1.5
Assioma di completezza
Le proprietà 1-8 sin qui viste non sono prerogativa esclusiva di R, dato che
sono ugualmente vere nell’insieme dei numeri razionali Q. Ciò che davvero
caratterizza R è la proprietà di continuità, che si esprime con il corrispondente assioma di continuità, detto anche assioma di completezza. Prima di
enunciarlo in una delle sue numerose formulazioni equivalenti, conviene dare
alcune definizioni.
Definizione 1.5.1 Sia A ⊆ R. Diciamo che A è limitato superiormente
se esiste m ∈ R tale che m ≥ a per ogni a ∈ A. Tale numero m si dice
maggiorante dell’insieme A.
Definizione 1.5.2 Sia A ⊆ R. Diciamo che A è limitato inferiormente se
esiste µ ∈ R tale che µ ≤ a per ogni a ∈ A. Tale numero µ si dice minorante
dell’insieme A.
Definizione 1.5.3 Sia A ⊆ R. Diciamo che A è limitato se è sia limitato
superiormente, sia limitato inferiormente.
È chiaro che se A è limitato superiormente e m è un maggiorante di A, allora
ogni numero reale x ≥ m è ancora un maggiorante di A; analogamente, se
A è limitato inferiormente e µ è un minorante di A, allora ogni numero reale
x ≤ µ è ancora un minorante di A.
Ad esempio, se A = [0, 1] l’insieme dei minoranti di A è la semiretta ] − ∞, 0]
mentre l’insieme dei maggioranti di A è la semiretta [1, +∞[. Se A =]0, 1[,
oppure [0, 1[, oppure ]0, 1], succede esattamente lo stesso. Invece, se A =
[0, +∞[, allora A non ha maggioranti, mentre sono minoranti di A tutti i
numeri non positivi.
Definizione 1.5.4 Sia A ⊆ R un insieme limitato superiormente. Diciamo
che A ha massimo m se:
(i) m è un maggiorante di A,
(ii) m ∈ A.
In tal caso, si scrive m = max A.
Definizione 1.5.5 Sia A ⊆ R un insieme limitato inferiormente. Diciamo
che A ha minimo µ se:
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(i) µ è un minorante di A,
(ii) µ ∈ A.
In tal caso, si scrive µ = min A.
Non è detto che un insieme limitato superiormente abbia massimo: per esempio, [0, 1[ non ha massimo, perché esso è disgiunto dall’insieme dei suoi maggioranti. Analogamente, non è detto che un insieme limitato inferiormente
abbia minimo. Notiamo anche che se A ha massimo, allora max A è il minimo dell’insieme dei maggioranti di A, e che se A ha minimo, allora min A è
il massimo dell’insieme dei minoranti di A.
Definizione 1.5.6 Due sottoinsiemi non vuoti A, B ⊂ R si dicono separati
se si ha
a≤b
∀a ∈ A, ∀b ∈ B.
Esempi 1.5.7 Sono coppie di insiemi separati:
] − ∞, 0], [0, ∞[;
[0, 1[, [2, 3];
] − ∞, 0], ]0, ∞[;
[−2, −1], N;
] − ∞, 0[, ]0, ∞[;
{0}, {3};
{0}, {0}.
Sono coppie di insiemi non separati:
{−1/2}, Z;
Q, R\Q;
[0, 2], [1, 3];
{x ∈ R : x2 < 2}, {x ∈ R : x2 > 2}.
Osserviamo inoltre che:
• se A, B sono insiemi separati, allora ogni elemento b ∈ B è un maggiorante di A e ogni elemento a ∈ A è un minorante di B;
• se A è non vuoto e limitato superiormente, e se M è l’insieme dei
maggioranti di A, allora A e M sono separati;
• similmente, se A è non vuoto e limitato inferiormente, e se N è l’insieme
dei minoranti di A, allora N e A sono separati.
L’assioma di completezza di R asserisce la possibilità di interporre un numero
reale fra gli elementi di qualunque coppia di insiemi separati: in sostanza,
esso ci dice che i numeri reali sono in quantità sufficiente a riempire tutti i
“buchi” fra coppie di insiemi separati. L’enunciato preciso è il seguente:
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9. (assioma di completezza) per ogni coppia A, B di sottoinsiemi di R non
vuoti e separati, esiste almeno un elemento separatore, cioè un numero reale
ξ tale che
a≤ξ≤b
∀a ∈ A, ∀b ∈ B.
Questo assioma sembra avere un carattere abbastanza intuitivo: in effetti è
facile determinare esplicitamente gli elementi separatori in tutti i casi degli
esempi 1.5.7 in cui essi esistono. Tuttavia, come vedremo, le conseguenze
dell’assioma di completezza sono di larghissima portata.
Si osservi che in generale l’elemento separatore fra due insiemi separati A e
B non è unico: se A = {0} e B = {1}, sono elementi separatori fra A e B
tutti i punti dell’intervallo [0, 1]. Però se A è un insieme non vuoto limitato
superiormente e scegliamo come B l’insieme dei maggioranti di A, allora vi
è un unico elemento separatore fra A e B. Infatti ogni elemento separatore
ξ deve soddisfare la relazione
a≤ξ≤b
∀a ∈ A, ∀b ∈ B;
in particolare, la prima disuguaglianza dice che ξ è maggiorante per A, ossia
ξ ∈ B, e la seconda ci dice allora che ξ = min B. Poiché il minimo di B è
unico, ne segue l’unicità dell’elemento separatore.
In modo analogo, se B è non vuoto e limitato inferiormente e prendiamo come
A l’insieme dei minoranti di B, allora vi è un unico elemento separatore fra
A e B: il massimo dei minoranti di B.
Definizione 1.5.8 Sia A ⊂ R non vuoto e limitato superiormente, sia M
l’insieme dei maggioranti di A. L’unico elemento separatore fra A e M si
dice estremo superiore di A e si denota con sup A.
Il numero reale sup A è dunque il minimo dei maggioranti di A. In particolare,
esso coincide con max A quando quest’ultimo numero esiste.
Definizione 1.5.9 Sia A ⊂ R non vuoto e limitato inferiormente, sia N
l’insieme dei minoranti di A. L’unico elemento separatore fra N e A si dice
estremo inferiore di A e si denota con inf A.
Il numero reale inf A è dunque il massimo dei minoranti di A e coincide con
min A quando quest’ultimo numero esiste.
L’estremo superiore di un insieme A (non vuoto e limitato superiormente), la cui esistenza è conseguenza diretta dell’assioma di completezza, si
caratterizza in questo modo:
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Proposizione 1.5.10 Sia A ⊆ R non vuoto e limitato superiormente, e sia
m ∈ R. Si ha m = sup A se e solo se m verifica le seguenti due proprietà:
(i) a ≤ m per ogni a ∈ A;
(ii) per ogni ε > 0 esiste a ∈ A tale che m − ε < a ≤ m.
Dimostrazione Se m = sup A, allora m è un particolare maggiorante di A:
quindi vale (i). D’altra parte, essendo m il minimo dei maggioranti di A, per
ogni ε > 0 il numero m − ε non è un maggiorante per A: quindi c’è almeno
un elemento a ∈ A per il quale m − ε < a, il che implica la condizione (ii).
Viceversa, se m verifica (i) e (ii), allora m è maggiorante di A mentre per
ogni ε > 0 il numero m − ε non può esere maggiorante di A. Ne segue che
m è il minimo dei maggioranti di A, ossia m = sup A.
Una caratterizzazione analoga, la cui dimostrazione viene omessa essendo
identica alla precedente, vale per l’estremo inferiore:
Proposizione 1.5.11 Sia A ⊆ R non vuoto e limitato inferiormente, e sia
µ ∈ R. Si ha µ = inf A se e solo se µ verifica le seguenti due proprietà:
(i) µ ≤ a per ogni a ∈ A;
(ii) per ogni ε > 0 esiste a ∈ A tale che µ ≤ a < µ + ε.
Esempi 1.5.12 (1) Se A = [0, 1], si ha sup A = max A = 1, inf A =
min A = 0.
(2) Se A = [0, 1[, si ha ancora inf A = min A = 0, sup A = 1, mentre max A
non esiste.
(3) Se A = {−1, 7, 8}, si ha inf A = min A = −1, sup A = max A = 8.
(4) Questo esempio mostra l’importanza dell’assioma√di completezza: esso
permette di costruire, nell’ambito dei reali, il numero 2. Sia
A = {x ∈ R : x2 < 2};
ovviamente A non è vuoto, perché 1 ∈ A. Mostriamo che A è limitato
superiormente: a questo scopo basta far vedere che sono maggioranti di A
tutti i numeri positivi t tali che t2 > 2. Infatti se t > 0 e t2 > 2, e se t
non fosse un maggiorante di A, troveremmo un x ∈ A con x > t; allora
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avremmo anche x > 0 e quindi 2 < t2 < xt < x2 < 2: ma la relazione 2 < 2 è
assurda. Dunque A è limitato superiormente e per l’assioma di completezza
esiste m = sup A. Poiché 1 ∈ A, si ha m ≥ 1; affermiamo che m2 = 2.
Infatti, non può essere m2 < 2, poiché in tal caso, scrivendo per ogni ε ∈]0, 1[
(m + ε)2 = m2 + ε2 + 2mε < m2 + ε + 2mε,
avremmo (m + ε)2 < m2 + ε + 2mε < 2 pur di scegliere
2 − m2
:
ε < min 1,
2m + 1
tale scelta è sempre possibile, prendendo ad esempio come ε la metà del
numero a secondo membro. Ciò significherebbe che m + ε appartiene ad A,
contro il fatto che m è uno dei maggioranti di A.
D’altra parte non può nemmeno essere m2 > 2, poiché in tal caso avremmo
per ogni ε ∈]0, m[
(m − ε)2 = m2 + ε2 − 2mε > m2 − 2mε,
e dunque (m − ε)2 > m2 − 2mε > 2 pur di scegliere
ε<
m2 − 2
.
2m
Ciò significherebbe, per quanto osservato all’inizio, che m − ε è un maggiorante di A; ma allora m non può essere il minimo dei maggioranti di A, e ciò
è assurdo. Pertanto l’unica possibilità è che sia m2 = 2.
Si noti che m è l’unica radice reale positiva dell’equazione x2 = 2; tale numero
si dice √
radice quadrata di 2 e si denota con 2; l’equazione x2 = 2 ha poi
un’altra radice
√ reale che è negativa: è
il numero − 2.
√
Osservazione 1.5.13 Si vede facilmente che il numero
reale
2 non può
√
essere un numero razionale. Infatti supponiamo che sia 2 = pq con p, q ∈ N+ ,
2
e che la frazione sia stata ridotta ai minimi termini: allora si ha pq2 = 2, ossia
p2 = 2q 2 . Ciò implica che p2 , e quindi anche p, è un numero pari: sarà
dunque p = 2k, con k ∈ N+ . Ma allora 4k 2 = p2 = 2q 2 , da cui 2k 2 = q 2 :
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ne segue che q 2 è pari e pertanto anche q è pari. Ciò però è assurdo, perché
la frazione
√ sarebbe ulteriormente semplificabile, cosa che era stata esclusa.
Dunque 2 non è un numero razionale.
In modo assolutamente analogo (esercizio 1.5.2) si prova l’esistenza della
radice quadrata di un arbitrario numero positivo x, che sarà in generale un
numero irrazionale.
In definitiva, imponendo l’assioma 9 siamo necessariamente usciti dall’ambito
dei numeri razionali, che sono “troppo pochi” per rappresentare tutte le
grandezze: per misurare
√ la diagonale del quadrato di lato unitario occorre il
numero irrazionale 2. In altre parole, nell’insieme Q non vale l’assioma di
completezza.
Osservazione 1.5.14 Nel seguito del corso useremo massicciamente, più
che l’assioma di completezza in sé, il fatto che ogni insieme non vuoto e
limitato superiormente è dotato di estremo superiore. Notiamo a questo
proposito che se, invece, A ⊆ R non è limitato superiormente, A non ha
maggioranti e dunque l’estremo superiore non esiste; in questo caso si dice
per convenzione che A ha estremo superiore +∞ e si scrive sup A = +∞.
Analogamente, se A non è limitato inferiormente, si dice per convenzione
che A ha estremo inferiore −∞ e si scrive inf A = −∞. In questo modo,
tutti i sottoinsiemi non vuoti di R possiedono estremo superiore ed inferiore,
eventualmente infiniti. Per l’insieme vuoto, invece, non c’è niente da fare!
Esercizi 1.5
1. Provare che
√
− 2 = inf {x ∈ R : x2 < 2}.
2. Provare che per ogni numero reale a > 0, l’equazione x2 = a ha esattamente due soluzioni reali, una l’opposta dell’altra;
quella positiva si
√
chiama radice quadrata di a e si indica con a. Si provi inoltre che
√
√
a = sup {x ∈ R : x2 < a},
− a = inf {x ∈ R : x2 < a}.
Cosa succede quando a = 0? E quando a < 0?
3. Determinare l’insieme delle soluzioni reali delle seguenti equazioni:
q
q √
√
√
√ 2
2
2
(i) x = x ,
(ii) ( x) = −x ,
(iii)
(− −x) =
x2 .
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4. Dimostrare che
√
3 è un numero irrazionale.
√
5. Sia n ∈ N. Dimostrare che n è un numero razionale se e solo se n è
un quadrato perfetto.
[Traccia: Si consideri dapprima il caso in cui n è un numero primo;
si ricordi poi che ogni numero naturale n ha un’unica scomposizione in
fattori primi.]
6. Siano m, n ∈ N e supponiamo che almeno
√ uno√dei due non sia un
quadrato perfetto. Provare che il numero m + n è irrazionale.
√
7. Provare che per ogni n ∈ N+ il numero 4n − 1 è irrazionale.
8. Stabilire se i seguenti sottoinsiemi di R sono separati e determinarne
eventualmente gli elementi separatori:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
[0, 1], [1, 7];
[0, 2[, {2, 3};
{x ∈ R : x3 < 2}, {x ∈ R : x3 > 2};
{n ∈ N : n < 6}, {n ∈ N : n ≥ 6};
√
(v) {r ∈ Q : r2 < 2}, ] 2, +∞[;
(vi) {x ∈ R : x2 < 1}, {x ∈ R : x4 > 1}.
9. Una sezione di R è una coppia (A, B) di sottoinsiemi separati di R, tali
che A ∪ B = R, e a ≤ b per ogni a ∈ A e per ogni b ∈ B. Si dimostri
che l’enunciato
“per ogni sezione (A, B) di R esiste un unico elemento separatore fra
A e B”
è equivalente all’assioma di completezza di R.
10. Si provi che esistono sezioni (A, B) di Q prive di elemento separatore
in Q.
[Traccia: si considerino A = {x ∈ Q : x ≤ 0}∪{x ∈ Q : x > 0, x2 < 2}
e B = Q \ A.]
11. Provare che se A ⊆ B ⊆ R e A 6= ∅, allora
inf B ≤ inf A ≤ sup A ≤ sup B;
si forniscano esempi in cui una o più disuguaglianze sono strette.
19
12. Sia A un sottoinsieme non vuoto e limitato di R, e poniamo
B = {−x : x ∈ A}.
Si provi che
sup B = − inf A,
inf B = − sup A.
13. Provare che se A, B sono sottoinsiemi non vuoti e limitati di R si ha
sup A ∪ B = max{sup A, sup B},
inf A ∪ B = min{inf A, inf B}.
14. Provare che se A, B sono sottoinsiemi di R con A ∩ B 6= ∅, allora
sup A ∩ B ≤ min{sup A, sup B},
inf A ∩ B ≥ max{inf A, inf B};
si verifichi che le disuguaglianze possono essere strette.
15. Siano A, B sottoinsiemi di ]0, ∞[. Se esiste K > 0 tale che xy ≤ K per
ogni x ∈ A e per ogni y ∈ B, si provi che
sup A · sup B ≤ K.
16. Calcolare l’estremo superiore e l’estremo inferiore dei seguenti sottoinsiemi di R, specificando se si tratta di massimi o di minimi:
2x
(i)
:x∈R ;
(ii)
{x2 + y 2 : x, y ∈ [−1, 1], x < y};
x2 +1
(iv) {x2 − y 2 : 0 < x < y < 4};
(iii)
x+ 1 :x>0 ;
n−1 x
1
(v)
: n ∈ N+ ;
(vi)
:x∈R ;
n
1+x2
n
o
1
(−1)k
+
(vii)
:
k
∈
N
;
(viii)
:
k
∈
Z
\
{0}
.
3
k
k
17. Siano a, b, c, d ∈ Q. Mostrare che:
√
(i) a + b 2 = 0 ⇐⇒ a = b = 0;
√
√
(ii) a + b 2 + c 3 = 0
⇐⇒
a = b = c = 0;
√
√
√
(iii) a + b 2 + c 3 + d 5 = 0
⇐⇒
a = b = c = d = 0.
18. Per quali x ∈ R sono vere le seguenti asserzioni?
√
(i) (−x) · x2 > x;
(ii) x2 = x;
(iii) (−x2 )2 > 16.
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