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Esempio Un corpo di massa m=2 kg viene trascinato (in salita) lungo un piano inclinato (θ=45°) scabro, di altezza h=1.5 m, da una forza F=20 N. Sapendo che il coefficiente di attrito dinamico vale 0.2 determinare: • l’accelerazione del corpo; • la velocità del corpo quando giunge in cima al piano inclinato; • il lavoro della forza F; • il lavoro della forza d’attrito; • il lavoro della forza peso; • la variazione di energia cinetica e potenziale. La lunghezza l del piano non è nota ma è possibile ricavarla dai dati geometrici. Siccome h = l senϑ allora: l =
h
senϑ
Calcolo dell’accelerazione del sistema Applicazione della II legge della dinamica lungo le direzioni x ed y. Direzione y ΣFy = m a y L’accelerazione lungo la direzione y è nulla (ay=0): la massa non si stacca dal piano. N − Py = m a y = 0 ⇒ N − m g cos ϑ = 0 ⇒ N = m g cos ϑ Direzione x ΣFx = m a x = m a F − Px − f a = m a ⇒ F − m g senϑ − μ d N = m a
F − m g senϑ − μ d m g cos ϑ = m a
a=
F
m
− g (senϑ + μ d cos ϑ ) = 1.676 2
m
s
Per determinare l’energia cinetica finale (in cima al piano inclinato) occorre conoscere la velocità finale. Calcolo velocità finale Lo spazio percorso è l’intera lunghezza (l) del piano, la velocità iniziale (v0),inoltre, è nulla. Si applica la relazione cinematica che lega direttamente accelerazione, spazio percorso e velocità. v 2f = v02 + 2ax
v 2f = 2al = 2a
h
h
m ⇒ v f = 2a
= 2.66
senϑ
senϑ
s
Lavoro della forza F Forza esterna (F) e spostamento(l) sono vettori paralleli e concordi per cui il lavoro della forza F vale: LF = F l cos ϕ = F
h
h
cos 0 = F
= 42.426 J
senϑ
senϑ
Lavoro della forza d’attrito La forza d’attrito (fa) e spostamento(l) sono vettori paralleli discordi (θ=π) per cui il lavoro vale: h
h
cos π = − f a
senϑ
senϑ
h
L fa = − μ d mg cos ϑ
= −5.886 J
senϑ
L fa = f a l cos ϕ = f a
Lavoro della forza peso Il lavoro della forza peso nella direzione dello spostamento (x) è dato esclusivamente dalla sua componente lungo tale direzione ossia Px. Occorre, inoltre, osservare che i due vettori, spostamento e componente della forza peso Px , hanno verso opposto (θ=π). h
h
cos π = −m g senϑ
senϑ
senϑ
L fa = − mgh = −29.43 J
L fa = Px l cos ϕ = Px
Essendo l’altezza h del piano inclinato esattamente pari all’altezza di caduta del medesimo corpo (stessa massa) dell’esempio precedente (corpo in caduta libera) si può osservare che il lavoro compiuto dalla forza peso non dipende dal fatto che il corpo abbia compiuto complessivamente un percorso diverso da quello precedente. Il lavoro della forza peso dipende solamente dalla quota, rispetto al piano di riferimento, alla quale esso si trova. La differenza di segno rispetto al caso precedente è dovuta al fatto che in questo caso il corpo sale anziché scendere, dunque spostamento (verso l’alto) e forza peso (verso il basso) sono discordi. Variazione dell’energia potenziale Il corpo parte da un’altezza nulla (y0=0) per salire sino in cima al piano inclinato (yf=h=1.5m) U 0 = m g y0 = 0
U f = m g y f = mgh
ΔU = U f − U 0 = mgh = 29.43 J
Si può osservare che, come dimostrato, ΔU
= − Lg . Variazione dell’energia cinetica Il corpo parte da fermo (v0=0) e raggiunge la sommità del piano inclinato con una certa velocità finale pari a vf = m/s. 1 2
mv0 = 0
2
1
K f = mv 2f
2
K0 =
ΔK = K f − K 0 =
1 2
mv f = 7.075 J
2
CONSIDERAZIONI Complessivamente il corpo, durante la saluta sul piano inclinato, acquista contemporaneamente sia energia cinetica che potenziale. Ciò è dovuto alla presenza della forza esterna F che compie un lavoro facendo aumentare l’energia complessiva (cinetica + potenziale) del corpo. Facendo un bilancio energetico si può osservare che LF ≠ ΔK + ΔU
mentre vale la seguente relazione: LF + L fa = ΔK + ΔU Ricordando, però, che il lavoro della forza d’attrito è negativo. a causa della presenza dell’attrito,