Superficie - Dipartimento di Matematica

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Superficie
La nozione matematica di superficie è una delle più delicate, mentre
nel linguaggio comune il termine superficie è usato in un’accezione
più vasta. Ad esempio, sfere, coni e cilindri sono intesi tutti come
superficie e l’idea comune di superficie è legata ad oggetti
visualizzabili nello spazio.
In realtà, nel linguaggio matematico, le sfere ed i cilindri ottenuti come
luogo di rette parallele incidenti una curva piana semplice, priva cioè di
autointersezioni, sono superficie immerse nello spazio e quindi
visualizzabili in esso; i coni, come luoghi di rette incidenti una curva
piana semplice, priva cioè di autointersezioni, e passanti per un punto
(vertice) che non appartenga al piano della curva, pur essendo
visualizzabili nello spazio, non sono superficie, possedendo nel vertice
un punto singolare (privo di piano tangente). Infine, esistono
superficie “astratte” che non possono essere immerse e quindi
visualizzate nello spazio, senza consentire autointersezioni e quindi
punti singolari.
Una superficie M è per definizione una varietà differenziabile reale
di dimensione 2.
In termini elementari, possiamo dire che una superficie è un insieme
M (dotato di una struttura, detta topologia, che consente di parlare
di continuità per applicazioni definite su M) che può essere a “pezzi”
descritto mediante applicazioni definite su aperti di R2, bigettive,
continue con inverse continue. Si dice che M è localmente
omeomorfo a R2. La descrizione deve però essere coerente, nel senso
che si deve poter passare in modo continuo, anzi differenziabile, da
un pezzo ad un altro, se la loro intersezione è non vuota.
Questa è sostanzialmente l’idea che si usa in cartografia per
rappresentare ad esempio il globo terrestre. Le applicazioni locali che
descrivono i pezzi di M si chiamano carte, non sono isometrie, cioè
non conservano le distanze, e l’insieme delle carte si chiama atlante.
Formalizzando, si ottiene:
M è una superficie se è uno spazio topologico di Hausdorff con le
seguenti proprietà:
 esiste una famiglia (M)I di aperti tale che si abbia: I M = M,
e, per ogni , esiste un omeomorfismo, cioè un’applicazione
bigettiva, continua, con inversa continua, u: M  u(M), dove
u(M) è un aperto di R2 nella topologia naturale.
 per ogni ,  tali che MM sia non vuota, deve essere
differenziabile l’applicazione u ° u-1 : u(M M)  u(M M).
La coppia (M , u) si dice carta.
Sostituendo R2 con Rn si ottiene la definizione di varietà
differenziabile reale di dimensione n.
Una nozione importante per le varietà è la nozione di orientabilità.
Questa nozione può essere introdotta in diversi modi equivalenti.
Ci limitiamo a considerare superficie M immerse in R3.
Una tale superficie si dice orientabile se esiste un’applicazione
continua G: M  S2 che ad ogni punto P di M associa un vettore di
R3, di lunghezza 1, ortogonale al piano tangente in P a M.
Ad esempio sono orientabili: la sfera, il toro, il cilindro, non è
orientabile il nastro di Möbius e di conseguenza non sono orientabili
le superficie astratte: la bottiglia di Klein, il piano proiettivo reale.
3 superficie immerse in R3
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