatti intesa come un modello
ideale della realtà della natura: di fatto i greci si riferivano a concetti astratti avendo in mente la geometria
che vedevano con gli occhi. Cosi gli assiomi sono la codifica formale di proprietà osservate e idealizzate. Questo
punto di vista impedisce di prendere in considerazione l ’esistenza di modelli geometrici del tutto svincolati dalla
realtà esperienziale, cosa che sarà superata solo sul finire dell ’ Ottocento, con il positivismo (cfr. assiomatica
di Hilbert). Dunque fino ad Hilbert il modello matematico della geometria Euclidea sarà l ’unica geometria
studiata.
1. Struttura degli Elementi
Sono divisi in 13 libri; i primi I-IV e il VI sono dedicati alla geometria piana, il libro V alla teoria delle
proporzioni, i libri VII, VIII e IX alla aritmetica, il libro X alla teoria degli irrazionali, i libri XI, XII e XIII
alla geometria solida.
Libro I. Dopo tre serie di princpi (definizioni, postulati, assiomi), che costituiscono una specie di introduzione
generale a tutta l ’opera, vengono esposte l ’uguaglianza dei triangoli, la teoria delle perpendicolari, la teoria
delle parallele, la teoria dell ’equivalenza dei poligoni. Nel libro I si notano: la prop. 32 (somma degli angoli
interni di un triangolo) e la prop. 47-48 (teorema di Pitagora e suo inverso) col quale si conclude.
Libro II. più breve del primo, vengono ripresi e condotti a termine alcuni procedimenti già iniziati nel libro
precedente, vi si trova il calcolo del medio proporzionale e la quadratura di un poligono qualunque, cioè alla
costruzione di un quadrato equivalente ad un poligono dato. Si tratta di una sorta di algebra geometrica, che
conduce, sotto forma di costruzione geometrica, alla soluzione delle più semplici equazioni di secondo grado: la
teoria di tali equazioni viene completata nel VI libro.
Libro III. E ’ dedicato alla teoria del cerchio.
Libro IV. Si danno le costruzioni dei poligoni regolari inscritti e circoscritti (triangolo, quadrato, esagono,
pentagono e pentadecagono).
Libro V. Contiene la teoria generale delle grandezze e delle proporzioni.
Libro VI. Contiene le applicazioni geometriche della teoria delle proporzioni: vengono cioè studiate le proprietà
dei poligoni simili (segmento terzo, quarto proporzionale, sezione aurea di un segmento). Termina con la
generalizzazione dei problemi di quadratura affrontati nel secondo libro: un poligono viene trasformato in un
altro equivalente di forma assegnata.
Libri VII, VIII, IX. Sono i libri aritmetici degli elementi, dove aritmetica è da intendersi nel senso della
teoria dei numeri: vengono trattati quasi esclusivamente i numeri interi e le loro proprietà (proporzione tra
numeri interi, massimo comun divisore e minimo comune multiplo, decomposizione dei numeri interi in fattori
primi, numeri notevoli, potenze, progressione geometrica). Le proprietà sono sempre studiate in generale, senza
dare un solo esempio numerico.
Libro X. Più lungo e complesso, studia in modo minuzioso e raffinato le cosiddette irrazionalità quadratiche,
ossia i numeri irrazionali che si ottengono mediante estrazioni di radici ripetute (retta mediale a b, binomiale
a + b, apòtome a - b, prima bimediale a b + c b, apòtome di bibediale a b - c b , ....) Alcune di queste linee si
ritrovano nello studio dei poliedri regolari nei libri seguenti.
Libri XI, XII, XIII. Vi sono svolti i principi della stereometria. Vi èapplicato il metodo di esaustione per
la determinazione di alcune aree pianee del volume della piramide. Termina con lo studio dei cinque poliedri
regolari (solidi platonici): tetraedro, cubo, ottaedro, icosaedro, dodecaedro.
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I libri non hanno commenti, sono strutturati tutti con una lista iniziale di definizioni, che sono una dichiarazione
degli enti primitivi, postulati e nozioni comuni, in apertura del primo libro. A seguire compaiono le definizioni
di enti costruiti a partire dai precedenti, assieme ai risultati. I libri sono strutturati come liste di proposizioni
numerate e rigorosamente ordinate dal punto di vista logico: ciascuna ha la sua dimostrazione basata su ciò
che è stato definito e dimostrato precedentemente. Questa cura è parte essenziale di ogni teoria matematica: il
metodo logico deduttivo esclude ogni cortocircuito logico, un errore che invece ricorre nella pratica scolastica.
Un cortocircuito si verifica quando si prova a dimostrare un teorema applicando un risultato la cui dimostrazione
utilizza lo stesso teorema che vogliamo dimostrare: ciò non è ammissibile. Per il testo completo vedere in rete,
ad esempio sul sito www.matematicamente.it/cultura/storiadellamatematica
2. I postulati di Euclide
Il libro I degli Elementi contiene:
23 Definizioni
5 Postulati, leggi specifiche della geometria,
5 Nozioni comuni, leggi applicabili a tutte le scienze, originariamente dette assiomi;
48 Proposizioni o Teoremi.
Nota Il linguaggio di oggi delle teorie assiomatiche non distingue tra nozioni comuni e postulati, intendendo
con la parola assioma ciascuna regola che fa parte del pacchetto iniziale da cui muove la teoria. Tradizionalmente,
quando ci si riferisce alla geometria Euclidea, i primi 5 assiomi di Euclide continuano ad essere chiamati postulati,
e gli altri nozioni comuni.
La distinzione tra nozioni comuni e postulati risale ad Aristotele: i postulati, applicabili solo alla geometria,
non necessitano di essere conosciuti come veri perché la loro verità è confermata dal fatto che i risultati da
questi dedotti concordino con la realtà; gli assiomi, invece, sono verità applicabili a tutte le scienze. In realtà,
nella successiva storia della matematica, anche le nozioni comuni furono accettate come verità che non potevano
essere messe in discussione, almeno fino alla nascita della geometria non euclidea.
DEFINIZIONI (TERMINI) I. Punto è ciò che non ha parti.
II. Linea è lunghezza senza larghezza.
III. Estremi di una linea sono punti.
IV. Linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai punti su essa (cioè, ai suoi punti).
V. Superficie e ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza.
VI. Estremi di una superficie sono linee.
VII. Superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette su essa (cioè, alle sue rette).
VIII. Angolo piano è l ’inclinazione reciproca di due linee su un piano, le quali si incontrino fra loro e non
giacciano in linea retta.
IX. Quando le linee che comprendono l’angolo sono rette l ’angolo si chiama rettilineo.
X. Quando una, retta innalzata su una [altra] retta forma gli angoli adiacenti uguali fra loro, ciascuno dei due
angoli uguali è retto, e la retta innalzata si chiama perpendicolare a quella su cui e innalzata.
XI. Angolo ottuso è quello maggiore di un retto.
XII. Angolo acuto è quello minore di un retto.
XIII. Termine è ciò che è estremo di qualche cosa.
XIV. Figura è ciò che è compreso da uno o più termini.
XV. Cerchio è una figura piana compresa da un’unica linea [che si chiama circonferenza] tale che tutte le rette,
le quali cadano sulla [stessa] linea, [cioè sulla circonferenza del cerchio,] a partire da un punto fra quelli che
giacciono internamente a1la figura, sono uguali fra loro.
XVI. Quel punto si chiama centro del cerchio.
XVII. Diametro del cerchio è una retta condotta per il centro e terminata da ambedue le parti dalla circonferenza del cerchio, la quale retta taglia anche il cerchio per metà.
XVIII. Semicerchio è la figura compresa dal diametro e dalla circonferenza da essotagliata. E centro del semicerchio è quello stesso che è anche centro del cerchio.
XIX. Figure rettilinee sono quelle comprese da rette, vale a dire: figure trilatere quelle comprese da tre rette,
quadrilatere quelle comprese da quattro, e multilatere quelle comprese da più di quattro rette.
XX. Delle figure tri1atere, è triangolo equilatero quello che ha i tre lati uguali, isoscele quello che ha soltanto
due lati uguali, e scaleno quello che ha i tre lati disuguali.
XXI. Infine, delle figure trilatere, è triangolo rettangolo quello che ha un angolo retto, ottusangolo quello che
ha un angolo ottuso, ed acutangolo quello che ha i tre angoli acuti.
XXII. Delle figure quadrilatere, è quadrato quella che è insieme equilatera ed ha gli angoli retti, rettangolo
quella che ha gli angoli retti, ma non è equilatera, rombo quella che è equilatera, ma non ha gli angoli retti,
romboide quella che ha i lati e gli angoli opposti uguali fra loro, ma non è equilatera né ha gli angoli retti. E
le figure quadrilatere oltre a queste si chiamino trapezi.
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XXIII. Parallele sono quelle rette che, essendo nello stesso piano e venendo prolungate illimitatamente dall’una
e dall’altra parte, non si incontrano fra loro da nessuna delle due parti.
POSTULATI
I. Risulti postulato: che si possa condurre una linea retta da un qua1siasi punto ad ogni altro punto.
II. E che una retta terminata (= finita) si possa prolungare continuamente in linea retta.
III. E che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro ed ogni distanza (= raggio).
IV. E che tutti gli angoli retti siano uguali fra loro.
V. E che, se una retta venendo a cadere su due rette forma gli angoli interni e da1la stessa parte minori di due
retti (= tali che la loro somma sia minore di due retti), le due rette prolungate illimitatamente verranno ad
incontrarsi da quella parte in cui sono gli angoli minori di due retti (= la cui somma è minore di due retti).
NOZIONI COMUNI
I. Cose che sono uguali ad una stessa sono uguali anche fra loro.
II. E se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità sono uguali.
III. E se da cose uguali sono sottratte cose uguali, i resti sono uguali.
VII. E cose che coincidono fra loro sono fra loro uguali.
VIII. Ed il tutto è maggiore della parte.
—————IV. E se cose uguali sono addizionate a cose disuguali, le totalità sono disuguali.
V. E doppi di una stessa cosa sono uguali fra loro.
VI. E metà di una stessa cosa sono uguali fra loro.
Dagli assiomi si possono dedurre delle relazioni di incidenza fra punti, rette e piani. Ad esempio:
Per un punto passano infinite rette;
Per due punti distinti passa una ed una sola retta;
Data una retta nel piano ed un punto fuori da essa, per esso passa una ed una sola retta parallela alla data.
(Questa affermazione è equivalente al V postulato).
Nota La retta è quello che noi chiamiamo segmento, la definizioni primitive sono gli enti, rappresentati dalle
parole in corsivo, la spiegazione che segue non è una definizione, ma una spiegazione intuitiva delle parole: gli
enti primitivi infatti, in quanto tali, non possono essere definiti. Rette e circonferenze hanno ruolo privilegiato,
perché esse sono i modelli matematici delle linee tracciabili con riga e compasso (ideali, ovvero non graduati).
La geometria euclidea nasce esplicitamente come la teoria scientifica dei disegni eseguibili con riga e compasso.
La differenza tra i primi tre postulati, che affermano la costruibilità di rette e circonferenze, e i successivi due,
di natura più teorica si riflette nelle proposizioni. Euclide non usa, infatti, mai una figura geometrica se non
dopo averne descritto (e dimostrato) la costruzione.
Nel seguito del primo libro Euclide dimostra attraverso la loro costruzione l ’esistenza delle altre entità, ad
eccezione del piano. Il V postulato è originale di Euclide ed è prova del suo genio il fatto che egli lo abbia
ritenuto necessario.
Cosa non c’è negli Elementi di Euclide:
- il baricentro,
- i numeri negativi,
- lo zero,
- il volume della sfera,
- la formula di Eulero per i poliedri,
- le isometrie: in Euclide la geometria è statica.
3. Il quinto postulato
Per evidenziare il ruolo del quinto postulato viene oggi definita geometria assoluta quella basata sui primi 4
postulati, ad esempio, le proprietà dalla 1 alla 28 del primo libro sono proposizioni dimostrabili solo coi primi
4 postulati. Euclide era dunque consapevole della criticità del quinto postulato: dimostra prima di tutto ogni
risultato che può, prima di utilizzarlo effettivamente.
Nel corso dei secoli la consapevolezza della necessità della riflessione sui fondamenti della geometria, e quindi
della necessità di definire enti primitivi e postulati, cosi chiara agli antichi greci, fu sempre più attenuata, anche
se dell ’insegnamento greco rimaneva saldo il metodo assiomatico deduttivo, ovvero, in linguaggio filosofico il
sillogismo aristotelico. La geometria era un modello che descriveva la realtà, gli assiomi erano considerati veri
perché corrispondevano a una realtà vera, e questo garantiva loro anche la non contraddittorietà: se fossero
stati in contraddizione tra loro, la realtà che li rispecchiava non avrebbe potuto esistere.
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A seguito dello studio, che risaliva al Rinascimento, della geometria proiettiva (la teoria del disegno in prospettiva), intorno al XVIII secolo cominciò a porsi la questione della necessità del quinto postulato. Ci si domandava
se esso poteva essere dedotto dagli altri 4 come teorema. Indagando questa questione i matematici avevano
trovato diverse formulazioni equivalenti al quinto postulato.
La critica a questo postulato è dovuta al fatto che esso non era chiaramente evidente non rispondeva ad una
geometria osservata e mancava quindi della forza di convinzione, degli altri. Ma Euclide aveva ragione: senza
questo postulato non si possono dimostrare tutti i teoremi della geometria euclidea, inoltre è possibile sostituire
questo postulato con altri e ottenere teorie geometriche coerenti, e diverse da quella euclidea, che sono dette
appunto, geometrie non euclidee. Ad esempio, la geometria sulla superficie sferica (che non è infinita come il
piano) è diversa dalla geometria euclidea del piano: qui le rette sono le circonferenze di raggio massimo (si possono trovare tagliando la sfera con un piano che passa per il suo centro) e sono dunque linee chiuse, e pertanto
di lunghezza finita. Per convincersi che queste linee sono le rette della sfera basta pensare un loro arco come
il percorso piu breve tra due punti. Se però si prendono due punti diametralmente opposti sulla sfera, allora
si vede che essi sono congiunti da infinite semicirconferenze di raggio massimo (pensare ai due poli nord e sud,
e ai meridiani del mappamondo). Sopra una sfera non vale l’assioma dell’ordinamento, non citato da Euclide,
ma evidenziato come necessario da Hilbert (vedi oltre), per il quale dati tre punti su una retta, uno dei tre è
posto tra gli altri due. Si trova anche che in un triangolo sferico la somma degli angoli interi non è 180 gradi
ma è maggiore. Ci vorranno circa 2000 anni perché l’esistenza di geometrie non euclidee venisse compresa.
Due proposizioni si dicono equivalenti quando dall’una si può dimostrare l’altra e viceversa, a partire dello
stesso sistema assiomatico.
Si può dimostrare, assumendo i primi 4 postulati che vale il seguente
Theorem 3.1. Sono equivalenti al quinto postulato le seguenti proposizioni:
(i) UP (unicità della parallela): dati in un piano una retta r ed un punto P non appartenente ad r, la retta
passante per P e parallela ad r è unica;
(ii) Proprietà transitiva del parallelismo: se una retta è parallela ad un ’altra e questa ad una terza, allor ala
prima retta è parallela alla terza;
(iii) PO (postulato dell ’obliqua): Una perpendicolare e una obliqua ad una stessa retta si incontrano dalla
parte in cui l ’obliqua forma con la retta un angolo acuto;
(iv) (angoli interni di un triangolo): la somma degli angoli interni di un triangolo è costante;
(v) la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a due angoli retti;
(vi) esistono triangoli simili non uguali;
(vii) per tre punti non allineati passa una circonferenza (circonferenza circoscritta a un triangolo, esistenza del
circocentro);
(viii) il luogo dei punti equidistanti da una retta è una retta;
(ix) tre rette in un piano a due a due parallele hanno sempre una trasversale comune.
Congruenza Euclide evita di usare la congruenza quando riesce a dimostrare un enunciato per altra via,
se pure questa risulta più difficile. In effetti la congruenza (sovrapposizione, nozione comune n. 4 Le cose che
coincidono fra loro sono fra loro uguali) si basa sul concetto di moto, che non ha nessuna base logica: si assume
che durante lo spostamento una figura mantenga le sue proprietà questa è una forte assunzione relativamente
allo spazio fisico.
4. Geometria euclidea secondo Hilbert
Sebbene l’opera di Euclide sia stata considerata dai matematici un modello di rigore fino al XX secolo, essa
presenta alcuni difetti. Oltre all ’uso della sovrapposizione, ci sono molte assunzioni più o meno inconsce, che
non vengono dichiarate esplicitamente. Ad esempio, venivano usati fatti evidenti dalle figure o cosi intuitivamente evidenti da non rendersi conto che li si stava usando. Solo in alcuni casi questi fatti possono essere
dimostrati esplicitamente a seguire dalla teoria, ma non tutto. Ad esempio, si assume la continuità della retta e
del cerchio, ovvero che intersecando due rette, un cerchio e una retta, o due cerchi si trovi un punto in comune:
ciò non segue dagli assiomi di Euclide, ma richiede un assioma di continuità (corrispondente all’assioma di
Archimede sui numeri reali).
Euclide non dice mai espressamente ”esiste almeno un punto esterno alla retta”, o ”dati tre punti non allineati,
esiste un solo piano che li contiene”, eppure li utilizza implicitamente in molte dimostrazioni. E’ possibile
dimostrare dagli assiomi di Euclide che tutti i triangoli sono isosceli, questo perché non è stabilita la posizione
reciproca di punti (ovvero l’ordinamento sulla retta).
La completa sistemazione dei fondamenti della geometria euclidea si è avuta con il positivismo di fine Ottocento, e quindi con Hilbert, che, nel suo libro Fondamenti di Matematica, del 1899 esplicita tutti gli assiomi
non dichiarati da Euclide, ma necessari alla teoria, e evidenzia come la teoria possa essere costruita indipendentemente dalla ”verità” degli assiomi, ovvero dal fatto che essi descrivano la realtà che ci circonda. La questione
della rispondenza col mondo reale perde di senso: si possono costruire diversi modelli geometrici, diverse teorie
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indipendenti tra loro, anzi infinite teorie. Non c’è nessuna pretesa di descrizione del mondo tangibile. Infatti,
nella costruzione di una teoria astratta, basata su assiomi, quello di cui bisogna assicurarsi sono i seguenti punti:
1. gli assiomi devono essere tra loro indipendenti, ovvero nessuno deve essere dedotto dagli altri con ragionamenti logico-deduttivi. Se cosi fosse allora l ’assioma dipendente è un teorema, e può essere eliminato dalla
lista degli assiomi.
2. Gli assiomi devono essere in non contraddizione tra loro: ovvero non deve essere possibile nella teoria dimostrare a partire dagli assiomi due enunciati in conflitto tra loro. 3. Il sistema di assiomi deve essere completo,
ovvero ogni teorema della teoria deve poter essere dimostrato a partire dagli assiomi.
Questo terzo punto è in effetti il più difficile a stabilirsi a priori, si entra nel campo della Logica.
Illustriamo i punti fondamentali di Hilbert.
Concetti primitivi secondo Hilbert
Iconcetti primitivisono il punto , la retta, e il piano .
Ci sono anche tre relazioni binarie primitive :
Contiene : un punto può essere contenuto in una retta o in un piano, ed una retta può essere contenuta in un
piano;
Stare in mezzo : un punto può stare in mezzo ad altri due;
Congruenza , indicata con il simbolo ”=”: angoli e segmenti possono essere congruenti.
Il segmento tra due punti A e B è definito come la porzione di retta compresa tra i punti A e B (inclusi A e
B).
Diciamo che dei punti sono allineati se sono contenuti in una retta, complanari se sono contenuti in un piano
(queste definizioni sono di carattere puramente linguistico, non fanno parte del sistema di assiomi).
Seguono cinque gruppi di assiomi: di connessione, di ordinamento, tra cui l’assioma di Pash, di congruenza,
l’assioma delle parallele, gli assiomi di continuità.
I assiomi di connessione : sono 7, ad esempio:
1. Due punti distinti dello spazio individuano una retta (esistenza),
2. Ogni coppia di punti di una retta individua tale retta (unicità),
7. Ogni retta contiene almeno due punti,
II Assiomi di ordinamento : sono 4, questo gruppo supplisce la più grave omissione di Euclide, relativa
all’ordine reciproco di punti e rette:
1. Se un puntoAsta traBeC,A sta anche traCe B, ed i tre punti sono allineati.
2. Dati due punti distintiAeB, esistono un terzo e un quarto puntoCe Dsulla retta passante per A e B tali
cheAsta traC e B eBsta traA eD.
3. Dati tre punti distinti e allineati, ce n’è esattamente uno che giace tra gli altri due.
Dal 2) e dal 3) segue che la retta è infinita.
4. ( Assioma di Pasch ) siano dati tre punti A, B eCnon allineati, contenuti in un pianop, ed una rettadcontenuta
in p non contenente nessuno dei tre punti A, B, C: sedcontiene un punto del segmento AB, allora contiene anche
un punto di uno dei due segmentiACeBC.
(Intuitivamente: ”se una retta entra in un triangolo attraverso un lato, allora deve uscirne da uno degli altri
due”)
III Assiomi di congruenza: sono 6, ad esempio:
2. La relazione di congruenza tra segmenti è transitiva, cioè seCD e EF sono congruenti adAB, alloraCD e EF
sono congruenti.
La relazione di congruenza tra angoli è transitiva.
IV. Assioma delle parallele (Postulato di Playfair): Dati una rettar, un puntoAnon inr, ed un pianopcontenente
entrambi, esiste al più una retta inpcontenenteAe non contenente nessun punto dir.
Si noti che l’esistenza di almeno una retta perAche non intersecarpuò essere dimostrata e quindi non è necessaria in questo sistema assiomatico.
V. Assiomi di continuità
1. (Assioma di Archimede). SeABeCDsono due segmenti qualsiasi, allora esiste sulla retta contenenteABuna
famiglia di puntiA1 , A2 , , An tali che i segmentiAA1 , A1 A2 , A2 A3 , , An−1 An , sono congruenti aCDe tali che B
giace tra A e An .
Questo assioma permette la corrispondenza biunivoca tra i punti della retta e i numeri reali.
2. (Assioma di completezza lineare). Ad un sistema di punti, rette e piani è impossibile aggiungere altri elementi
geometrici in modo che il sistema cos generalizzato formi una nuova geometria obbediente a tutti i venti assiomi
precedenti. In altre parole gli elementi della geometria formano un sistema che non è suscettibile di estensione,
ammesso che si considerino validi i venti assiomi del sistema assiomatico di Hilbert.
Non è possibile dimostrare che gli assiomi sono tutti indipendenti tra loro, perché il significato di alcuni
dipende dai precedenti, ma Hilbert dimostrò che tutti gli assiomi di un certo gruppo non possono essere dedotti
da quelli degli altri quattro gruppi, esibendo un modello diverso per ogni quaterna di gruppi di assiomi. (due
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modelli sono diversi se si può dimostrare almeno un teorema per uno che risulta falso per l’altro). Per quanto
riguarda la coerenza/non contraddizione, visto che la dipendenza dalla realtà fisica era stata cancellata dalla
assunzione di arbitrarietà degli assiomi, Hilbert, come abbiamo detto, si basò sull’interpretazione aritmetica
della sua geometriaq.
Per quanto riguarda la completezza, ovvero la certezza di poter decidere, tramite argomentazioni logicodeduttive, della verità o falsità di qualunque enunciato formulabile nel linguaggio della teoria, è ormai noto che
questa non può essere dedotta a partire dagli assiomi della stessa teoria in questione (cfr. Godel).