Complementi - Dipartimento di Matematica

Laurea triennale in Informatica – Corso di Analisi Matematica – a.a. 2011/12
Complementi al capitolo “L’insieme dei numeri reali”
In questa nota illustriamo con un esempio il fatto che, se ci limitiamo a considerare solo numeri
razionali, non è detto che ogni insieme non vuoto e limitato superiormente ammetta l’estremo superiore,
cioè il più piccolo tra i propri maggioranti.
La morale è che l’insieme Q non è adeguato, se si vuole lavorare in un contesto nel quale tutti gli
insiemi non vuoti e limitati superiormente abbiano estremo superiore. Per garantire tale proprietà, di
fondamentale importanza nell’analisi matematica, è necessario considerare tutti i numeri reali.
Consideriamo l’insieme
E = q ∈ Q | q > 0, q 2 < 2
che, per definizione, è formato solo da numeri razionali. Verificheremo che:
(1) E è non vuoto e limitato superiormente.
(2) Non esiste alcun numero razionale che sia il più piccolo tra i maggioranti di E .
Nel corso della dimostrazione, useremo i seguenti risultati:
Lemma 1
Se x e y sono numeri (razionali) positivi e x > y , allora x2 > y 2 .
Dimostrazione: conseguenza della proprietà di compatibilità della relazione d’ordine con la moltiplicazione e della legge di annullamento del prodotto.
Lemma 2
Non esiste alcun numero razionale il cui quadrato è uguale a 2.
Dimostrazione: Per assurdo, supponiamo che esista x ∈ Q tale che x2 = 2. Sicuramente x è diverso
m
, con m, n ∈ Z∗ ; non è restrittivo supporre che m ed n siano
da 0, perciò possiamo scrivere x =
n
m2
privi di fattori comuni. Sostituendo in x2 = 2, deduciamo 2 = 2, cioè m2 = 2n2 ; se ne deduce che
n
m2 è pari, il che implica che anche m è pari. Possiamo allora scrivere m = 2k , per un opportuno
k ∈ Z∗ . Sostituendo in m2 = 2n2 , deduciamo 4k 2 = 2n2 , da cui 2k 2 = n2 ; se ne deduce che n2 è
pari, il che implica che anche n è pari. Ora, se sia m che n sono pari, sono entrambi divisibili per 2,
in contrasto con l’ipotesi che siano privi di fattori comuni.
Dimostrazione di (1).
L’insieme E è sicuramente non vuoto in quanto contiene, per esempio, x = 1 (numero razionale
strettamente positivo il cui quadrato è 1, e quindi strettamente minore di 2).
Dire che un insieme è limitato superiormente vuol dire che ammette maggioranti; mostriamo, per
esempio, che 3/2 è un maggiorante di E . Se un numero razionale è maggiore di 3/2, per il Lemma 1
il suo quadrato è maggiore del quadrato di 3/2, ossia 9/4, che è strettamente maggiore di 2; ne segue
che un siffatto numero non può appartenere ad E . In altre parole, ogni elemento di E è minore o
uguale a 3/2.
Dimostrazione di (2).
Per assurdo, supponiamo che esista un numero razionale λ che sia il più piccolo maggiorante di E .
Dato che λ è un numero razionale, per il Lemma 2 possiamo escludere che λ2 = 2; sono perciò possibili
due casi: λ2 < 2 oppure λ2 > 2.
Prima di procedere, osserviamo che λ è un numero strettamente positivo, in quanto maggiorante di
un insieme di numeri strettamente positivi. Definiamo il numero
µ :=
2λ + 2
;
λ+2
è evidente che µ è un numero razionale strettamente positivo (perché λ lo è ). Notiamo che
µ−λ=
e inoltre
µ2 − 2 =
2λ + 2 2
λ+2
−2=
2λ + 2
2 − λ2
−λ=
λ+2
λ+2
2(λ2 − 2)
4λ2 + 8λ + 4 − 2λ2 − 8λ − 8
=
.
2
(λ + 2)
(λ + 2)2
(a)
(b)
Consideriamo ora il primo caso: λ2 < 2.
Da (b) segue µ2 − 2 < 0, ossia µ2 < 2, e pertanto µ ∈ A; dato che λ è maggiorante di E , ne segue
µ ≤ λ. Tuttavia, da (a) si deduce µ − λ > 0, ossia µ > λ, in contrasto con quanto appena detto.
Consideriamo ora il secondo caso: λ2 > 2.
Da (a) si deduce µ − λ < 0, ossia µ < λ; dato che λ è il più piccolo maggiorante di E , µ non può
essere un maggiorante di E e perciò esiste x ∈ A tale che µ < x. Applicando il Lemma 1, deduciamo
µ2 < x2 < 2 (l’ultima disuguaglianza deriva dal fatto che x ∈ A), e quindi µ2 < 2. D’altra parte, da
(b) segue µ2 − 2 > 0, ossia µ2 > 2, in contrasto con quanto appena detto.
In entrambi i casi siamo giunti a una contraddizione, che deriva dall’aver supposto l’esistenza di un
numero razionale che sia il più piccolo maggiorante di E .