osservazioni sull` enunciato di zhang

OSSERVAZIONI CIRCA L’ENUNCIATO DI ZHANG
Ing. Pier Francesco Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto
Abstract:
In this paper we focus our attention on the result of Zhang and we propose
various and interesting observations concerning his statement, thence, the
possible future revision of it. In conclusion, we note that the our
observations can implies the further revision and deepening of Polignac’s
Conjecture and so also the twin primes Conjecture.
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Index:
1. L’ENUNCIATO DI ZHANG .............................................................................................................. 3
1.1 OSSERVAZIONI SULLL’ENUNCIATO DI ZHANG ........................................................ 5
1.2 COROLLARIO DELLA DIMOSTRAZIONE DI POLIGNAC CON COPPIE FINITE...... 9
2. ULTERIORI OSSERVAZIONI ........................................................................................................ 10
3. RIFERIMENTI .................................................................................................................................. 14
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1. L’ENUNCIATO DI ZHANG
Yitang Zhang afferma che
Innanzitutto si osservi che questo enunciato NON vuol dire che la massima distanza
possibile tra 2 numeri primi consecutivi è al massimo 70.000.000 come è stato scritto su
più articoli apparsi in giornali e anche riviste specializzate.
L’intervallo tra i numeri primi consecutivi può essere grande a piacere, ovviamente mai
uguale ad ∞.
Difatti se scegliamo un intero n, ed indicando con n! il suo fattoriale i numeri
da n! ± 2 a n! ± n
sono tutti composti: infatti, se m è minore di n, allora n! + m è divisibile per m, e quindi
non è primo.
La sequenza, che comprende N numeri consecutivi, è quindi priva di numeri primi.
Quindi basta scegliere un numero primo P > 70.000.000! e si ha una sequenza
maggiore del limite di Zhang > 70.000.000
Zhang afferma che ci sono molte infinite coppie di numeri primi la cui differenza è
minore di 70 milioni. Questa dimostrazione è la prima a stabilire un limite finito per gli
intervalli dei numeri primi.
Inoltre questo limite è destinato ad abbassarsi ancora di più.
Se poniamo che P(N) significhi avere un'infinità di coppie di numeri primi il cui gap è
esattamente uguale a N, allora il risultato di Zhang è equivalente ad affermare che esiste
almeno un intero pari k < 70.000.000 tale che valga P(k).
La congettura dei numeri primi gemelli è equivalente ad affermare che P(2).
In realtà è stato ipotizzato che P(k) valga per tutti gli interi k pari e questo è equivalente,
anzi è il medesimo enunciato della congettura di Polignac dove non esiste nessun limite
a k.
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Mentre queste “forti” congetture rimangono non dimostrate, i successivi miglioramenti,
dovuti ad un progetto comune dell’enunciato di Zhang, hanno abbassato il limite di P(k)
per qualche k ≤ 4680
Però è stato anche dimostrato che un abbassamento del limite fino a 2 e quindi l’infinità
dei numeri primi gemelli P(2) NON può essere dimostrato con l’enunciato di Zhang.
Attraverso la congettura di Polignac del 1849 si afferma che per ogni intero positivo
pari k, ci sono infinite coppie di numeri primi consecutivi p and p′ tali che p′ − p = k e
quindi ci sono tutti i gap di numeri primi che si vogliano uguali a k.
Il caso k = 2 è la congettura dell’infinità dei numeri primi gemelli.
La congettura non è stata ancora dimostrata per nessun valore di k, ma l’enunciato di
Zhang dimostra che è vera per almeno un valore di k però ancora sconosciuto.
Si osservi che l’enunciato di Zhang afferma che NON è possibile avere delle coppie
infinite di numeri primi con ad esempio il limite attuale trovato di 4680.
Ad esempio scelto P(5000) Zhang afferma che le coppie che distano dell’intervallo
di k=5000 sono finite e NON infinite.
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1.1 OSSERVAZIONI SULL’ENUNCIATO DI ZHANG
Ogni numero pari k può essere scritto come la DIFFERENZA tra 2 numeri primi
CONSECUTIVI pn+1 e pn
pn+1 – pn = k
Poniamo che:
P(k) significhi avere un'infinità di coppie di numeri primi consecutivi e invece D(k)
significhi avere una coppia finita di coppie di numeri primi consecutivi, il cui gap è
esattamente uguale a k numero pari.
Se le coppie differenza D(k) di numeri primi consecutivi sono infinite per qualsiasi
numero pari k, allora la somma di tutte queste coppie dà ∞.
D(2) + D(4) + D(6) + D(8) + …. + D(n) + … = ∞
Si osservi che si raggiunge il valore ∞ perché la somma è data da infiniti termini D(k), e
la somma è quindi infinita.
Questo perchè sappiamo che i numeri primi sono infiniti.
Non rimane che accettare che NON esista neanche una coppia infinita di numeri
primi consecutivi P(k), per un certo valore di k pari.
Sembra quindi che quello che afferma Zhang nel suo enunciato debba essere
oggetto di revisione ed ulteriori approfondimenti.
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Se scriviamo:
…..+ D(k-2) + P(k) + D(k+2) + D(k+4) + …. + … = ∞
Ovviamente basta una coppia qualsiasi P(k) a dare come somma un valore ∞
Se però esistesse solo una coppia infinita di numeri primi consecutivi, ad esempio
poniamo per ipotesi proprio P(2), e tutte le altre coppie D(4), D(6), D(8),… sono finite,
allora la distribuzione dei numeri primi all’infinito continuerebbe solo più con quella
dei numeri gemelli P(2) e invece non è così, anzi più numeri primi grandi scegliamo e
più la differenza fra le coppie di numeri primi consecutivi diventa grande e non può
essere uguale a 2.
Per induzione il ragionamento vale anche se scegliessimo un’altra coppia infinita o
anche più coppie infinite con differenze di numeri pari anche grandi perché più numeri
primi grandi scegliamo e la distribuzione dei numeri primi all’infinito sarebbe data dalla
coppia, o da quella coppia con differenza pari maggiore se abbiamo diverse coppie,
scelta in precedenza. Ma più numeri primi grandi scegliamo più la differenza fra le
coppie di numeri primi consecutivi diventa grande e quindi sarà sempre maggiore di
qualunque scelta fatta in precedenza.
Solo se tutte le coppie di numeri primi consecutivi sono finite, per ogni numero
pari k, allora la distribuzione dei numeri primi è quella che ci ritroviamo e si ha
anche la crescita di k con un nuovo D(k) sempre più grande dovuto ai gap sempre
più grandi che si hanno.
Questo ci porta a dedurre che l’enunciato di Zhang potrebbe essere oggetto di
ulteriori revisioni ed approfondimenti in quanto: non esiste nessun limite per le
coppie infinite di numeri primi proprio perché non ci sono coppie infinite di
numeri primi.
Per qualsiasi valore di k non esiste MAI un P(k) infinito ma solo un D(k) finito.
E’ plausibile che il gruppo di ricerca nominato che ha già abbassato il limite al valore di
k ≤ 4680 e quindi che le coppie di numeri primi consecutivi con P(k) e k > 70.000.000 o
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il limite attuale di k > 4.680 siano finite, si renda conto con i potenti calcoli
computazionali a disposizione che k , forse, NON ESISTE AFFATTO.
Per ogni numero intero pari k non esistono infinite coppie di numeri primi
consecutivi la cui differenza è proprio uguale a k ma tutte le coppie sono FINITE.
Esistono tutti i D(k) per ogni k intero pari.
Quindi, quanto descritto potrebbe condurci alla conclusione che anche la
congettura di POLIGNAC e la congettura dei numeri primi gemelli debbano
essere oggetto di ulteriori revisioni ed approfondimenti.
Ad esempio fino a 10.000.000 la densità dei gap pari è la seguente:
[
[
[
[
[
[
[
[
[
[
[
[
[
[
[
[
[
[
[
2]
4]
6]
8]
10]
12]
14]
16]
18]
20]
22]
24]
26]
28]
30]
32]
34]
36]
38]
1 =>
2 =>
3 =>
4 =>
5 =>
6 =>
7 =>
8 =>
9 =>
10 =>
11 =>
12 =>
13 =>
14 =>
15 =>
16 =>
17 =>
18 =>
19 =>
58980
58621
99987
42352
54431
65513
35394
25099
43851
22084
19451
27170
12249
13255
21741
6364
6721
10194
4498
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Il gap con maggiore densità è dato da k=6, seguito da k=12 e poi da k=2 ma nessun gap
è infinito anche se aumentiamo il conto fino all’∞
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1.2 COROLLARIO DELLA DIMOSTRAZIONE DI POLIGNAC CON
COPPIE FINITE
Nasce così spontaneamente anche il seguente enunciato:
I valori pari di k di D(k), per k sempre più grandi con numeri primi sempre
maggiori, sono la base generatrice dei numeri pari medesimi.
Ovvero i gap tra numeri primi consecutivi determinano anche tutto l’insieme dei
numeri interi pari.
Si osservi che questo enunciato per numeri primi piccoli genera valori k pari piccoli,
solo con numeri primi grandi si hanno gap pari grandi.
Se volessimo trovare gap grandissimi dovremmo applicare n! e la sequenza dei suoi
composti da n! ± 2 a n! ± n con n=k grandissimi.
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2. ULTERIORI OSSERVAZIONI
Sui gap dovuti ai fattoriali, da n! ± 2 a n! ± n sopra osservato, ricordiamo che non sono
i più grandi possibili, ce ne sono ancora più grandi anche prima di n! e non legati ai
fattoriali. I gap in ogni caso non possono superare il quadrato del logaritmico del
numero primo più piccolo i una coppia qualsiasi di numeri primi, vedi sotto sulla
congettura di Cramer – Shank.
Se ci fosse un’ultima coppia di gemelli (differenza 2) o un ultima coppia di numeri
consecutivi con differenza pari k con k finito, dovrebbero emergere dai lavori di Zhang,
e invece ancora non risulta esistere ne prima ne dopo k = 70 000 000.
Se tale coppia di gemelli esistesse (ma la cosa vale anche per qualsiasi differenza k),
essa comporterebbe che da tale punto in poi i numeri primi dovrebbero essere tutti di
forma 6k -1 oppure di forma 6k +1, in modo che nessuno di loro potrebbe fare coppia
con un numero primo di forma opposta alla sua, oppure i numeri primi di entrambe le
forme dovrebbero essere perfettamente alternati, come i numeri pari e dispari, dove è
impossibile che esistano due numeri pari o dispari sulla stessa riga delle rispettive
colonne.
Per esempio
Numeri dispari
Numeri pari
1
2
3
4
5
6
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8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
…
…
Come si vede, nella stessa riga non possono mai esserci due numeri pari o due numeri
dispari. Questo perché i numeri pari e i numeri dispari sono in numero uguale fino ad
un certo numero pari (per esempio fino a 10 ci sono 5 numeri pari e 5 numeri dispari, e
sono perfettamente alternati tra loro. Per i numeri primi, invece essi non sono, fino ad
un dato N, in numero uguale per quanto riguarda la loro forma 6k -1 e 6k +) per
esempio fino a 1000 sono 80 e 86, con totale 166, più i numeri primi 2 e 3, per un totale
finale di 168 = π(1000); e nemmeno perfettamente alternati , per cui data una coppia di
gemelli (o con differenza k), se ne troverà sempre una più grande, entro un certo
intervallo di ln(p)^4, cosi come dato un numero primo p se ne trova sicuramente un
altro entro un intervallo ln(p)^2, e cioè tra p e p + ln(p)^2 (congettura di CramerShank, da noi già dimostrata). E’ come la dimostrazione di Euclide sull’infinità dei
numeri primi: dato un numero primo, ce n’è sempre uno successivo, all’infinito.
Per le coppie con differenza k=2 (gemelli) o k pari grande a piacere, e senza i limiti
veri o presunti ipotizzati da Zhang, si ha che qualsiasi coppia k di numeri primi
consecutiva che si scelga è sempre finita.
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Vediamo la tabella delle forme 6k+1 dei numeri primi maggiori di 3 (in rosso)
6k -1
6k
6k +1
5
6
7
11
12
13
17
18
19
23
24
25
29
30
31
35
36
37
41
42
43
47
48
49
53
54
55
59
60
61
…
…
…
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Vediamo 6 coppie di numeri gemelli e 10 coppie di numeri con differenza 2 dei quali 9
numeri primi nella prima colonna e 7 nella terza colonna; quindi con numeri 9 e 7 non
uguali tra loro, e numeri primi in entrambe le colonne (anziché in una sola colonna) e
nemmeno perfettamente alternati, contrariamente al nostro ragionamento per assurdo.
In Rif. 7 avevamo già avanzato qualche dubbio sull’enunciato di Zhang, dubbi che ora
evidenziamo insieme al coautore Piero Roggero con le osservazioni descritte in tale
articolo.
Circa le coppie di gemelli, possono essere anche ravvicinate a gruppi di quattro, cinque
o sei ( le cosiddette quadruple, quintuple, sestuple di numeri primi), Inoltre, anche le
coppie di numeri primi gemelli hanno il loro gap tra l’una e l’altra, e così anche le
quadruple (due distinte coppie ravvicinate di numeri gemelli), le quintuple e le sestuple .
Un gap è anche detto “deserto di numeri primi”, cioè intervalli numerici privi di numeri
primi, che siano legati o no ai fattoriali. Lo stesso succede con le coppie di gemelli, le
quadruple ecc, con rispettiva distanze medie di ln (p)^4,
ln(p)^8, ln(p) ^10 e
ln(p)^12, con esponente doppio del numero di quello del gruppo considerato (2 per i
gemelli, 4 per le quadruple ecc.) . Anche qui una congettura di Cramer – Shank estesa
potrebbe essere dimostrata anche per questi gruppi di coppie di gemelli.
La loro distribuzione logaritmica è regolata dagli esponenti del logaritmo di p, numero
più piccolo del gruppo considerato. Per esempio, prendiamo le quadruple successive:
{191, 193, 197, 199}, {821, 823, 827, 829}
La seconda è entro il ln(p)^8 = (ln 191)^8 = 5,25^8 = 577 131,03, quindi 821 della
quadrupla successiva è ben dentro l’intervallo 577 131, gap massimo possibile per
quadruple di questo ordine di grandezza (191 e numeri primi vicini)
Altro esempio
{97481, 97483, 97487, 97489}, {99131, 99133, 99137, 99139}
Gap massimo ≈ ln (97481)^8 = 11,48^8 = 301 672 070,81.
Anche per queste, come per i numeri primi, vale la dimostrazione di Euclide per i
numeri primi: dato un numero primo, ce ne è sempre uno più grande
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Conclusioni
Secondo le osservazioni da noi descritte nel presente articolo, l’enunciato di Zhang
necessiterebbe di ulteriori future revisioni ed approfondimenti. Anche perché, come da
noi ben evidenziato, ciò potrebbe condurre a dover rivedere ed approfondire anche la
congettura di Polignac e quella dei numeri primi gemelli.
3. RIFERIMENTI
(dal 2 in poi tutti sul nostro sito)
1) da Wikipedia, “Numero primo fattoriale”
2) “ PROBLEMI DI LANDAU Congettura e infinità dei Numeri di Landau di
forma n^2+1 (dimostrazione ed estensione a forme numeriche simili”
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
3) “I NUMERI PRIMI EUCLIDEI e le forme 6k + 1 dei numeri primi”
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
4) “DIMOSTRAZIONE DELLA CONGETTURA DI POLIGNAC”
Ing. Pier Francesco Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto
5) “Appunti sui gap tra due numeri primi consecutivi”
Gruppo “B. Riemann”*
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Francesco Di Noto, Michele Nardelli
6) Matematica con i numeri primi e le forme 6k + 1”
Francesco Di Noto, Michele Nardelli,Pier Francesco Roggero
7) ”NOTIZIA CIRCA UNA NUOVA DIMOSTRAZIONE
RIGUARDANTE I NUMERI PRIMI GEMELLI “
Gruppo “B. Riemann”
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
8)” PROOF OF THAT THE MAXIMUN GAP BETWEEN TWO CONSECUTIVE
PRIME NUMBERS IS BETWEEN n AND n/ln^2”
Pier Francesco Roggero, Michele Nardelli, Francesco Di Noto
9)” MAX NUMERI PRIMI E ANCHE GEMELLI“
Ing. Pier Francesco Roggero
10) “INFINITA’ DEI NUMERI PRIMI DI SOPHIE GERMAIN E DEI NUMERI
PRIMI GEMELLI”
Gruppo “B. Riemann”
Francesco Di Noto, Michele Nardell
11) “Le quadruple di numeri primi”
Michele Nardelli, Francesco Di Noto