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Mario De Paoli
La topologia della Logica del Mutamento
E il carattere informazionale di una logica intenzionale
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I edizione: novembre
Indice
Riassunto
Introduzione
Capitolo I
La modellizzazione catastrofista e la morfogenesi del senso
Capitolo II
La catastrofe di biforcazione a piega
.. La catastrofe a piega e la Logica del Mutamento di un aspetto osservabile, – .. La Scienza della logica e il divenire come unità determinata
di essere e nulla, .
Capitolo III
La struttura paradigmatica della Logica del Mutamento e della
Teoria della Quantificazione
.. La Teoria della Quantificazione e i Giochi Linguistici di ricerca
e ritrovamento di oggetti individuali, – .. L’opposizione regolarità/singolarità della logica e il suo carattere informazionale, .
Capitolo IV
La catastrofe di biforcazione a cuspide
.. La catastrofe a cuspide e la disgiunzione di due aspetti osservabili, .
Capitolo V
La catastrofe di biforcazione a coda di rondine
.. La catastrofe a coda di rondine e la Logica del Mutamento di due
aspetti osservabili, .
La topologia della Logica del Mutamento
Capitolo VI
La partizione dispari/pari nella classificazione delle catastrofi
elementari
Bibliografia
Riassunto
Noi discerniamo nel mondo forme dotate di stabilità strutturale che
occupano un certo intervallo di spazio e di tempo e, d’altra parte,
osserviamo un incessante movimento di creazione, sviluppo e distruzione di forme. La logica formale descrive solo il primo aspetto e
analizza possibili stati di cose con un formalismo algebrico, un puro
calcolo combinatorio che regola relazioni statiche fra entità discrete,
espresse da catene sintagmatiche. In Norm and Action (), von Wright
introduce una Logica del Mutamento e dell’Azione i cui oggetti sono
sia possibili stati di cose che loro trasformazioni. D’altra parte, secondo
alcuni matematici (Thom, ; Petitot, ) la teoria topologica delle
catastrofi è naturalmente adatta a modellizzare l’emergere del discontinuo
dal continuo che caratterizza sia la morfogenesi dei processi naturali
che la struttura paradigmatica che è alla base della loro rappresentazione. In questo articolo, le prime tre cuspoidi della classificazione di
Thom vengono successivamente utilizzate per costituire la dinamica di enunciati di stato e di trasformazione di stato della Logica del
Mutamento che descrivono la fenomenologia prima di uno, poi di
due aspetti osservabili. Una struttura paradigmatica costituita dalla
topologia della Logica del Mutamento viene così posta a fondamento
di catene sintagmatiche regolate dall’algebra della logica formale.
Introduzione
Nell’introduzione al saggio del , Stabilité Structurelle et Morphogénèse. Essai d’une théorie génèrale des modèles, enunciando il suo programma scientifico innovatore, R. Thom osserva:
Uno dei problemi centrali posti alla mente umana è il problema della successione delle forme. Qualunque sia la natura ultima della realtà (supposto
che quest’espressione abbia un senso), è innegabile che il nostro universo
non è un caos; noi vi discerniamo esseri, oggetti, cose che designamo con
altrettante parole. Questi esseri o cose sono forme, strutture dotate di una
certa stabilità; esse occupano una certa porzione dello spazio e durano un
certo lasso di tempo; di più, benché un dato oggetto possa essere percepito
sotto aspetti assai diversi, non esitiamo a riconoscerlo come tale; il riconoscimento di uno stesso essere sotto l’infinita molteplicità dei suoi aspetti pone
di per sé un problema (il classico problema filosofico del concetto), che, mi
sembra, solo gli psicologi della scuola della Gestalttheorie hanno posto da
un punto di vista geometrico accessibile all’interpretazione scientifica. Supponiamo questo problema risolto, conformemente all’intuizione ingenua
che accorda alle cose esterne un’esistenza indipendente dalla nostra percezione. Non meno necessario è ammettere che lo spettacolo dell’universo è
un incessante movimento di nascita, di sviluppo, di distruzione di forme.
Oggetto di ogni scienza è prevedere questa evoluzione delle forme e, se
possibile, spiegarla.
Dunque, da un lato, noi discerniamo nel mondo forme dotate di stabilità strutturale che occupano un certo intervallo di spazio e di tempo,
dall’altro, osserviamo un incessante movimento di creazione, sviluppo
e distruzione di forme. La logica formale tradizionale analizza solo il
primo aspetto e descrive possibili stati di cose con pure forme — astratte
dal contenuto di esperienza e dalle operazioni mediante le quali acquisiamo conoscenza di oggetti individuali — combinate sintatticamente in
catene sintagmatiche per mezzo dell’applicazione iterabile di operazioni
di tipo algebrico, un puro calcolo combinatorio che stabilisce proprietà
statiche di, e relazioni statiche fra entità discrete presupposte. Nel ,
in un saggio divenuto ormai classico dal titolo Norm and Action (),
Introduzione
G. H. von Wright contrappone alla logica formale, che egli considera
“la logica di un mondo statico”, una Logica del Mutamento intesa come requisito necessario di una Logica dell’Azione. Nella prefazione al
saggio, von Wright così descrive la differenza fra la logica formale e la
Logica del Mutamento e dell’Azione:
Potremmo dire che la logica formale, come la conosciamo oggi, è essenzialmente la logica di un mondo statico. I suoi oggetti di base sono possibili stati
di cose, e la loro analisi si effettua tramite categorie quali cosa, proprietà e
relazione. In un tale mondo non c’è posto per il mutamento. Le proposizioni
si considerano definitivamente vere o false — non ora vere e ora false. Le
cose si concepiscono come aventi o non aventi certe proprietà date, e non
come se potessero cambiare, per esempio, dal rosso al non–rosso.
Tuttavia, gli atti sono essenzialmente collegati al mutamento. Uno stato
che ora non si dà può comparire in seguito all’interferenza umana con
il mondo; oppure, uno stato che ora si dà può essere fatto scomparire.
L’azione può anche prolungare stati di cose che altrimenti scomparirebbero,
o impedirne altri che altrimenti comparirebbero. Requisito necessario di
una Logica dell’Azione è pertanto una Logica del Mutamento (pp. –).
D’altra parte, nel , in un articolo dal titolo The General and
Logical Theory of Automata, J. Von Neumann pone l’accento sulle inadeguatezze della rigida impostazione discreta, tipo “tutto o niente”, e
del calcolo “combinatorio” della Logica formale tradizionale. Focalizzando l’attenzione sulla “limitazione dovuta alla mancanza di una
teoria logica degli automi”, egli afferma:
Siamo ben lontani dal possedere una teoria degli automi degna di tale nome,
cioè una teoria logico–matematica vera e propria. Esiste oggi un sistema
molto elaborato di logica formale, e, in particolare, di logica applicata alla
matematica. È una disciplina che ha molti lati buoni, ma anche alcune serie
deficienze. Non è ora il caso di diffondersi sui lati buoni, che non ho certo
l’intenzione di sminuire. Circa le inadeguatezze, si può tuttavia dire questo:
chiunque abbia lavorato in logica formale può confermare che è una delle
parti della matematica tecnicamente più refrattarie. La ragione di ciò è che
essa ha a che fare con concetti rigidi, del tipo “tutto o niente”, e ha ben pochi
rapporti coi concetti continui di numero reale o di numero complesso, cioè
con l’analisi matematica. D’altra parte l’analisi è la parte della matematica
più riuscita e meglio elaborata. In tal modo la logica formale, per la natura
stessa della sua impostazione è tagliata fuori dalle parti meglio coltivate della
matematica ed è costretta verso la parte più difficile del campo matematico,
la combinatoria (trad. it., p. –).
