Equazioni parametriche di II° grado
(vincolata da condizioni)
Per risolvere un’equazione parametrica di II° grado, vincolata da condizioni, occorre:
1. Trasformare l’equazione nella sua forma canonica ax 2 + bx + c = 0
(raccogliendo a fattor comune i termini in x 2 e i termini in x )
2. Applicare le proprietà sotto indicate
N
Tipologia delle radici
Condizione da imporre
1
2
Una sola soluzione (Equazione di I° grado)
Una radice uguale a zero (Equazione spuria)
a=0
c=0
3
Radici opposte (Equazione spuria)
x1 = − x 2
4
5
6
7
Radici reali e distinte
Radici reali
Radici reali e coincidenti – Radici uguali
Radici complesse
∆>0
∆≥0
∆=0
∆<0
8
Una radice uguale a 5
x1 = 5
9
Somma delle radici
x1 + x 2 = −
10
Prodotto delle radici
x1 ⋅ x 2 =
11
Radici reciproche
x1 =
12
Le due radici sono l’una l’opposto
del reciproco dell’altra
1
x2
1
x1 = −
x2
13
Differenza delle radici
x1 − x 2 =
14
Somma dei quadrati delle radici
x12
15
Somma dei cubi delle radici
x13 + x 2 3 =
16
Somma dei reciproci delle radici
1
1
b
+
=−
x1 x 2
c
17
18
Somma dei quadrati dei reciproci delle radici
Somma dei cubi dei reciproci delle radici
Appunti di Algebra
1
x12
1
x13
−
⇔
b
=0
a
⇔
b=0
Sostituire 5 al posto della
x nell’equazione
b
a
c
a
c
=1
a
c
= −1
a
⇔
⇔
± ∆
a
b 2 − 2ac
2
+ x2 =
a2
+
+
1
x22
1
x23
xoomer.virgilio.it/mimmocorrado
3abc − b 3
=
=
a3
con c ≠ 0
b 2 − 2ac
c2
3abc − b 3
c3
con c ≠ 0
con c ≠ 0
1
Dimostrazione 3
⇔
x1 = − x 2
x1 + x 2 = 0
⇔
−
b
=0
a
⇔
b = 0 (con a ≠ 0 )
Dimostrazione 9
x1 + x 2 = −
b
a
x1 + x 2 =
−b− ∆ −b+ ∆
−b− ∆ −b+ ∆
− 2b
−b
+
=
=
=
2a
2a
2a
2a
a
x1 ⋅ x 2 =
−b− ∆ −b+ ∆
c
b2 − ∆
4ac
b 2 − b 2 + 4ac
⋅
=
=
=
=
2
2
2
2a
2a
a
4a
4a
4a
Dimostrazione 10
x1 ⋅ x 2 =
c
a
Dimostrazione 11
1
x1 =
⇔
x2
x1 ⋅ x 2 = 1
⇔
c
=1
a
Dimostrazione 12
1
x1 = −
⇔
x2
x1 ⋅ x 2 = −1
⇔
c
= −1
a
Dimostrazione 13
x1 − x 2 =
± ∆
a
± ∆m ∆
±2 ∆
± ∆
−b± ∆ −b± ∆
−b± ∆ +bm ∆
=
=
−
=
=
2a
2a
2a
2a
2a
a
x1 − x 2 =
Dimostrazione 14
x12 + x 2 2 =
b 2 − 2ac
a2
2
x1 + x 2
2
=
2
2b 2 + 2∆
4a 2
2
⎛ −b− ∆ ⎞ ⎛−b+ ∆ ⎞
b 2 + ∆ + 2b ∆ b 2 + ∆ − 2b ∆
⎟ +⎜
⎟ =
+
=
= ⎜⎜
⎟ ⎜
⎟
4a 2
4a 2
⎝ 2a ⎠ ⎝ 2a ⎠
=
b2 + ∆
2a 2
=
b 2 + b 2 − 4ac
2a 2
=
2b 2 − 4ac
2a 2
=
b 2 − 2ac
a2
Dimostrazione 16
b
1
1
+
=−
x1 x 2
c
b
x + x2
b c
b a
b
1
1
+
= 1
= a =− : =− ⋅ =−
c
x1 x 2
a a
a c
x1 ⋅ x 2
a
a
−
(
(
oppure
) (
)
)(
)
1
1
1
1
2a
2a
2a ⋅ − b + ∆ + 2a ⋅ − b − ∆
+
=
+
+
=
=
=
x1 x 2
−b− ∆ −b+ ∆
−b− ∆ −b+ ∆
−b− ∆ ⋅ −b+ ∆
2a
2a
b
− 2ab + 2a ∆ − 2ab − 2a ∆
− 2ab − 2ab
− 4ab
= −
=
= 2
=
2
2
4ac
c
b − b + 4ac
b −∆
Appunti di Algebra
xoomer.virgilio.it/mimmocorrado
2
Equazioni parametriche di II° grado
(senza condizioni)
Per risolvere un’equazione parametrica di II° grado occorre:
1. Trasformare l’equazione nella sua forma canonica ax 2 + bx + c = 0
Raccogliere a fattor comune i termini in x 2 e i termini in x , per determinare
i coefficienti a, b, c dell’equazione, in funzione del parametro t
2. Studiare il caso a = 0 (l’equazione diventa di I° grado)
Determinare il valore di k per il quale a = 0
Sostituire tale valore nell’equazione e determinare la soluzione x
3. Studiare il caso b = 0 (l’equazione diventa pura)
Determinare il valore di k per il quale b = 0
Sostituire tale valore nell’equazione e determinare le soluzioni x1 , x 2
4. Studiare il caso c = 0 (l’equazione diventa spuria)
Determinare il valore di k per il quale c = 0
Sostituire tale valore nell’equazione e determinare le soluzioni x1 , x 2
5. Calcolare il ∆
Determinare il valore del ∆ = b 2 − 4ac
6. Studiare il caso ∆ > 0 (l’equazione ammette due soluzioni reali e distinte)
Risolvere la disequazione b 2 − 4ac > 0 per determinare il valore di k per il quale ∆ > 0
Determinare le soluzioni x1 , x 2
7. Studiare il caso ∆ = 0 (l’equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti)
Risolvere l’equazione b 2 − 4ac = 0 per determinare il valore di k per il quale ∆ = 0
Determinare le soluzioni x1 , x 2
8. Studiare il caso ∆ < 0 (l’equazione ammette due soluzioni complesse e distinte)
Risolvere la disequazione b 2 − 4ac < 0 per determinare il valore di k per il quale ∆ < 0
9. Rappresentare il quadro riassuntivo della discussione dell’equazione
Rappresentare il quadro riassuntivo con il seguente schema
Valore del parametro
Tipo di Equazione
Soluzioni
2
3
Equazione di I° grado
x1 =
Equazione Pura
x1,2 = ±
k =3
Equazione Spuria
x1 = 0 ; x 2 =
1
1
e k≠−
4
2
1
k=
4
1
e k≠3
k>
4
Equazione Completa con ∆ > 0
x1,2
Equazione Completa con ∆ = 0
x1,2
Equazione Completa con ∆ < 0
Soluzioni Complesse
k =5
k =−
1
2
k<
Appunti di Algebra
xoomer.virgilio.it/mimmocorrado
5
3
3
5
3k ± 5 − 2k
=
2k
3
=
2
3
Esempio 1
kx 2 − 2kx + k + x 2 − 3 x − 3 = 0
1.
(k + 1)x 2 − (2k + 3)x + k − 3 = 0 ;
a = (k + 1) ;
b = − (2k + 3) ;
c = k −3
2. a = 0 ; Equazione di I°; k + 1 = 0 ; k = −1 ; − [2 ⋅ (− 1) + 3]x + 3 − (− 1) = 0 ; − x + 4 = 0 ; x = 4
3 ⎛ 3 ⎞
⎛ 3⎞
3. b = 0 ; Equazione Pura; 2k + 3 = 0 ; k = − ; ⎜ − + 1⎟ x 2 + 3 − ⎜ − ⎟ = 0 ;
2 ⎝ 2 ⎠
⎝ 2⎠
1 2 9
⎛ 3 ⎞ 2
⎛ 3⎞
2
⎜ − + 1⎟ x + 3 − ⎜ − ⎟ = 0 ; − x + = 0 ; − x + 9 = 0 ; x = ±3
2
2
⎝ 2 ⎠
⎝ 2⎠
4. c = 0 ; Equazione Spuria; k − 3 = 0 ; k = 3 ; 4 x 2 − 9 x = 0 ;
5. ∆ = b 2 − 4ac =
(2k + 3)2 − 4 ⋅ (k + 1)⋅ (k − 3)
x1 = 0
9
x2 =
4
(
= 4k 2 + 9 + 12k − 4 ⋅ k 2 − 3k + k − 3
)
=
= 4k 2 + 9 + 12k − 4k 2 + 12 = 12k + 21
7
(2k + 3) ± 12k + 1
6. ∆ > 0 ; 12k + 21 > 0 ; k > − ; x1,2 =
2 ⋅ (k + 1)
4
7
7. ∆ = 0 ; 12k + 21 = 0 ; k = − ; x1,2
4
⎡ ⎛ 7⎞ ⎤
⎢2 ⋅ ⎜ − 4 ⎟ + 3⎥
⎝
⎠ ⎦
=⎣
⎛ 7 ⎞
2 ⋅ ⎜ − + 1⎟
⎝ 4 ⎠
1
2
3
−
2
7
− +3
2
=
=
⎛ 3⎞
2⋅⎜− ⎟
⎝ 4⎠
−
=
1 2
⋅
2 3
1
3
=
7
8. ∆ < 0 ; 12k + 21 < 0 ; k < − ;
4
Valore del parametro
k = −1
k=−
3
2
k =3
7
3
e k≠− ;
2
4
k ≠ −1 ;
k ≠3
7
k=−
4
7
k<−
4
k>−
Appunti di Algebra
Tipo di Equazione
Soluzioni
Equazione di I° grado
x1 = 4
Equazione Pura
x = ±3 ;
Equazione Spuria
x1 = 0 ; x 2 =
Equazione Completa con ∆ > 0
x1,2 =
(2k + 3) ± 12k + 1
2 ⋅ (k + 1)
Equazione Completa con ∆ = 0
x1,2 =
1
3
Equazione Completa con ∆ < 0
Soluzioni Complesse
xoomer.virgilio.it/mimmocorrado
9
4
4
Esempio 2
x 2 (4k − 1)x
2
= 2
+ 2
2k 2k + 4k k + 4k + 4
1.
x 2 (4k − 1)x
2
+
;
=
2k 2k (k + 2) (k + 2 )2
(k + 2)2 x 2 + (4k 2 + 7k − 2)x − 4k = 0 ;
2. (k + 2 )2 x 2 + (k + 2 ) ⋅ (4k − 1)x = 2 ⋅ 2k ;
b = (4k 2 + 7k − 2);
a = (k + 2)2 ;
k ≠0
k ≠ −2
m.c.m. = 2k ⋅ (k + 2 )2 ≠ 0 ;
c = − 4k ;
3. a = 0 ; Equazione di I°; (k + 2 ) = 0 ; k + 2 = 0 ;
Pertanto l’equazione non è mai di I° grado.
2
k = −2 non accettabile, perché − 2 ∉ Dominio.
4. b = 0 ; Equazione Pura; 4k 2 + 7 k − 2 = 0 ; k = −2 e k =
k = −2 non accettabile, perché − 2 ∉ Dominio.
2
1
4
2
1
81 2
1
⎛1
⎞ 2
⎛9⎞ 2
per k =
⇒
x − 1 = 0 ; 81x 2 − 16 = 0 ;
⎜ + 2⎟ x − 4 ⋅ = 0 ; ⎜ ⎟ x −1 = 0 ;
4
16
4
⎝4
⎠
⎝4⎠
4
x1, 2 = ±
9
5. c = 0 ;
Equazione Spuria;
− 4k = 0 ;
k =0;
non accettabile, perché 0 ∉ Dominio.
Pertanto l’equazione non è mai spuria.
16
+72
+97
+36
+4
2
6. ∆ = b 2 − 4ac = 4k 2 + 7 k − 2 + 4 ⋅ 4k ⋅ (k + 2 )2 =
−2
−32
−80
−34
−4
16
+40
+17
+2
=
= 16k 4 + 49k 2 + 4 + 56k 3 − 16k 2 − 28k + 16k 3 + 64k + 64k 2
(
)
= 16k 4 + 72k 3 + 97k 2 + 36k + 4 =
(
)
= (k + 2) ⋅ 16k 2 + 8k + 1 = (k + 2) ⋅ (4k + 1)
2
2
16
2
−2
16
7. ∆ > 0 ; (k + 2) ⋅ (4k + 1) > 0 ; k ≠ −2 e k ≠ −
2
x1, 2 =
=
2
(
) (k + 2) (4k + 1)
− 4k 2 + 7 k − 2 ±
2
2 ⋅ (k + 2 )
2
− 4k − 7 k + 2 ± 4k 2 + 9k + 2
2
(
2 ⋅ (k + 2 )
2
− 4k − 7 k + 2 − 4k 2 − 9k − 2
2
2 ⋅ (k + 2 )
=
− 4k 2 − 7 k + 2 + 4k 2 + 9k + 2
2
2 ⋅ (k + 2 )
=
− 4k 2 − 7k + 2 ± (k + 2) ⋅ (4k + 1)
2 ⋅ (k + 2)
2 ⋅ (k + 2 )
2k + 4
2 ⋅ (k + 2 )
2 ⋅ (k + 2)
2 ⋅ (k + 2)
2
2 ⋅ (k + 2)
2
2
=
2
2
− 8k ⋅ (k + 2)
− 8k 2 − 16k
=
+17
−16
+1
1
4
)=
2
Appunti di Algebra
2
+40
−32
+8
xoomer.virgilio.it/mimmocorrado
=
− 4k
(k + 2)
=
1
(k + 2)
5
2
−2
=
8. ∆ = 0 ; per k = −
Per k = −
1
4
1
.
4
− 4⋅
x1, 2 =
Per k = −2 l’equazione perde di significato, perché − 2 ∉ Dominio
1
⎛ 1⎞
− 7 ⋅⎜− ⎟ + 2
16
⎝ 4⎠
⎛ 1
⎞
2 ⋅ ⎜ − + 2⎟
⎝ 4
⎠
2
−
=
1 7
14
−1+ 7 + 8
+ +2
7 8
4
4 4
4
=
= 4 = ⋅
=
2
49
49
2 49
7
⎛7⎞
2⋅
2⋅⎜ ⎟
16
8
⎝4⎠
9. ∆ < 0 ; per nessun valore di k
Valore del parametro
Tipo di Equazione
k = 0 ; e k = −2
L’equazione perde di significato
Per nessun valore di k
1
4
Per nessun valore di k
k=
k ≠ 0 ; k ≠ −2 e
1
k≠−
4
1
4
Per nessun valore di k
k=−
Appunti di Algebra
Soluzioni
Equazione di I° grado
Equazione Pura
x1, 2 = ±
4
9
Equazione Spuria
Equazione Completa con ∆ > 0
Equazione Completa con ∆ = 0
Equazione Completa con ∆ < 0
xoomer.virgilio.it/mimmocorrado
− 4k
(k + 2)
1
x2 =
(k + 2)
4
x1, 2 =
7
x1 =
6
