La GEOMETRIA per il DISEGNO tratto da Tecnologie e Tecniche

•
Richiami di geometria
Il punto e uri'entita geometrica priva di materia ed estensione, individuata come in­
tersezione di una retta con un piano, di due rette, di una retta e un arco di circonferenza
o di due archi di circonferenza. Viene indicato con lettera maiuscola (Figura 57).
La retta e costituita da un insieme infinito di punti nella stessa direzione. Viene in­
dicata con lettera minuscola (Figura 58).
La semiretta e una parte di retta delimitata da un suo punto (Figura 58).
I1 segmento e la parte di retta delimitata da due punti (Figura 58).
La linea spezzata e costituita da segmenti consecutivi e non allineati (Figura 59).
La linea curva e una linea generata da punti consecutivi che non mantengono la
stessa direzione (Figura 59).
La linea mista e una linea composta da segmenti rettiliriei e curvilinei (Figura 59).
La linea puo assumere diverse posizioni nel piano e nello spazio: orizzontale, ver­
ticale e obliqua (Figura 60).
CL
a
A
Figura 57
hlividuazione del punto.
B
A
_c~
A
B
Figura 58
Retta, semiretta e segmento.
ORIZZONTALE
Figura 59
Linea spezzata, curva e mista.
Figura 60
Linea orizzontale, verticale e obliqua.
•
I
'~
A.W
1
Percorso
Principi, metodi
e tecniche di.
rappresentezjone
Le rette possono essere:
• incidenti se hanno un punto in comune (Figura 61);
• parallele se appartengonoallo stesso piano e non hanno alcun punto in comune (Figura61
• perpendicolari se, intersecandosi, determinano quattro angoli retti (Figura 61).
11 piano (Figura 62) e la superficie meno estesa che passa per tre punti non allineai
Esso ha estensione illimitata.
11 semipiano (Figura 63) e una parte del piano delimitata da una retta. Esso ha estei
sione ancora illimitata.
L' angolo (Figura 64) e una parte del piano delimitata da due semirette aventi per or
gine lo stesso punto detto vertice.
L'angolo puo essere (Figura 64):
• retto, se ha un 'ampiezza di 90°;
• acuto, se ha un'ampiezza minore di 90°;
• ottuso, se ha un'ampiezza maggiore di 90°;
• piatto, se ha un'ampiezza di 180°;
•giro, se ha un'ampiezza di 360°;
• convesso, se ha un'ampiezza minore di un angolo piatto;
• concavo, se ha un'ampiezza maggiore di un angolo piatto.
RETIE INCIDENT!
A
a
6
Figura 62
Piano.
PARALLELE.
PERPEND ICO LARI
p
a
OTTUSO
b
/­­­.._
Figura 61
Rette incidenti, parallele e perpendicolari.
(
~~IATTO
!
~NVES:/
r
Figura 63
Semipiano.
•
1. 5 Richiami
v
Figura 64
Angoli.
di geometria
\
~)
v
CONCAVO~J
GIRO
=>ercorso
1
Principi, metodi
e tecniche di
rappresentazione
Sommando due angoli tra loro si possono avere:
• angoli complementari, se la loro somma e uguale ad un angolo retto (Figura 65);
• angoli supplementari, se la loro somma e uguale ad un angolo piatto (Figura 65).
Si definisce bisettrice di un angolo la semiretta che parte dal vertice e divide I'an­
golo in due parti uguali (Figura 68).
Il triangolo e un poligono composto da tre lati e da tre angoli (Figura 66 e 67).
In relazione ad essi il triangolo si puo definire:
• equilatero, se ha i lati e gli angoli uguali;
• isoscele, se ha due lati e due angoli uguali;
• scaleno, se ha lati e angoli disuguali.
In relazione agli angoli il triangolo si puo definire:
• rettangolo, se ha un angolo retto;
• ottusangolo, se ha un angolo ottuso;
• acutangolo, se ha tutti gli angoli acuti.
c
OS
ANGOLI
ANGOLI
SUPPLEMENT ARI
COMPLEMENT ARI
B
EQUILATERO
ill
B
A
ISOSCELE
c
A
B
SCALENO
Figura 66
Triangolo equilatero, isoscele e scalene.
-:oli complementari e supplementari.
c
A
A
c
c
B
CA TETO
B
c
A
ra 67
Fdlgolo rettangolo, ottusangolo e acutangolo.
v
B
Figura 68
Bisettrice di un angolo.
1. 5 Richiami di geametria
•
I
Percorso
1
Principi, metodi .
e tecniche di
rappresentazione
In un triangolo si definisce (Figura 69):
• incentro: il punto di intersezione delle bisettrici;
• ortocentro: il punto di intersezione delle altezze;
• baricentro: il punto di intersezione delle mediane.
11 quadrilatero e un poligono costituito da quattro Iatie quattro angoli.
In relazione ai lati si definisce (Figura 70):
• parallelogramma,se ha i lati opposti paralleli (quadrato, rettangolo,romboide e romt
• trapezio, se ha due lati paralleli (trapezia rettangolo, trapezia isoscele e trape:
scaleno),
c
0 = ORTOCENTRO
c
Figura 69
lncentro, ortocentro e baricentro.
A
O=INCENTRO
0 = BARICENTRO
D
D
A
ROMBOIDE
C
B
ROMEO
B
Figura 70
Parallelogrammi
e 1.s
e trapezi.
Richiami di geometria
TRAPEZIO
RETIANGOLO
TRAPEZIO
ISOSCELE
TRAPEZIO
SCALENO
=:: :rcorso
1
Principi, metodi
e tecniche di
rappresentazione
Si definisce simmetriala corrispondenza tra due o piu elementi geometrici rispetto
ad un punto, ad una retta e ad un piano (Figura 71).
Un esempio di ambiente architettonico progettato e realizzato dall'uomo, simme­
trico rispetto ad un asse longitudinale e uno trasversale e la rotonda di Vicenza di A.
Palladio (Figura 72).
:::113
71
di simmetria.
ASSEDI
SIMMETRIA
Un poligono si definisce regolare se ha tutti i lati e tutti gli angoli uguali (Figura 73).
In relazione al numero dei lati si definisce: pentagono, esagono, ettagono, ottagono,
ennagono, decagono, endecagono, dodecagono ecc.
PENTAGONO
ra 72
ii. Capra detta La rotonda (A.
Palladio, Vicenza).
ESAGONO
OTTAGONO
1. 5 Richiami di geometria
•
Un poligono regolare puo essere inscritto in una circonferenza o circoscritto
circonferenza (Figura 74).
Il raggio della circonferenza circoscritta
il raggio del poligono, il raggio d
conferenza inscritta
Figura 74
Poligono inscritto e circoscritto.
e l'apotema
e
del poligono.
POLIGONO
INSCRITTO
POLIGONO
CIRCOSCRITTO
La circonferenza e il luogo geometrico <lei punti del piano equidistanti da u
dello stesso piano detto centro (Figura 75).
La corda e ii segmento che unisce due punti della circonferenza.
II diametro e una corda passante per il centro.
La saetta e la perpendicolare alla corda passante per il suo punto media,
cando la circonferenza.
L'arco e una parte di circonferenza delimitata da due punti detti estremi dell
II cerchio e la parte di piano delimitata da una circonferenza.
Il settore circolare e la parte di piano racchiusa da due raggi e dall' arco COI
0
SEMlCERemo
CERCHIO
Figura 75
Definizioni geometriche sulla circonferenza e sul cerchio.
H
Il semicerchio e la parte di cerchio diviso dal suo diametro.
11 segmento circolare a una base e la parte di cerchio delimitatada un arco e dalla su
II segmento circolare a due basi e la parte di cerchio delimitata da due corde p
La corona circolare e la parte di piano delirnitata da due circonferenze conce
Due circonferenze si dicono eccentriche quando sono una interna all'altr
avere centri in comune (Figura 76).
(:\
v
Figura 76
Circonferenze concentriche ed eccentriche.
• 1. 5
Richiami di geometria
CIRCONFERENZE
CONCENTRICHE
CIRCONFERENZE
ECCENTRICHE
~ercorso
1
Principi, metodi
e tecniche di
rappresentazione
Una retta, rispetto ad una circonferenza, si definisce (Figura 77):
• secante, se ha due punti in comune con essa;
• tangente, se ha un solo punto in comune con essa;
• estema, se non ha nessun punto in comune con essa.
Una circonferenza, rispetto ad un'altra, si definisce (Figura 77):
• tangente intema;
• tangente estema;
• secante;
• esterna.
TANGENTE ESTERNA
Figura 77
~empi di retie e circonferenze tangenti, secant! ed esterne.
TANGENTE INTERNA
CIRCONFERENZE ESTERNE
ClRCONFERENZE SECANT!
Si definisce diedrouna parte di spazio limitata da due semipiani che hanno la stessa
origine (Figura 78).
Si definisce triedrouna parte di spazio limitata da tre sernipiani che hanno le origini
in comune (a due a due) che concorrono in uno stesso punto (vertice) (Figura 78).
Due piani vengonodefinitiperpendicolariquando dividono lo spazio in quattrodiedri uguali.
>I:!
i
u
~I
ell
-c:
CJ
DIEDRO
Figura 78
)iedro e triedro.
TRIED RO
Figura 79
Superficie cilindrica.
........,;­­­=­­­ . . . ­­­­­
Un solido e una parte di spazio,
Il volume e la misura dello spazio delimitato da un solido.
Si definisce superficie cilindrica(Figura 79) la superficie generata da una retta (ge­
neratrice) che ruota intomo ad un'altra retta (asse), mantenendosi parallela ad essa.
1. 5 Richiami di geometria
•
Si definisce superficie conica (Figura 80) la superficie generata da una retta (gene
ratrice) che ruota intomo ad un'altra (asse) con angolazione costante; il punto di in
tersezione tra asse e generatrice viene chiamato vertice.
Si definisce superficie sferica (Figura 81) la superficie generata da una circonfo
renza che ruota intomo ad un suo diametro.
Si definisce solido di rotazione (Figura 82) un solido generato da una figura piaru
(rettangolo, triangolo, semicerchio) che ruota intorno ad un asse.
Sono solidi di rotazione: il cilindro retto, il cono retto, la sfera.
I
I
I
--+-r
GENERA TRICE
~
•
p
I
2
3
4
5
­­1­­+­i­­­­i
­1
­2
r:
t­5
l'­6
Coordinate cartesiane
Nel piano e possibile definire la posizione di un punto mediante coordinate (valor
lineari o angolari).
11 piano cartesiano e individuato da una coppia di assi x e y, detti rispettivamenn
asse delle ascisse e delle ordinate; l'intersezione dei due assi si chiama origine
L' orientamento degli assi da luogo a coor
dinate con valori positivi o negativi (Fi
gura 83). ·
Esempi:
P = ( 1, 5) rappresenta un pun to che h:
ascissa uguale a 1 e ordinata uguale a 5;
P' = (­5, 1) rappresenta un punto che lu
1
ascissa uguale a -5 e ordinata uguale a 1;
P" = (5, -1) rappresenta un punto che h:
ascissa uguale a 5 e ordinata uguale a -1.
o~a
11­
y
6
­
x
P"
..
1. 5 Richiami
_,
Figura 84
Coordinate polari.
di geometria
x
•
~­
Figura 83
Coordinate cartesiane.
•
Figura 82
Solidi di rotazione .
Figura 81
Superficie sferica.
Figura 80
Superficie conica.
I
Coordinate polari
Un punto P viene individuato nel piano d:
un valore angolare e da un valore lineare
riferiti ad una semiretta x orientata e a
punto 0, detto origine (Figura 84).
Percorso
1
Principi, metodi
e tecniche di
rappresentazione
•
Coordinate assolute e relative
Un punto P puo essere individuato nel piano rispetto ad un solo sistema di riferi­
mento cartesiano tramite coordinate dette assolute; oppure rispetto alla posizione di
un altro punto tramite coordinate dette relative.
Si osservi la Figura 85:
• il punto P ha coordinate assolute (2,1);
• il punto Q ha coordinate assolute (6,1);
• il punto R ha coordinate assolute (6,4).
Il punto Q ha coordinate relative rispetto a P: (4,0);
Il punto R ha coordinate relative rispetto a P: (4,3).
y
6
5
R
4
3
2
Rgura 85
:OOrdinate assolute e relative.
0
L
Q
p
2
3
4
5
6
­
7 x
1. 5 Richiami di geometria •