Cap.7

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Cap. 7
Cap.7: Lavoro, Potenza, Energia, Calore
Il capitolo precedente ha presentato le 3 leggi fondamentali della dinamica. Con esse è possibile
determinare l’accelerazione di un corpo dalle forze applicate; nota l’accelerazione, si può poi
descrivere il moto con le leggi della cinematica. In molti casi però è difficile risolvere un problema
di meccanica applicando direttamente le 3 leggi fondamentali. Esistono fortunatamente metodi
derivati dalle leggi generali per risolvere in modo semplice problemi altrimenti di difficile
soluzione.
Questi metodi sono basati sul concetto di lavoro. In particolare, l’introduzione del concetto di
lavoro ci permetterà di enunciare il teorema dell’energia cinetica, di distinguere tra forze
conservative e forze dissipative, di definire l’ energia potenziale e di formulare il principio di
conservazione dell’energia meccanica.
Lavoro
Sia F una forza costante che agisce su un corpo durante uno spostamento s (F e s sono vettori). Sia
 è l’angolo compreso tra s e F.
Si definisce lavoro L della forza F il prodotto tra la componente di F nella direzione dello
spostamento s, Fs, ed il modulo di s:
L=F s |s|=|F||s|cos()
Il lavoro L è quindi una quantità scalare (un numero) e si esprime in [N][m]: questa unità è detta
Joule [J]. L equivale al prodotto scalare tra i vettori F ed s (vedi appendice 2).
Osserviamo che |s|cos() è la proiezione del vettore s su F; se chiamiamo sF questa proiezione, il
lavoro è allora anche dato dal prodotto L=|F| sF.
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Quindi:
L=F s |s|
oppure
L=|F| sF
Fissati |F| ed |s|, il lavoro è positivo ed è massimo se la forza è applicata nella stessa direzione e
nello stesso verso dello spostamento; il lavoro è nullo se la forza è applicata perpendicolarmente
allo spostamento; il lavoro è negativo se la forza ha verso opposto allo spostamento.
Esempio. Un uomo esercita la forza F con |F|=600 [N] su di un carrello durante lo spostamento s
dove |s|=2 m.
F
F
s
s
L=0
s
Se spinge il carrello nella direzione del moto il lavoro che compie è positivo:
L =|F||s|cos(0)=600x2x1=1200 [J].
L>0
F
L<0
Se la forza che applica è in realtà il proprio peso, perpendicolare alla direzione di spostamento (in
questo caso la persona si lascia trasportare stando in piedi sul carrello), il lavoro è nullo:
L=|F||s|cos(90°)=600x2x0=0 [J].
Se la persona si trova davanti al carrello per frenarlo applicando la forza in verso opposto allo
spostamento, il lavoro è negativo:
L = |F||s|cos(180°)=600x2x(-1)=-1200 [J].
Dal punto di vista meccanico, in quest’ultimo caso è il carrello che compie un lavoro positivo
sull’uomo.
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Energia Cinetica
Definizione. L’ Energia Cinetica di un corpo di massa m che si muove con velocità di modulo v è
la quantità EK= ½mv2
Esiste un legame tra energia cinetica e lavoro. Consideriamo un corpo che si sposta di una quantità s
soggetto alla forza costante F parallela allo spostamento. Essendo la forza costante, per la II legge
di Newton F=ma, ed anche l’accelerazione a è costante: quindi il moto è rettilineo uniformemente
accelerato. Detta v0 la velocità iniziale, vale la relazione cinematica:
v2=v02+2as
as= ½v2-½v02
cioè
e moltiplicando per la massa m
Poiché F=ma, allora
cioè
o
mas= ½mv2-½mv02
Fs = ½mv2-½mv02
L= ½mv2-½mv02
L = EK-EK0
Quindi il lavoro fatto da F è uguale alla variazione dell’energia cinetica. Da questa relazione
ricaviamo che l’unità di misura dell’energia cinetica è la stesse del lavoro L: il Joule.
Se il lavoro è positivo il corpo acquista energia cinetica, cioè velocità; altrimenti, se il lavoro è
negativo, perde velocità. In generale vale il seguente teorema:
Teorema dell’Energia Cinetica
Il lavoro totale di tutte le forze che agiscono sul corpo
(forze di attrito e forze gravitazionali comprese)
è pari alla variazione di energia cinetica del corpo.
Esempio. Avete spinto il carrello dell’esempio precedente compiendo su di esso un lavoro pari a
1200 [J]. Il carrello ha massa m=40 Kg. Se il carrello parte da fermo, qual è la sua velocità
quando finisce la spinta?
Per il teorema dell’energia cinetica: L=EK-EK0.
Ma EK0=0 perché il carrello inizialmente è fermo (v0=0);
Poiché L=1200 [J], l’energia cinetica finale è EK=1200 [J].
Ma EK=½mv2
quindi
cioè
v2=2EK/m=2400/40=60
v=7.75 m/s.
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Forze Conservative
Definizione. Una forza è conservativa se il lavoro che compie per spostare un corpo da un
generico punto A ad un generico punto B non dipende dal percorso seguito per giungere a B da A.
Sono forze conservative le forze gravitazionali e le forze elettriche.
Le forze di attrito invece non sono conservative.
Esempio: Spostate un carrello da A a B. Potete seguire due percorsi: spingerlo lungo il piano
inclinato A-B, oppure spingerlo orizzontalmente fino a C, poi sollevarlo fino a B. Calcolare il
lavoro del peso P del carrello lungo i due percorsi.
Calcoliamo il lavoro di P se ci spostiamo sul tratto orizzontale AC e poi sul tratto verticale CB.
LAC=0 (il peso è perpendicolare allo spostamento);
LCB=P sCB cos(0)=-mg(h-h0)
Per cui: LACB= LAC+ LCB=0-mg(h-h0)= -mg(h-h0);
Consideriamo ora il lavoro di P lungo il tragitto inclinato AB
LAB= PsAB sen() [infatti sAB sen() è la componente nella direzione di P]
=-mg(h-h0)
Quindi
LAB =LACB.
Il lavoro della forza peso è indipendente dal percorso seguito, e dipende solo dalla differenza di
quota H tra i due punti B e C:
L=-mg(h-h0)
La forza peso è quindi una forza conservativa.
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Energia Potenziale
Poiché il lavoro di una forza conservativa non dipende dal percorso, ma solo dalla posizione iniziale
e finale del corpo, per essa è possibile definire il concetto di Energia Potenziale.
Definizione. L’energia potenziale è una forma di energia associata alla posizione del corpo che
può essere usata per compiere un lavoro, o che può essere convertita in energia cinetica.
La forza gravitazionale è conservativa. L’energia potenziale di un corpo di massa m ad essa
associata può essere espressa come: EP=mgh, dove h è la quota a cui si trova il corpo.
Consideriamo ancora il carrello sul piano inclinato, e calcoliamo ora il lavoro per spostare il carrello
da A a B. Immaginiamo per semplicità che non agiscano forze di attrito. Spingeremo il carrello
applicando la forza Fa, diretta nella direzione e nel verso dello spostamento S; la forza peso P =mg, diretta verticalmente verso il basso; la forza di reazione N perpendicolare al piano.
B
Fa
A
C
B
P
N1
Fa
A
N2
C
Applichiamo il teorema dell’energia cinetica: il lavoro di TUTTE le forze che agiscono sul carrello,
L, è pari alla variazione di energia cinetica:
L = EK-EK0
Il lavoro L è la somma dei lavori della forza applicata, La, della forza gravitazionale Lg, delle due
reazioni vincolari LN1 e LN2
L= La + Lg + LN1+ LN2
La=|Fa||S| perché la forza applicata è parallela allo spostamento;
LN1 = LN2 =0 perché N1 ed N2 sono perpendicolari allo spostamento;
Lg=-mg(h-h0) (calcolato nell’esempio precedente).
Possiamo scomporre il lavoro Lg in due componenti: Lg=-mgh+mgh0.
E’ utile ora usare l’Energia Potenziale definita precedentemente come EP =mgh. Possiamo scrivere:
Lg= -(EP- EP0)
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Il lavoro della forza conservativa è così espresso come differenza tra le energie potenziali del corpo
nel punto finale e nel punto iniziale dello spostamento.
Il teorema dell’energia cinetica potrà essere scritto come:
La+Lg = EK-EK0
Ovvero
La =(EP- EP0)+(EK-EK0)
In assenza di attriti, il lavoro delle forze applicate è la somma
della variazione di energia cinetica
e della variazione di energia potenziale
Principio di Conservazione dell’Energia Meccanica
Riscriviamo la formula precedente nel caso in cui oltre a non esserci attriti, non vi siano neanche
forze applicate.
Se non ci sono forze applicate, La=0 e:
EP+EK=EP0+EK0.
Questo è il:
Principio di conservazione dell’energia meccanica
In assenza di forze applicate e di forze di attrito
l’energia meccanica del sistema E= EP+EK si conserva
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Esempio. Uno sciatore effettua un salto dal trampolino. La spinta iniziale (e quindi la velocità di
partenza) è trascurabile.
La differenza di quota tra il punto di partenza ed il punto terminale del trampolino è di 20 m.
A quale velocità lo sciatore spicca il salto? Si trascurino gli attriti.
Prendiamo la base fine del trampolino come quota di riferimento per l’energia potenziale:
EP=0.
Sullo sciatore agisce il peso P, la reazione del suolo N che essendo perpendicolare allo spostamento
non produce lavoro, e l’attrito di neve ed aria che però trascuriamo.
Applichiamo il principio di conservazione dell’energia meccanica:
EP+EK=EP0+EK0
con EP=0;
EP0=mgh;
EK0=0 (lo sciatore parte da fermo).
Quindi il principio di conservazione dell’energia meccanica si riduce a:
 ½mv2=mgh
v2=2gh
= 2 x 9.8 x 20
= 392
v= 2 gh
= 19.8 m/s
(circa 71 km/h)
EK= mgh
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v0
v0
h
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Esempio. Lanciate due palle di massa m1 e m2 da una finestra posta
ad altezza h da terra con velocità iniziale v0 di uguale modulo ma
direzione differente. A che velocità toccherà terra ognuna delle due
palle? Trascurate per semplicità la resistenza dell’aria.
Poiché non agiscono forze applicate o di attrito (si trascura per
semplicità la resistenza dell’aria), vale il principio di conservazione
dell’energia meccanica:
EP+EK=EP0+EK0
L’energia cinetica iniziale della prima palla è: EK0=½m1v02
Il livello di riferimento rispetto al quale misurare l’energia potenziale
può essere scelto a piacere (infatti nelle formule compare sempre la
differenza rispetto al riferimento). Prendiamo come riferimento il
suolo.
L’energia potenziale iniziale è: EP0 =m1gh.
L’energia potenziale finale è EP=m1g0 = 0.
quindi: EK=½m1v02 + m1gh , cioè
½m1v2=½m1v02+ m1gh da cui
v2=v02+ 2gh
v= v02  2 gh
Per la seconda palla sostituiremo m2 ad m1. Poiché nella formula finale non compare la massa della
palla, si ottiene quindi lo stesso modulo della velocità v: le due palle toccano terra con la stessa
velocità anche se in tempi differenti e dopo aver seguito traiettorie differenti.
Forze dissipative
Durante uno spostamento possono agire anche forze di attrito. Queste forze sono dette dissipative,
perché il loro lavoro si oppone al moto, ed invece di produrre energia cinetica, dissipa l’energia
cinetica del corpo trasformandola in energia termica o in energia sonora (rumore).
Si era visto che la forza d’attrito è diretta parallelamente allo spostamento s ma con verso opposto, e
vale in modulo fK=KN. Il lavoro della forza di attrito è quindi sempre negativo, e l’energia
dissipata durante lo spostamento s è
Q =KNs
Possiamo ora riformulare il teorema dell’energia cinetica scomponendo il lavoro di tutte le forze L
nel lavoro delle forze applicate La, di quelle gravitazionali Lg, e di quelle di attrito Latt = –Q:
La = (EP- EP0)+(EK-EK0) +Q
Quindi il lavoro compiuto dalle forze applicate è pari alla somma della variazione di energia
cinetica, della variazione di energia potenziale, e della energia dissipata dall’attrito1.
1
Nel caso di attrito, Q è energia >0 dissipata come calore o rumore: ad esempio, il freno della bicicletta dissipa energia
cinetica scaldando tamponcino di gomma e cerchione, e producendo rumore. Ma non sempre calore e rumore sono
energia dissipata, e possono essere riconvertiti in energia cinetica e lavoro meccanico. Nella macchina a vapore il calore
è trasformato nel movimento del pistone; il timpano umano trasforma l’energia sonora (vibrazioni delle molecole
d’aria) in energia meccanica muovendo gli ossicini dell’orecchio. In questi esempi Q<0 non indica dissipazione di
energia.
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Potenza
Definizione. La potenza è il lavoro compiuto nell’unità di tempo.
Se in un tempo t viene compiuta la quantità di lavoro L, la potenza media è definita come:
W=L/t
Le dimensioni sono [J][s]-1, e sono chiamate Watt [W]. Poiché L=|F||s|cos(), allora
W= |F|cos()|s|/t = Fs |v|
Quindi la potenza è anche esprimibile come prodotto tra la velocità e la componente della forza
diretta come lo spostamento.
Esempio 1. Durante addestramento, ad un
militare viene chiesto di salire con le sole
braccia in cima ad una corda.
Il militare pesa 70 Kgp;
la corda è alta 3 m.
All’inizio del corso il militare impiega 25
secondi; a fine corso impiega 10 secondi.
Qual è il lavoro compiuto e la potenza
muscolare sviluppata nelle due prove?
Il lavoro delle forze muscolari è pari a:
La = EP+EK +Q
Assumiamo Q=0.
Inoltre anche EK =0 perché il militare parte
da fermo ed arriva con velocità nulla in cima
alla corda .
Il lavoro è allora pari alla variazione di
energia potenziale.
La =mgh
=70x9.8x3
= 2058 [J]
Il lavoro è lo stesso per entrambe le prove.
La potenza è:
Quindi
La/t.
2058/25 = 82.3 [W] per la prima prova;
2058/10 =205.8 [W] per la seconda prova.
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Esempio 2. Un cicloergometro a braccio è costituito da una ruota frenata da un tampone che viene
girata a mano con due manovelle. La spinta del tampone sulla ruota, N, e quindi la forza di attrito
dinamico |fK|=K|N|, può essere regolata ruotando una apposita maniglia. Se la ruota, di raggio
R=20 cm, viene fatta girare a 50 giri/min, e l’attrito |fK| è pari a 10 kgp, quanta potenza viene
assorbita dal cicloergometro?
In questo caso conviene usare la formula:
W= Fs |v|
con Fs= |fK|=10x9.8=98 [N]
|v|=R=50x(2/60)x0.2=1.05 m/s
W= |fK| v = 98 x 1.05 = 102.9 W
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Calore (concetti fondamentali)
Abbiamo indicato con Q l'energia dispersa come rumore o come calore dalle forze
dissipative. Daremo ora qualche concetto relativo al calore, alla temperatura ed agli scambi termici.
Calore
E una forma di energia. L'unità di misura è quella del lavoro: il Joule. L'effetto su un corpo
di una perdita o di un aumento di calore Q (per produzione interna, o perché introdotto
dall'esterno) è una variazione della temperatura del corpo T.
Se lo scambio di calore Q è relativamente piccolo vale la relazione:
Q =mcST
dove m è la massa del corpo e cS il calore specifico. Quindi per aumentare la temperatura di un certo
valore T dobbiamo somministrare più calore ai corpi con massa maggiore. Inoltre, a parità di
massa, la temperatura aumenta più facilmente per le sostanze con calore specifico basso.
La relazione Q =mcST è usata per definire un'altra unità di energia (ancora usata in
medicina): la caloria [cal]. Essa è la quantità di calore necessaria per portare 1 grammo d'acqua da
14.5 a 15.5 °C. 1 [cal]=4.18 [J] (attenzione: spesso i dietisti usano il termine caloria [Cal], scritta
con la “C” maiuscola, per indicare la kilocaloria, cioè 1000 calorie).
Dalla definizione di caloria, deduciamo subito che per l'acqua il calore specifico è cS=1
[cal][g]-1[°C] -1.
Il calore specifico cS dipende dalla temperatura di partenza: a 20 gradi °C abbiamo: cS=1 per
l'acqua; cS=0.83 per il corpo umano; cS=0.23 per l'aria (che si scalda quindi più facilmente
dell’acqua); cS=0.09 per il rame.
Temperatura
E’ un indice di stato (a differenze del calore che è una quantità). I due concetti sono molto
differenti: infatti la fiamma di un fiammifero acceso è molto più calda dell'acqua di una piscina, ma
la quantità di calore contenuta nell'acqua di una piscina di 500m3 è enormemente maggiore di quella
prodotta dalla combustione del fiammifero.
La temperatura è l’effetto macroscopico dell'energia cinetica delle molecole del corpo:
queste sono messe in "agitazione" dall'energia posseduta dal corpo come calore Q. Più esse si
agitano, maggiore è la temperatura del corpo. Questa interpretazione spiega i seguenti fenomeni
associati a variazioni di temperatura.
1) Dilatazione Termica. Si osserva che un corpo, riscaldato, aumenta di volume. Infatti aumenta
l'agitazione delle molecole, che occupano uno spazio maggiore. Se L è la lunghezza del corpo, si
osserva che l’allungamento L è dato da L =LcDT, dove cD è il coefficiente di dilatazione
termica. cD dipende dalla temperatura di partenza, e tranne rarissimi casi è >0 (il corpo scaldandosi
si dilata).
2) Cambiamento di Fase. Si osserva che scaldando un corpo a pressione atmosferica costante,
raggiunta una certa temperatura il corpo cambia fase: da solido si trasforma in liquido (fusione), o
da solido in aeriforme (sublimazione), o da liquido in aeriforme (evaporazione). Raffreddandosi si
osservano i processi inversi (solidificazione o condensazione). Infatti quando l'agitazione termica
delle molecole supera un certo valore energetico, riesce a spezzare le forze di legame
intermolecolare che consentono ad un corpo solido di mantenere la forma, o ad un corpo liquido di
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mantenere il volume. Durante il cambiamento di fase il calore somministrato al corpo viene usato
per spezzare i legami molecolari, e non viene quindi trasformato in "agitazione termica". Questo
implica che il corpo acquista calore senza aumentare la temperatura. Il calore Q che durante il
cambiamento di fase non produce un T si chiama calore latente. Quando poi il corpo cambia fase
durante un raffreddamento cede all'esterno il calore latente.
Quando usciamo bagnati dalla doccia sentiamo freddo anche se l'acqua era calda: infatti l'acqua
sulla pelle evapora sottraendo calore latente al corpo. Se d'inverno entriamo in una stanza calda da
fuori, gli occhiali si appannano: l'aria umida e calda della stanza cede calore latente alle lenti degli
occhiali più fredde, e si condensa sulle lenti. Il lunotto termico dell'automobile "si spanna" grazie ad
una resistenza elettrica che scalda il vetro, cedendo così alle goccioline di condensa il calore latente
necessario per evaporare.
3) Temperatura Assoluta. Poiché la temperatura è associata all'agitazione delle molecole, esiste una
temperatura minima sotto la quale non si può andare: è la temperatura alla quale le molecole sono
assolutamente ferme. Tale temperatura è detta "zero assoluto" e definisce la scala Kelvin della
temperatura. Un grado della scala Kelvin corrisponde ad un grado °C (scala Celsius), ma il valore di
0 °K è la temperatura dello zero assoluto, che corrisponde a -273.15 °C.
Il principio dell'equilibrio termico afferma che quando due corpi a temperatura differente ed
isolati dal resto dell'universo vengono messi a contatto tra loro, dopo un certo periodo si troveranno
alla medesima temperatura. Questo implica che una certa quantità di calore Q passa sempre dal
corpo più caldo a quello più freddo. Questo passaggio abbassa la temperatura del corpo più caldo ed
innalza quella del corpo più freddo (infatti i calori specifici cS sono sempre positivi) azzerando così
la differenza T tra i due corpi.
Il trasferimento di calore tra due corpi può avvenire con 3 diversi meccanismi.
Conduzione. E' dovuta al trasferimento di parte dell'energia cinetica delle molecole dal corpo più
caldo al corpo più freddo, per contatto attraverso una superficie. Le molecole dei due corpi
interagiscono trasferendo l’agitazione termica, senza abbandonare però la loro posizione. Quindi
non vi è trasferimento di materia tra i due corpi. Ad esempio, è il meccanismo di trasferimento
termico che provoca il riscaldamento del manico metallico di una padella posta sul fuoco.
Convezione. E' il trasferimento di calore che avviene nei liquidi e nei gas per rimescolamento.
Tipicamente avviene perché zone del fluido a temperatura maggiore si dilatano diminuendo la
densità. Ad esempio una stufa scalda l'aria nelle proprie vicinanze: questa, meno densa, sale verso
l'alto lasciando il posto ad aria più densa e più fredda. La convezione avviene anche pompando un
liquido tra parti del corpo a temperatura diversa: è il metodo con cui gli animali mantengono una
temperatura abbastanza uniforme nelle varie parti del corpo (il liquido pompato è il sangue).
Irraggiamento. Ogni corpo emette una radiazione elettromagnetica a causa della agitazione termica
delle molecole. La frequenza della radiazione emessa dipende dalla temperatura del corpo: corpi
molto caldi (oltre 800 °C) emettono radiazione a frequenze visibili, cioè luce (ad esempio, il filo
incandescente di una lampadina, la fiamma di una candela, la superficie del sole). Corpi a
temperature più basse come il corpo umano emettono radiazione infrarossa, invisibile ad occhio
nudo ma percepibile con particolari strumenti (termografi). La radiazione emessa è una forma di
energia che abbandona il corpo: questa perdita di energia sottrae calore e raffredda il corpo.
Viceversa, se la radiazione emessa da un corpo colpisce un altro corpo, ne agita le molecole,
producendo calore ed aumentandone la temperatura. Quindi il passaggio di radiazione
elettromagnetica da un corpo all'altro permette la trasmissione di calore. Questo tipo di trasmissione
non richiede rimescolamento né contatto tra i corpi (si pensi al riscaldamento solare). Durante il
trasferimento da un corpo all'altro l'energia non è calore, ma radiazione elettromagnetica!
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Termoregolazione umana
L'uomo è un animale a sangue caldo. Mantiene una temperatura abbastanza uniforme tra i
vari distretti del corpo con la convezione assicurata dalla circolazione del sangue. La temperatura
deve essere mantenuta nell'intorno di 37 °C. Perché ciò avvenga, la quantità di calore prodotta
all'interno del corpo o introdotta dall’esterno deve uguagliare quella dispersa nell'ambiente.
Te<Ti. Se la temperatura ambientale esterna, Te, è inferiore a quella interna del corpo, Ti, una parte
di calore è dissipata nell'aria per conduzione (questa parte può aumentare per convezione
utilizzando ventagli o ventilatori). Un’altra parte è dispersa per irraggiamento: a riposo e all'ombra,
a 20 °C di temperatura esterna, si disperde per irraggiamento il 60% del calore del corpo.
Te=Ti o Te>Ti. Quando la differenza tra temperatura interna ed esterna è piccola, od addirittura la
temperatura esterna risulta superiore ai 37 °C, non è possibile disperdere una quantità di calore
sufficiente per conduzione o per irraggiamento. Il corpo allora inizia a sudare: con l'evaporazione, il
sudore sottrae dal corpo il calore latente necessario alla transizione di fase liquido aeriforme. La
respirazione raffredda con un meccanismo simile facendo evaporare acqua all'interno dei polmoni.
Te<<Ti. Se la temperatura esterna è molto inferiore a quella interna, il calore disperso dal corpo può
risultare eccessivo. La vasocostrizione periferica e la "pelle d'oca" sono meccanismi che riducono lo
scambio termico per conduzione a livello dell'epidermide. I brividi sono contrazioni muscolari che
producono calore Q interno per compensare quello disperso esternamente. L'uso di indumenti
riduce la dispersione di calore perché 1) sono isolanti termici che riducono la conduzione; 2)
riducono la convezione permettendo ad uno strato d'aria calda di stazionare attorno al corpo; 3)
riducono l’irraggiamento essendo opachi alla radiazione infrarossa.
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