teorema di T e TSE

Teorema di Thevenin
In una rete lineare, comunque complessa, ai fini del calcolo delle grandezze
elettriche in un ramo, tutta la rete a monte del ramo può essere vista equivale ad un
unico generatore di tensione Veq con una resistenza in serie Req; dove il valore del
generatore di tensione Veq è pari alla tensione a vuoto ai capi del ramo tolto lo
stesso, e la resistenza Req è pari alla resistenza vista ai capi del ramo tolto
quest’ultimo e considerando nulli i generatori di tensione ed aperti i generatori di
corrente.
Il generatore e la resistenza ottenuti vengono definiti rispettivamente generatore
equivalente Veq e resistenza equivalente Req.
Vediamone subito un esempio. In figura 6 abbiamo un circuito di cui vogliamo calcolare
tensione e corrente sulla resistenza R6, supponendo di avere i seguenti valori
R1 = 100Ω R2 = 270Ω R3 = 10 KΩ R4 = 8 KΩ R5 = 600Ω R6 = 1 K Ω VA = 20 V
a)
b)
Fig.6: a) Circuito di partenza; b) Circuito equivalente di Thevenin
"Tagliamo" il circuito come in figura 6a e cominciamo con il calcolare la Veq partendo dalla
I1, vedi figura 7
Rtot = (R1+R2) +( (R4+R5)//R3 ) = 4,99 KΩ
I1 = VA / Rtot
= 4,008 mA
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Fig.7: Circuito per il calcolo di Veq
V3 = I1·( (R4+R5)//R3 ) = 18,53 V
e sfruttando la formula del partitore di tensione
Veq=VAB =V3 R4 / (R4+R5) = 17,23 V
Ora, dopo aver sostituito il generatore di
tensione con un filo, calcoliamo la resistenza
Req, vedi figura 8
Req = ( ((R1+R2)//R3) + R5 ) // R4 = 854 Ω
Fig. 8: Circuito per il calcolo di Req
A questo punto abbiamo calcolato i componenti del circuito di figura 6b e possiamo
calcolare corrente e tensione sulla R6
I6 = Veq / (Req+R6 )= 9,29 mA
V6 = I6·R6 = 9,29 V
DA FOCALIZZARE quando si applica il Teorema di Thevenin:
Circuito iniziale
Circuito per il calcolo di Req
Circuito per il calcolo di Veq
Circuito equivalente finale
Importante: calcola solo un ramo
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Teorema della sovrapposizione degli effetti
In una rete elettrica lineare, comunque complessa, le grandezze elettriche in ogni
punto della stessa possono essere viste come somma degli effetti causati da
ciascun generatore indipendente presente nella rete, considerato singolarmente.
Ciò significa che, per risolvere una rete elettrica composta da più generatori, si può
calcolarne l’effetto dovuto ad ogni singolo generatore ed infine sommare algebricamente i
risultati ottenuti.
Considerare un generatore alla volta significa annullare l'energia introdotta dagli altri, e
cioè considerare nulla la tensione per i generatori di tensione (che equivale a dire sostituirli
con un cortocircuito) e considerare nulla la corrente per i generatori di corrente (che
equivale a dire aprirli). Quando è utile:
soprattutto quando vi sono più generatori diversi per cui non è agevole risolvere il
circuito con altri metodi, caso ad esempio generatori di tensione sinoidale1 con
diverse frequenze
Ad esempio al circuito di figura 9, composto dai generatori di tensione V1 e V2, e quattro
resistenze R1, R2, R3, R4, si può applicare il teorema della sovrapposizione degli effetti
considerando prima gli effetti del generatore di tensione V1, poi gli effetti del generatore di
tensione V2 ed infine sommare algebricamente i due risultati per ottenere i valori delle
correnti e delle tensioni del circuito.
Fig.9
Vogliamo ad esempio calcolare la corrente I1, considerando quindi solamente il generatore
di tensione V1, al fine di calcolarci I1’, pertanto il circuito diventa quello di fig. 10.
1
Si tratta di generatori che forniscono una tensione espressa da una relazione del tipo: V=VM sen 2π f t dove f è la
frequenza, t è il tempo e VM è il valore massimo che assume la tensione.
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Fig. 10
Fig. 11
Considerando che R4 e R2 sono poste in parallelo, nel circuito precedente le possiamo
sostituire con Rp, calcolata appunto mediante il parallelo tra R4 e R2. Ora possiamo
procedere con il calcolo de I1' sul circuito ricavato (Fig.11):
= 9,36 mA
I1’= V1 / (R1+Rp+R3)
A questo punto passiamo a considerare solo il generatore V2 sostituendo con un filo il
generatore di tensione V1, al fine di calcolarci I1’’, ottenendo così il circuito di figura 12.
Fig. 12
Fig. 13
Qui il circuito è un po' più complesso. Possiamo allora calcolare la tensione tra i nodi A e B
di figura 13, e poi ricavare le correnti I1'' e I2''
I3‘’=
V2 / (RP2+R4)
= 79 mA
VAB = RP2 I3‘’=
233 ·79
= 18,4 V
I1''=
-VAB / (R1+R3) = -17,5 mA
A questo punto sommiamo algebricamente le correnti: I1 = I'1 + I''1 = 9,36-17,5 = -8,14 mA
Appare chiaro che la I1 ha verso opposto a quello ipotizzato .
Ora possiamo ricavare le tensioni: VR1 = R1·I1 = -0,876 V; VR3 = R3·I1 = -17,5 V
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