10. La formula di Taylor
Infiniti e infinitesimi
Abbiamo finora svolto la teoria dei limiti per le successioni e per le funzioni di una variabile reale.
Introduciamo ora il linguaggio del calcolo infinitesimale. Esso poggia sulla nozione di infiniti ed
infinitesimi.
Un infinitesimo, che indichiamo con una delle lettere α , β , γ ,... , può essere una successione che
tende a zero o una funzione che, per x → x0 , oppure per x → +∞ o ad x → −∞ , tende a zero.
Diciamo allora che:
Definizione α è un infinitesimo di ordine superiore a β se:
lim
α
=0
β
Definizione α è un infinitesimo dello stesso ordine di β se:
α
=λ
β
Con λ diverso da zero.
lim
Definizione α è un infinitesimo di ordine inferiore a β se:
lim
α
=∞
β
Negli altri casi diciamo che i due infinitesimi non sono confrontabili.
Definizione Siano an e bn due successioni che tendono a zero, ossia:
lim an = 0
x →+∞
lim bn = 0
x →+∞
si dice che an è un o piccolo di bn , (e si scrive an = o(bn ) ) se:
lim
x →+∞
an
=0
bn
Analogamente, nel caso delle funzioni, è possibile definire l’o piccolo.
Definizione Siano f ( x) e g ( x) due funzioni di variabile reale che tendono a zero per x che tende
ad x0 , ossia:
lim f ( x) = 0
x → x0
lim g ( x) = 0
x → x0
si dice che f è un o piccolo di g , (e si scrive f = o( g ) ) se:
1
lim
x → x0
f ( x)
=0
g ( x)
In maniera del tutto analoga, si possono considerare gli infiniti. Un infinito, che indicheremo
brevemente con una delle lettere α , β , γ ,... , può essere una successione divergente o una funzione
che, per x → x0 eventualmente solo da destra o da sinistra, oppure per x → +∞ o ad x → −∞ ,
tende all’infinito.
Definizione α è un infinito di ordine superiore a β se:
lim
α
=∞
β
Definizione α è un infinito dello stesso ordine di β se:
α
=λ
β
Con λ diverso da zero.
lim
Definizione α è un infinito di ordine inferiore a β se:
lim
α
=0
β
Per i nostri scopi, siamo maggiormente interessati alla definizione degli infinitesimi ed alla
definizione di “o piccolo”.
Esempio
Ci chiediamo se la funzione f ( x) = x5 è un “o piccolo” della funzione g ( x) = x 3 per x → 0 (ossia
se f ( x) = o( g ( x)) ). Dalla definizione di ha:
f ( x)
x5
lim
= lim 3 = lim x 2 = 0
x → x0 g ( x )
x →0 x
x →0
Di conseguenza, f è un o piccolo di g.
Vale il viceversa? Ossia, g è un o piccolo di f? Applicando la definizione si ha:
lim
x → x0
g ( x)
x3
1
= lim 5 = lim 2 = ∞
x →0 x
f ( x ) x →0 x
Ne segue che g non è un o piccolo di f.
La formula di Taylor
Il linguaggio del calcolo infinitesimale è di grande utilità nell’ambito della definizione della
formula di Taylor. Come verrà successivamente illustrato, tale formula può essere utilizzata per il
calcolo di limiti.
2
Formula di Taylor Sia f(x) una funzione derivabile n volte in x0 . Risulta
n
f ( x) = ∑
k =0
lim
x → x0
f k ( x0 )
k
( x − x0 ) + Rn ( x) , (*)
k!
Rn ( x)
( x − x0 )
n
=0
Dimostrazione
Dimostriamo ora la formula di Taylor supponendo che la derivata f n ( x) sia continua in x0 . Si noti
che, in base alle precedenti definizioni, Rn ( x) è un o piccolo di ( x − x0 ) ed indica il resto di ordine
n
n. Ricavando Rn ( x) dalla (*) e sostituendolo in (**), occorre dimostrare che:
n
f ( x) − ∑
k =0
lim
f k ( x0 )
k
( x − x0 )
k!
( x − x0 )
x → x0
n
=
f '' ( x0 )
f n ( x0 )
2
n
f ( x) − f ( x0 ) + f ' ( x0 ) ( x − x0 ) +
( x − x0 ) + ... +
( x − x0 )
2!
n!
=0
lim
n
x → x0
( x − x0 )
(***)
0
. Utilizziamo il teorema di De L’Hopital.
0
Notiamo che occorre derivare numeratore e denominatore rispetto ad x; quindi ad esempio la
f n ( x0 )
n
derivata di f ( x0 ) vale 0, mentre la derivata di
( x − x0 ) è uguale a
n!
Il limite si presenta sotto la forma indeterminata
f n ( x0 )n ( x − x0 )
n!
n −1
=
f n ( x0 ) ( x − x0 )
n −1
(n − 1)!
Quindi il limite (***) è lo stesso di
'
f '' ( x0 )
f n ( x0 )
n −1
f ′( x) − f ( x0 ) +
2 ( x − x0 ) + ... +
( x − x0 )
2!
(n − 1)!
lim
−
n
1
x → x0
n ( x − x0 )
purché il secondo limite esista. Se n>1, abbiamo ottenuto una nuova forma
0
. Dopo aver applicato
0
in totale n volte il teorema di De L’Hopital, abbiamo:
lim
x → x0
f n ( x) − f n ( x0 )
n!
3
Quest’ultimo limite è zero, perché f n ( x) è continua in x0 . Perciò la tesi (*) è dimostrata.
Sviluppiamo secondo la formula di Taylor alcune funzioni elementari. Scegliendo x0 = 0 , si ha:
x2
xn
e = 1 + x + + ... + + Rn ( x)
2
n!
x
log(1 + x) = x −
x 2 x3
xn
+ ... + (−1) n+1 + Rn ( x)
2 3
n
senx = x −
x 3 x5
x 2 n +1
+ − ... + (−1) n
+ R2 n +1 ( x)
3! 5!
(2n + 1)!
cos x = 1 −
x2 x4
x2n
+ − ... + (−1) n
+ R2 n ( x)
2 4!
(2n)!
Limiti notevoli
Sfruttando gli sviluppi di Taylor nell’intorno del punto x0 = 0 , si possono calcolare alcuni limiti
notevoli.
senx
x + o( x 3 )
x
lim
= lim
= lim = 1
x →0
x
→
0
x
→
0
x
x
x
x2
x2
1 − 1 − + o( x 4 )
2
1 − cos x
= lim 2 = 1
lim
= lim
2
2
x →0
x →0
x →0 x 2
x
x
2
log(1 + x)
x + o( x 2 )
x
= lim
= lim = 1
x →0
x →0
x →0 x
x
x
lim
ex −1
1 + x + o( x 2 ) − 1
x
= lim
= lim = 1
x →0
x →0
x →0 x
x
x
lim
4
