Meccanica Razionale

Meccanica Razionale
Corso di Laurea Triennale in Matematica - A.A. 2010/11
II anno, II semestre, CFU 12, codice F0503
Docenti: A. Teta, M. Serva
Sillabo
Richiami di equazioni differenziali, equilibrio e stabilita. Leggi di Newton per sistemi di punti
materiali. Sistemi unidimensionali. Forze centrali. Sistemi vincolati. Equazioni di Lagrange.
Principi variazionali. Dinamica del corpo rigido. Equazioni di Hamilton, equazione di HamiltonJacobi, teoremi di Liouville e Poincare. Sistemi integrabili.
Programma dettagliato
1. Equazioni differenziali
Sistemi di equazioni del primo ordine, problema di Cauchy, richiami sul teorema di esistenza,
unicita’ e continuita’ dai dati. Richiami sui sistemi lineari. Spazio delle fasi, proprieta’ delle
orbite.
Definizione di punto di equilibrio, di equilibrio stabile e di equilibrio asintoticamente stabile.
Criteri di stabilita’ per sistemi lineari, nodo, punto di sella, centro.
Criterio di stabilita’ per sistemi non lineari a partire dal linearizzato. Funzione di Liapunov,
teorema di Liapunov sulla stabilita’ di un equilibrio. Esempi di costruzione di funzioni di
Liapunov. Analisi qualitativa del modello di Lotka-Volterra.
2. Principi della Meccanica Classica
Riferimento spazio-temporale. Cinematica del punto materiale, velocita’, accelerazione, moto
rettilineo uniforme, moto circolare uniforme, moto armonico. Cambi di riferimento, legge di
trasformazione della velocita’ e dell’accelerazione.
Definizione di riferimento inerziale, I principio della dinamica. Legge di forza, massa inerziale,
II principio della dinamica per sistemi di punti materiali, invarianza galileiana. III principio
della dinamica per sistemi di punti materiali, definizione operativa di massa inerziale.
Equazioni di Newton come sistema di equazioni differenziali del secondo ordine, problema di
Cauchy e carattere deterministico della Meccanica Classica. Forze dipendenti dal tempo per
sistemi non isolati.
Risultante e momento risultante di un sistema di forze, annullarsi del risultante e del momento
risultante del sistema delle forze interne. Equazioni cardinali della Meccanica. Sistemi isolati e
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teorema del centro di massa. Energia cinetica, potenza, teorema dell’energia cinetica (o delle
forze vive).
Forze conservative, energia potenziale, legge di conservazione dell’energia.
3. Sistemi unidimensionali
Definizione di sistema unidimensionale, forze posizionali, conservazione dell’energia, riduzione
alle quadrature, equilibri e stabilita’.
Moti periodici, isocronia delle oscillazioni dell’oscillatore armonico, caratterizzazione dei potenziali con oscillazioni isocrone, stime di periodi, periodo del moto periodico nel limite delle piccole
oscillazioni, moti a meta asintotica.
Analisi qualitativa delle orbite nel piano delle fasi, esempi del pendolo semplice e della doppia
buca di potenziale.
Esercizi.
5. Moti centrali
Moto in un campo di forze centrali, conservazione dell’energia, conservazione del momento
angolare, piano di Laplace, coordinate polari.
Moti radiali. Moti non radiali, riduzione alle quadrature, equazione intrinseca dell’orbita,
condizione di periodicita’ del moto, conservazione della velocita’ areolare.
Caso del potenziale Newtoniano, leggi di Keplero, caso di energia positiva e nulla, conservazione
del vettore di Runge-Lenz. Problema dei due corpi.
Esercizi
6. Equazioni di Lagrange
Forma lagrangiana per le equazioni del moto di un sistema di punti materiali non vincolati,
invarianza in forma delle equazioni di Lagrange, momenti cinetici, variabili cicliche.
Lagrangiana per un punto materiale soggetto a una forza conservativa in coordinate cilindriche
e sferiche, lagrangiana per un punto materiale carico in un campo elettromagnetico esterno,
moto in un campo magnetico uniforme e costante.
7. Principi variazionali
Spazio delle traiettorie, funzionale, punti critici di un funzionale. Funzionale d’azione, punti
critici di un funzionale d’azione ed equazioni di Eulero-Lagrange, confronto tra problema ai
limiti e problema di Cauchy.
Condizione sufficiente per un minimo dell’azione, controesempi.
Problema della brachistocrona.
8. Sistemi vincolati
Definizione di vincolo per un sistema di punti materiali, ipotesi di indipendenza e compatibilita’
dei vincoli, numero di gradi di liberta’, coordinate lagrangiane, spazio delle configurazioni.
Moto su una curva assegnata come esempio di sistema vincolato, pendolo semplice, pendolo
cicloidale.
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Definizione di moto possibile, velocita’ possibile, velocita’ virtuale. Caratterizzazione della velocita’ virtuale come vettore tangente allo spazio delle configurazioni. Potenza virtuale, vincoli
ideali e principio di D’Alembert.
Derivazione delle equazioni di Lagrange nel caso non conservativo e conservativo.
9. Proprieta’ dei sistemi lagrangiani
Lagrangiana regolare, riduzione a forma normale, caso della lagrangiana di un sistema meccanico, integrali primi, energia generalizzata.
Riduzione ad un sistema del primo ordine, posizioni di equilibrio, criterio di Lagrange-Dirichlet
per la stabilita’ di un equilibrio. Linearizzazione nell’intorno di un equilibrio, soluzione delle
equazioni linearizzate, piccole oscillazioni, frequenze proprie e modi normali. Condizione sufficiente per la instabilita’ di un equilibrio.
Simmetrie per un sistema lagrangiano, teorema di Noether.
Esempi del pendolo sferico e dei pendoli accoppiati.
Esercizi.
10. Corpi rigidi
Vincolo di rigidita’. Momento angolare ed energia di un corpo rigido, tensore d’inerzia ed
ellissoide d’inerzia, proprieta’ di simmetria e calcolo dei momenti di inerzia.
Angoli di Eulero, velocita’ angolare e momento angolare in funzione degli angoli di Eulero e
delle loro derivate. Moto rigido con un punto fisso. Equazioni di Eulero, moti alla Poinsot.
Trottola pesante, lagrangiana ed integrali primi. Descrizione qualitativa del moto: precessioni
e nutazioni. La trottola dormiente.
11. Sistemi hamiltoniani
Hamiltoniana come trasformata di Legendre della lagrangiana e viceversa, equazioni di Hamilton, hamiltoniana come energia del sistema, integrali primi e parentesi di Poisson, esempi di
calcolo di hamiltoniane.
Principio variazionale nel caso hamiltoniano.
Flusso di fase hamiltoniano, teorema di Liouville, teorema di Poincare’, equazione di Liouville.
12. Trasformazioni canoniche
Definizione di trasformazione canonica e completamente canonica, trasformazione naturale,
esempi e controesempi, condizione sufficiente di canonicita’.
Funzioni generatrici di trasformazioni canoniche, esempi.
Equazione di Hamilton-Jacobi, nozione di integrale completo, caso di hamiltoniana indipendente
dal tempo, esempio dell’oscillatore armonico, soluzione per separazione di variabili, esempi di
hamiltoniane separabili in coordinate cilindriche e sferiche.
Matrice simplettica, trasformazioni simplettiche, condizione di completa canonicita’.
Invarianza della misura di Liouville per trasformazioni completamente canoniche, flusso di fase
hamiltoniano come famiglia di trasformazioni completamente canoniche.
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Invarianza delle parentesi di Poisson per trasformazioni completamente canoniche, invarianza
delle parentesi fondamentali.
Simmetrie per un sistema hamiltoniano, teorema di Noether in ambito hamiltoniano.
Sistemi integrabili, teorema di Liouville sui sistemi integrabili localmente, cenno al teorema di
Arnold-Liouville.
Seminari didattici
1. Derivazione del potenziale newtoniano a partire dalle leggi di Keplero.
2. Ottica geometrica, cenni storici, principio di Fermat, equazione per i raggi, analogia con la
meccanica, soluzione dell’equazione di Hamilton-Jacobi mediante fronti d’onda, nuova forma
dell’analogia con la meccanica.
Bibliografia
C. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 2, 1994.
R. Esposito, Appunti dalle lezioni di Meccanica Razionale, ed. Aracne 1998.
E. Olivieri, Appunti di Meccanica Razionale, UniTor 1990.
A. Celletti, Esercizi e Complementi di Meccanica Razionale, ed. Aracne 1999.
Altre letture consigliate
G. Gallavotti, Meccanica Elementare, Boringhieri 1980.
L.D. Landau, E. M. Lifsitz, Meccanica, Editori Riuniti 1982
L. Arnold, Problemi matematici in Meccanica Classica, Editori Riuniti 1980
I. Ekeland, Il migliore dei mondi possibili, ed. Boringhieri
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