GEOMETRIA
SCHEMA:
DEVI CONOSCERE BENE LA TEORIA DELLA GEOMETRIA
EUCLIDEA (definizioni e relativi significati, assiomi e teoremi )
-
Leggi bene il problema.
-
Esegui il disegno relativo al testo, evitando di metterti in casi particolari.
Scrivi le ipotesi, che devono contenere tutte le informazioni che ti sono
state date nel testo e che quindi sono le affermazioni da cui devi partire.
-
Scrivi la tesi, cioè quello che devi dimostrare.
Esegui la dimostrazione, attraverso una sequenza logica, partendo dalle
ipotesi, che sono le informazioni che conosci e quindi sai essere vere, perché ti
sono state date. Procedi giustificando ogni successiva sequenza logica che deduci
dalla precedente, dichiarando se utilizzi ad esempio le ipotesi o una definizione o
un assioma o un teorema precedentemente dimostrato.
ES. 1 Problema (ESEMPIO SVOLTO)
Dati due segmenti adiacenti AB e BC, considera il loro punto medio M di AB e N di
BC. Dimostra che MN 1 AC.
2
Disegno:
·
A
M
·
B
·
N
·
C
·
Ipotesi : AB e BC sono adiacenti può essere scritto in simboli così A, B, C r
M è punto medio di AB può essere scritto in simboli così AM MB
N è punto medio di BC può essere scritto in simboli così BN NC
Tesi : MN
1
2
AC
Dimostrazione:
Osserviamo che
MN MB + BN
per la definizione di somma di segmenti
Ma è anche
MN AM + NC
perché è AM MB e BN NC per ipotesi
Allora sommando membro a membro le due uguaglianze, si ha
MN + MN AM + MB + BN + NC perché somma di segmenti congruenti
Da cui si ottiene
2 MN AC
per la definizione di multiplo e di sottomultiplo ( ora dividendo entrambi i
membri per due )
si ha:
MN 1 AC
c.v.d.
2
ES. 2 (ESEMPIO GUIDATO)
Esercizio guidato
Problema 1: siano AB , BC e CD tre segmenti adiacenti, con AB CD. Dimostra che AC BD.
Esegui il disegno
Ipotesi:
Tesi:
DISEGNO:
Dimostrazione :
Osservo che: AC AB + …..
per definizione di somma di segmenti
BD CD + …
per ……………………………………
AB CD
per ipotesi
Quindi (osserva i secondi membri delle prime due congruenze, essi sono uguali)
AC BD
perché somme di ……………………………. c.v.d.
ES. 3 ( Ora prova tu).
Problema 2
Tre segmenti adiacenti AB, BC e CD sono congruenti. Dimostra che il punto medio M di BC è
anche il punto medio di AD.
Disegno
Ipotesi:
Tesi :
Dimostrazione
ES. 4 PROBLEMA:
Considera un angolo convesso e la sua bisettrice n . Sui lati dell’angolo si prendano
rispettivamente due segmenti congruenti BA e BC e si dimostri che, detto E un punto
qualunque della bisettrice, i segmenti AE ed EC sono congruenti.
Completa le parti mancanti.
GRAFICO ( costruisci la figura)
IPOTESI ( Hp ):
TESI ( Th ) : ……………….
DIMOSTRAZIONE:
Considero i triangoli ed …….. essi hanno: ……. e BE ………..
Allora i triangoli considerati sono congruenti per ….. criterio di congruenza dei
triangoli; perciò i triangoli ABE ed EBC hanno tutti gli elementi corrispondenti
ordinatamente congruenti e in particolare ………… c.v.d. (come volevasi
dimostrare).
ES. 5 PROBLEMA:
Dato un triangolo ABC isoscele, si prendano sulla base AB due punti E ed F in modo che i
segmenti AE ed FB siano congruenti ed AE<AF. Dimostrare che il triangolo EFC è isoscele.
Completa le parti mancanti.
GRAFICO ( costruisci la figura)
IPOTESI ( Hp ):
TESI ( Th ) : ……………….
DIMOSTRAZIONE:
Considero i triangoli …….. ed …….. essi hanno: …………..; …………per ipotesi
e gli angoli perché angoli alla base di un triangolo isoscele( teorema già dimostrato).
I due triangoli considerati sono perciò …………..per il ….. criterio di congruenza dei
triangoli; quindi hanno tutti gli elementi corrispondenti ordinatamente ………….e in
particolare ……………; allora , il triangolo …….. è ………………… c.v.d. (come
volevasi dimostrare).
ES. 6 PROBLEMA:
Dimostrare che congiungendo i punti medi dei lati di un triangolo isoscele si ottiene un altro
triangolo isoscele.
Completa le parti mancanti.
GRAFICO ( costruisci la figura)
IPOTESI ( Hp ):
TESI ( Th ) : ……………….
DIMOSTRAZIONE:
Considero i triangoli …….. ed …….. essi hanno: ………….perché metà di lati
congruenti per ipotesi; …………per ipotesi; …………..perché angoli …………. del
triangolo che3 è isoscele per ipotesi..
I triangoli considerati sono perciò …………..per il ….. criterio di congruenza dei
triangoli; quindi hanno tutti gli elementi corrispondenti ordinatamente ………….e in
particolare ………….; allora ,
il triangolo …….. è ………………… c.v.d. (come volevasi dimostrare).
ESERCIZI
1.
Due triangoli isosceli hanno la base AB in comune e i vertici C e C’ situati nei semipiani
opposti rispetto AB. Dimostrare che il segmento CC’ dimezza la base AB.
2.
In un triangolo isoscele ABC, di base AB, sia H il punto in cui si intersecano le bisettrici
degli angoli alla base. Dimostrare che il triangolo AHB è isoscele e Che i triangoli AHC e
