Variabili aleatorie discrete

Variabili aleatorie discrete
Probabilità e Statistica I - a.a. 04/05 Variabili aleatorie discrete
1
Definizione
Una variabile aleatoria è una funzione che associa ad ogni esito
dello spazio campione di un esperimento casuale un numero. L’
insieme dei possibili valori assunti da una variabile aleatoria si
dice range della variabile aleatoria.
S ( spazio campione )
ω1
ℜ
ω2
ωn
:S →ℜ
Notazione: variabile aleatoria X
il valore misurato della variabile aleatoria x
I dati numerici sono valori misurati di una variabile
aleatoria
ottenuti mediante repliche di un esperimento casuale.
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Variabili aleatorie discrete
Il range è un insieme finito (o numerabile) di numeri:
es: numero di prove, difetti su una superficie, difetti trovati su un tot
di campioni testati...
Definizion e
Per una variabile aleatoria X con possibili valori x1 , x 2 , K , x n , la funzione
massa di probabilità è f ( xi ) = P ( X = xi ), i = 1,2,..., n.
1) f ( xi ) ≥ 0, i = 1,2,...n
Proprietà:
n
2)
∑ f (x ) = 1
i
i =1
Esercizio: Si lanci una moneta equa 3 volte. Sia X la variabile aleatoria che conta il
numero di teste ottenute. Determinare la massa di probabilità.
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Distribuzione di probabilità
La succession e delle coppie ( xi , f ( xi )) = ( xi , P ( X = xi )) per i = 1,2,..., n
si chiama distribuzi one di probabilit à associata alla variabile aleatoria X .
Rappresentazione tabellare
X
P
x1
f ( x1 )
x2
L
f ( x2 ) L
xn
f ( xn )
Esercizio: In un processo di produzione di semiconduttori, vengono testati due wafers
da un lotto. Ogni wafer viene classificato in base all’aver superato o meno il test. Si
assuma che la probabilità che un wafer passi il test è 0.8 e che ognuno di essi superi il
test indipendentemente l’uno dall’altro. Descrivere la variabile aleatoria X che conta
il numero di wafer che passa il test.
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Funzione di ripartizione
Definizion e
La funzione distribuzi one cumulativa di una variabile aleatoria discreta, denotata
con F ( x ), è
F ( x) = P ( X ≤ x) =
∑
xi ≤ x
f ( xi )
Proprietà :
Per una variabile aleatoria X discreta, F ( x) soddisfa le seguenti proprietà :
(a) F ( x) = P( X ≤ x) =
∑ f (x )
i
xi ≤ x
(b) 0 ≤ F ( x) ≤ 1
(c) se x ≤ y allora F ( x) ≤ F ( y )
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Esercizio: Sia X la variabile aleatoria con funzione di distribuzione cumulativa:
x < −2
0
0.2
−2≤ x<0

F ( x) = 
0≤ x<2
0.7
 1
x≥2
Calcolare la funzione massa di probabilità.
Esercizio: In un’azienda, in un giorno, vengono prodotti 850 parti di cui 50 non
sono conformi alle richieste di un certo cliente. Due parti vengono selezionate a
caso, senza rimpiazzamento dal lotto. Sia X il numero di parti non conformi. Calcolare la funzione di distribuzione.
Esercizio: Data la seguente funzione massa di probabilità, calcolare:
X
0 1
2
3
4
5
pk
0 c 2c 2c 3c c 2
6
2c 2
7
8
7c 2 + c 0
(a) il valore di c;
(b) P( X ≥ 5), P( X < 5); se P ( X ≤ K ) >
1
qual è il minimo valore di K ?
2
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Valore medio
µ = E(X) =
INDICI
∑ xf ( x).
x
Proprietà : E[aX + bY ] = aE[ X ] + bE[Y ]
Varianza
σ 2 = V ( X ) = E( X − µ )2 =
∑
( x − µ ) 2 f ( x)
x
Proprietà :1) V (aX ) = a 2V ( X )
2) Se V ( X ) = 0 ⇒ P( X = a) = 1 v.a. degenere
σ = [V ( X )] .
1/ 2
Deviazione standard
Momento secondo
µ 2 = E(X 2 ) =
∑
x 2 f ( x).
x
N .B. : Poichè l' operatore E è un operatore lineare, allora
[
] [
Var [X ] = E ( X − µ ) = E X 2 − 2 Xµ + µ 2
2
[ ]
[ ]
]
= E X 2 − 2 E [X ]µ + µ 2 = E X 2 − µ 2
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Distribuzione di Bernoulli
X
0
P 1− p
1
p
0 a insuccesso
1 a successo
Esperimento casuale
con solo due esiti
E[ X ] = p
Var[ X ] = p (1 − p )
Esempi: lancio di una moneta, trasmissione di un bit, nascita,
teoria degli errori...
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Distribuzione Uniforme Discreta
Una variabile aleatoria X è una variabile aleatoria uniforme discreta se la funzione
massa di probabilit à è pari a :
f ( x i ) = 1 / n,
i = 1,2,..., n.
Se X è una variabile aleatoria uniforme discreta tale che
X : S → {a, a + 1, a + 2,..., b} per a ≤ b,
b+a
allora µ = E ( X ) =
,σ =
2
(b − a + 1) 2 − 1
12
Esercizio: In un sistema di comunicazione a voce, ci sono 48 linee esterne.
Sia X il numero di linee esterne occupate tra le 48 disponibili. Si assuma
che X abbia una distribuzione uniforme discreta. Calcolare media e varianza.
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Distribuzione Binomiale
TIPI DI ESPERIMENTI CASUALI
• Lancio di una moneta 10 volte. X=numero di teste ottenuto.
• Una macchina logora produce 1% di parti difettose. X=numero di
parti difettose in 25 prodotte.
• Ogni campione di aria ha una percentuale del 10% di contenere una
molecola di un certo gas raro. Sia X = numero di campioni di aria che
contengono la molecola in 18 analizzati
• Di tutti i bits trasmessi attraverso un canale di trasmissione digitale
il 10% viene ricevuto errato. Sia X= numero di bit errati trasmessi
nella trasmissione dei successivi 5 bits.
• Nelle prossime 20 nascite in ospedale, X=numero di femmine nate
• Un test contiene 10 domanda, ciascuna con 4 risposte a scelta, di
cui una sola è esatta. Sia X=il numero di domande risposte correttamente.
UNA SERIE DI PROVE RIPETUTE
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Definizion e
Un esperiment o casuale che consiste di n prove ripetute tale che :
(a) le prove sono indipenden ti;
(b) ogni prova ha solo due esiti " successo" e " insuccesso " ;
(c) la probabilit à di successo p in ogni prova resta costante;
è detto esperiment o casuale di tipo binomiale. La variabile aleatoria X che è
uguale al numero di prove che forniscono un successo è detta variabile aleatoria
binomiale con parametri p (probabili tà di successo) e n (numero di prove totali).
La funzione massa di probabilit à è data da :
n
f ( x ) =   p x (1 − p ) n − x , x = 0,1,..., n
 x
Esercizio: Sia X il numero di bit errati trasmessi attraverso un canale
digitale su una sequenza di 4 bit e sia 10% la probabilità che venga
trasmesso un bit errato. Determinare la funzione di distribuzione.
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Teorema: Se X è una variabile aleatoria di tipo binomiale di parametri n e p allora:
X=
n
∑X
i
i =1
con X i variabili aleatorie di Bernoulli di parametro p.
Applicazioni:
n
n
n i
(
n!
n − 1)!
n −i
n −i
n −i
i


E [X ] = ∑ i   p (1 − p ) = ∑ i
p (1 − p ) = np ∑
p i −1 (1 − p )
i!(n − i )!
i =0
i =1
i =1 (i − 1)!(n − i )!
i
n −1
(n − 1)! p j (1 − p )n− j +1 = np( p + 1 − p )n−1 = np
= np ∑
j!(n − j + 1)!
j =o
n
[ ]
Analogamente si dimostra che Var [X ] = E X 2 − E [X ] = np(1 − p ) (per esercizio)
2
http://www.matematicamente.it/barletta/probabilità/modelli.htm
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Grafici relativi a B(n,p)
Distribuzione di probabilità
0,3
n = 10, p = 0.5
0,25
0,2
0,15
Massa
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n = 10, p = 0.1
Distribuzione di probabilità
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
Massa
0
1
2
3
4
5
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6
7
8
9
10
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Distribuzione Multinomiale
Generalizzazione della v.a. binomiale al caso in cui ogni prova
fornisce m possibili esiti:
n

 x x
 p1 p2 L pmx
P ( x1 , x2 , K , xm ) = 
 x1 , x2 , K , xm 
1
2
m
Esercizio: Si consideri un'urna con 5 palline rosse, 5 palline nere e
5 palline bianche. Si effettuano 10 estrazioni con ripetizione.
Quanto vale la probabilità che nelle 10 estrazioni siano state ottenute
3 palline rosse, 2 nere e 5 bianche?
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Distribuzione Geometrica
Definizion e
In una succession e di prove ripetute indipenden ti, con probabilità di
successo costante p, sia X la variabile aleatoria che conta il numero di
prove necessarie per avere il primo successo. La variabile aleatoria X
ha distribuzi one geometrica con parametro p e funzione massa di pro babilità
f ( x) = (1 − p ) x −1 p, x = 1,2,...
Esercizio: Tre impiegati vanno a prendere il caffè e decidono di scegliere a caso chi
paga al seguente modo: ognuno di loro lancia una moneta contemporaneamente agli
altri, a chi esce una faccia diversa dalle altre tocca pagare il conto. Se tutte e tre le
monete restituiscono la stessa faccia, si lanciano di nuovo in aria. Qual è la probabilità che i tre impiegati riescano a bere il caffè dopo due prove?
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Distribuzione di
probabilità geometrica
0,12
0,1
0,08
p=0.1
0,06
0,04
0,02
0
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
p=0.9
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
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Se X è una variabile aleatoria geometrica di parametro p, risulta
1
E[ X ] = µ =
p
(1 − p )
V[X ] = σ =
p2
2
NB: in genere si dice che la v.a. geometrica “perde memoria”, nel senso che,
poiché le prove sono indipendenti, il conto del numero di prove necessarie
per avere un successo può iniziare da una qualsiasi delle prove, senza variare la distribuzione di probabilità.
P(X ≥ n + m | X ≥ n) = P(X ≥ m )
Esercizio: Nella trasmissione di un bit lungo un canale digitale vale 0.1 la probabilità che il bit venga modificato da 0 a 1 o viceversa. Se sono stati trasmessi 100 bits,
qual è la probabilità che il primo errore, dopo 100 bits, occorra sul 106-esimo bit?
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Distribuzione di Poisson
Si consideri un canale di trasmissione digitale. Sia X il numero di bit errati
trasmessi su una successione di n. Si assuma pari a p la probabilità che un
bit venga trasmesso errato: tale valore resta costante durante la trasmissione.
Le trasmissioni sono indipendenti. Si supponga che n aumenti e che il valore p diminuisca in modo che np resti costantemente pari a un certo valore
numerico. Come viene modificata la distribuzione di probabilità di X?
n x
 n  λ 
n− x
P ( X = x) =   p (1 − p ) =   
 x
 x  n 
x
 λ
1 − 
x

n− x
e −λ λx
, lim P( X = x ) =
n →∞
x!
Campi
Campi di
di Applicazione
Applicazione
- Numero di particelle contaminate nella produzione di un semiconduttore;
- numero di telefonate ad un centralino telefonico;
- numero di particelle emesse durante un procedimento di decadimento radioattivo;
- numero di difetti nella produzione di un tessuto
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Definizione
Dato un intervallo dell' asse reale, si assuma che gli esiti si verifichino
casualmente lungo tale intervallo. Se l' intervallo può essere ripartito in
sottointervalli di lunghezza sufficientemente piccola, tali che
(1) la probabilità che si verifichi più di un esito in un sottointervallo è
nulla;
(2) la probabilità di occorrenza di un esito in un sottointervallo è la
stessa per tutti i sottointervalli ed è proporzionale alla lunghezza
del sottointervallo;
(3) il verificarsi di un esito in un sottointervallo è indipendente da quan to avviene negli altri sottointervalli
allora l' esperimento casuale prende il nome di processo di Poisson.
Se il numero medio di occorrenze di un esito nell'intervallo è λ > 0, la
variabile aleatoria X che conta il numero di esiti che si verificano nell'
intervallo ha una distribuzione di Poisson di parametro λ e con fun zione massa di probabilità pari a :
e −λ λ x
f ( x) =
, x = 0,1,2,...
x
!
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Distribuzione di probabilità
1
λ = 0,1
0,8
0,6
Massa
0,4
0,2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Distribuzione di probabilità
0,3
0,25
λ = 2 .0
0,2
0,15
Massa
0,1
0,05
0
Distribuzione di probabilità
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,2
0,15
0,1
Massa
0,05
λ = 5 .0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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Esercizio: Si assuma che il numero di difetti in un sottile tessuto di cotone segua
una distribuzione di Poisson con media 2.3 difetti per millimetro-quadro.
(A) Si calcoli la probabilità che ci siano 2 difetti in un millimetro-quadro.
(B) Si calcoli la probabilità che ci siano 10 difetti in 5 millimetri-quadro.
(C) Si calcoli la probabilità che ci sia almeno un difetto in 2 millimetri-quadro
di stoffa.
E( X ) = µ 2 = λ e V ( X ) = σ 2 = λ
Esercizio: Si supponga che il numero delle chiamate che arrivano ogni secondo ad un
centralino telefonico sia una variabile casuale di Poisson con media 5.
(A) Determinare la probabilità che in un determinato secondo non arrivi
nessuna chiamata.
(B) Supponendo che il centralino sia in grado di soddisfare non più di 10 chiamate al
secondo, calcolare la probabilità di trovarlo occupato.
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Distribuzione Ipergeometrica
Esercizio: In un’azienda, in un giorno, vengono prodotti 850 parti di cui 50 non
sono conformi alle richieste di un certo cliente. Due parti vengono selezionate a
caso, senza reimissione dal lotto. Sia X il numero di parti non conformi. Calcolare la funzione di distribuzione.
Definizion e
Un insieme di N oggetti contiene K < N oggetti classificati come successo e
N − K oggetti classificati come insuccesso. Un campione di n < N oggetti
viene selezionato a caso senza reimmissione. Sia X la variabile aleatoria che
indica il numero di successi nel campione di taglia n. La variabile aleatoria
X ha distribuzione ipergeometrica e massa di probabilità :
 K  N − K 
 

x  n − x 

f ( x) =
, x = max{0, n + K − N },..., min{K , n}
N
 
n
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Se X è una variabile aleatoria con distribuzi one ipergeomet rica allora
K
N
In particolar e il fattore
E(X ) = µ = n
σ 2 = V (X ) = n
K
K  N − n 
.
 1 − 
N
N  N − 1 
 N −n


−
N
1


è noto come fattore di correzione di una popolazion e finita.
•
Campionare con reimmissione EQUIVALE a campionare da una
popolazione infinita ⇒ X ha distribuzi one binomiale.
•
Il fattore di correzione della popolazione finita rappresenta un fattore
di correzione a una varianza di tipo binomiale. Tale correzione viene
apportata poichè si effettua un campionamento senza reimmissione
da una popolazione finita di taglia N .
•
Se n < N , allora una variabile aleatoria con distribuzi one ipergeo metrica è approssimata da una variabile aleatoria binomiale.
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In corso di produzione
CONTROLLO STATISTICO
DELLA QUALITA’
Di accettazione
Lo scopo del controllo di accettazione è di fornire dei criteri per giudicare se un certo lotto è conforme o meno mediante l’osservazione di un
sottoinsieme di unità, in genere piccolo, che lo compongono.
n = numerosità del campione
da estrarre
a = numero massimo di unità
difettose ammissibili
Esempio: Sia dato un lotto costituito da 800 pezzi. Il piano di campionamento prevede
n=150 e a=2. Determinare qual è la probabilità che un lotto contenente il 5% di unità difettose, venga accettato.
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