L’insieme N dei numeri naturali è infinito?
“L’infinito!
Nessun altro problema ha mai scosso così profondamente lo spirito
umano; nessuna altra idea ha stimolato così proficuamente il suo
intelletto; e tuttavia nessun altro concetto ha maggior bisogno di
chiarificazione che quello di infinito” (David Hilbert, 1921)
Daniela Valenti, Treccani Scuola
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L’infinito in matematica
In matematica si distingue fra numeri molto grandi e l’infinito.
• Il numero di stelle nell’Universo è molto grande, ma finito
(circa 1022) e più grande, ma sempre finito, è il numero di
atomi nell’Universo (circa 1080);
• Il cervello umano è formato da circa 1012 neuroni ed ognuno di
essi entra in contatto con 104 altri neuroni, perciò è
grandissimo, ma finito, il numero di contatti nervosi.
• La matematica ha raggiunto uno straordinario risultato:
elaborare ragionamenti e procedimenti per affrontare
l’infinito con il cervello finito dell’uomo.
Daniela Valenti, Treccani Scuola
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Attività 2: L’insieme N è infinito?
Dividetevi in gruppi di 2 – 4 persone.
Ad ogni gruppo viene data una scheda di
lavoro da completare.
Avete 30 minuti di tempo
Daniela Valenti, Treccani Scuola
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Che cosa abbiamo trovato?
Ragionamenti e procedimenti per
distinguere insiemi finiti e infiniti
Daniela Valenti, Treccani Scuola
4
A, B, C sono insiemi finiti
B è in corrispondenza
biunivoca con A
B è in corrispondenza biunivoca
con A, che è un sottoinsieme di C
B ha tanti elementi quanti A
B ha meno elementi di C
Daniela Valenti, Treccani Scuola
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L’insieme N è finito?
N è in corrispondenza biunivoca con P, che è
un sottoinsieme di N.
Daniela Valenti, Treccani Scuola
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VOCABOLARIO MATEMATICO
Insieme infinito
Un insieme A è infinito se esiste una corrispondenza
biunivoca fra A e un suo sottoinsieme.
Insieme numerabile
Un insieme A è numerabile se esiste una corrispondenza
biunivoca fra A e l’insieme N dei numeri naturali.
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L’albergo di Hilbert
L’hotel ha un numero infinito di stanze, ma tutte le stanze sono occupate.
Si presenta un nuovo cliente e l’albergatore dice: “Posso sicuramente
trovarle una sistemazione”
Il cliente che occupa la camera 0 passa nella 1, quello che occupa la 1 passa
nella 2 e, in generale, chi occupa la camera n passa nella camera n+1, resta
libera la camera 0 per il nuovo cliente.
Daniela Valenti, Treccani Scuola
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L’albergo di Hilbert
L’hotel ha un numero infinito di stanze, ma tutte le stanze sono occupate.
Si presentano ancora 100 clienti e l’albergatore dice: “Posso trovare una
sistemazione per tutti”
Il cliente che occupa la camera 0 passa nella 100, quello che occupa la 1
passa nella 101 e, in generale, quello che occupa la camera n passa nella
camera n + 100. Così restano libere le camera da 0 a 99 per i nuovi clienti.
Daniela Valenti, Treccani Scuola
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Paradosso di Galileo
0
02 = 0
1
12 = 1
2
22 = 4
3
32 = 9
4
42 = 16
….
…
n
n2
L’insieme Nq dei numeri quadrati è
un sottoinsieme dell’insieme N dei
numeri naturali.
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Paradosso di Galileo
A e B insiemi finiti
B è in corrispondenza
biunivoca con A
B ha tanti elementi
quanti A
Daniela Valenti, Treccani Scuola
N e Nq insiemi infiniti
N è in corrispondenza biunivoca
con il suo sottoinsieme Nq
Si ‘estende’ a N e Nq ??
Nq ha tanti elementi
quanti N??
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Paradosso di Galileo
‘Insiemi finiti collegati da una corrispondenza
biunivoca’
vuol dire
‘Insiemi con lo stesso numero di elementi’ .
Origine del paradosso: estendere agli
insiemi infiniti questa ‘intuitiva
affermazione’, valida per gli insiemi finiti.
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Risposta di Galileo (1638)
Io non veggo che ad altra decisione si possa
venire […]: infiniti essere tutti i numeri ,
infiniti i quadrati, infinite le loro radici, né la
moltitudine dei quadrati essere minore di
quella di tutti i numeri, né questa maggiore di
quella, ed in ultima conclusione, gli attributi
di uguale, maggiore e minore non aver luogo
negli infiniti, ma solo nelle quantità
terminate .
Daniela Valenti, Treccani Scuola
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Confronto fra
linguaggio comune e matematica
Linguaggio comune
È finito l’insieme delle cifre
che uso per scrivere i numeri,
perché finisco di contare
quando arrivo a 9.
Cifre
0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9
È infinito l’insieme N dei numeri naturali,
perché non è finito: posso continuare a contare
senza arrivare mai ad un numero finale.
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Confronto fra
linguaggio comune e matematica
Matematica
È infinito l’insieme N di tutti i numeri naturali,
perché può essere messo in corrispondenza
biunivoca con un suo sottoinsieme.
È finito l’insieme delle cifre, perché non è
infinito: non può essere messo in
corrispondenza biunivoca con un suo
sottoinsieme.
Daniela Valenti, Treccani Scuola
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