Corso di
LOGICA I (anno 5°):
istituzioni di logica come base
per la comprensione dell’informatica
Luisa Bortolotti
Trento, novembre 2008
Lezione 37°: primalità e deduttività
Dopo i casi della negazione e della congiunzione passiamo ora a considerare quelli della
disgiunzione e dell’implicazione.
§ 37.1. La disgiunzione
├SF α∨β sse ├SF α o
├SF β
←
Vale per qualsivoglia sistema formale in qualsivoglia logica.
Sia dimostrato α o sia dimostrato β, per gli assiomi A3.1 e A3.2 allora vale sempre ├SF α∨β
⇒
├SF α∨β ⇒ ├SF α o
├SF β
Vale α∨¬β = α∨β
Ma non sempre α o ¬α.
In questo caso avremmo un SF completo. E abbiamo visto che questo non è ragionevole.
Mentre ci sono disgiunzioni dimostrabili, i due membri della disgiunzione presi separatamente
non sono dimostrabili.
In questo caso il sistema formale è “primo”: cioè dimostra una disgiunzione sse dimostra
almeno un membro della disgiunzione.
Gode cioè della proprietà di primalità.
§ 37.2. L’implicazione
├SF α→β
⇔ |/ SF α o
├SF β
E’ la traduzione sintattica di quello che vale a livello semantico.
Dimostrazione
⇒
├SF α→β
⇒ |/ SF α o
├SF β
Questo vale sempre, per qualsivoglia SF in qualsivoglia logica.
|/ SF α o
├SF β
vuole dire
├SF α →
├SF β :
sono due formulazioni equivalenti .
Parto dall’ipotesi (assumiamo l’antecedente)
├SF α → β
e voglio dimostrare il conseguente
├SF α ⇒
├SF β
Assumiamo per ipotesi ├SF α
Per MP abbiamo ├SF β
L’implicazione da sinistra a destra non è allora problematica per nessuna logica.
←
In generale non vale per tutti i SF. E’ critica.
├SF β
⇒
├SF α→β
|/ SF α o
Studiamo l’ipotesi: |/ SF α o
├SF β
Ha forma disgiuntiva.
Supponiamo sia vera l’ipotesi. Quando una disgiunzione è vera, è vero almeno un membro.
Supponiamo che sia vero il secondo membro: sia vera la dimostrabilità di β, ├SF β.
Per la RA associata all’ a fortiori varrebbe la dimostrabilità di α→β .
Caso critico è allora quello in cui non sia dimostrabile α.
Supponiamo |/ SF α. Posso concludere ├SF α→β ?
├SF β
⇒
├SF α→β
RA A1.1
|/ SF α ⇒
├SF α→β
?
Posso riformulare |/ SF α
o
├SF β, tenendo conto solo del caso critico.
Ci occupiamo solo del sottocaso in cui non sia dimostrabile α. Elimino così il secondo
membro della disgiunzione. E mi chiedo:
|/ SF α ⇒
├SF α→β
Per fare così applico questa legge logica nella metateoria:
[ β→γ ] → [(( α∨β)→γ) ↔ ( α→γ)]
So che sempre β implica γ. E’ equivalente dire che β disgiunta con qualcosaltro è uguale a
dire che implica γ.
E’ equivalente (per questa legge logica) occuparmi di
|/ SF α o
├SF β
⇒
├SF α→β
oppure del caso limite |/ SF α ⇒
├SF α→β
Se so che α non è dimostrabile o β è dimostrsabile, allora è dimostrabile α→β. Basta che
mi chieda se la non dimostrabilità α di implica α→β. E’ questo il caso interessante. Posso
tralasciare la dimostrabilità di β. Mi basta occuparmi della non-dimostrabilità di α. Si può
dimostrare che non vale sempre.
Rivediamo la legge: [ 1→3 ] → [(( 2∨1)→3) ↔ ( 2→3 )]
E’ una legge logica che è abbastanza intuitivo dimostrare. Proprio perché so che la 1 vale
sempre, tutta la responsabilità è calata su 2.
Applico nella metateoria una legge logica. Applicando questa legge trasformo una
implicazione, che nell’antecedente ha una disgiunzione, in un’implicazione che ha come
antecedente un solo membro.
|/ SF α ⇒
├SF α→β
Questa è la proprietà della deduttività.
E’ “deduttivo” quel SF per cui vale che se una proposizione non è dimostrabile,
è dimostrabile il fatto che quella proposizione dimostri qualsivoglia altra proposizione.
Non tutti gli SF sono deduttivi.
Sia
α=P(a), formula atomica
e
β=λ
esempio |/ SF P(a)
⇒
├SF ( Pa→λ)
e λ trasformata di ¬ Pa
(¬ Pa)λ
Quando SF non dimostra una proposizione atomica, dimostra la sua negazione.
E’ però questa una forma di completezza. E’ chiedere ad un SF di decidere di qualsiasi
proposizione atomica. Si vede che non può essere. Sicuramente ci sono sistemi non deduttivi.
Non_contraddittorietà, completezza, primalità (se dimostro ∨, dimostro almeno uno dei due
membri), deduttività (se dimostro →, o non dimostro l’antecedente o dimostro il
conseguente): abbiamo ottenuto queste proprietà chiedendoci se è ragionevole che il concetto
di dimostrabilità soddisfi le stesse proprietà del concetto di verità.
Si è visto che in generale non vale. Per qualche sistema vale: cioè per il SF che sia
contemporaneamente Nctr+Compl+Prim+Ded. Per questi SF si potranno sostituire
(scambiare) dimostrabilità e verità.
Arrivederci alla prossima lezione: massimalità e deduttività.
2008 Luisa Bortolotti
