PROGRAMMA DEL CORSO DI MECCANICA CLASSICA E ANALITICA
Anno accademico 2011/2012, docenti Maurizio Serva e Alessandro Teta, codice
F0010.
Io fingo o suppongo che qualche corpo o punto si muova all’ingiù e all’insù con la nota
proporzione et horizzontalmente con moto equabile. Quando questo sia io dico che seguirà tutto
quello che ha detto il Galileo, et io ancora. Se poi le palle di piombo, di ferro, di pietra non
osservano quella supposta proporzione, suo danno, noi diremo che non parliamo di esse.
Evangelista Torricelli, Febbraio 1646.
1. Stabilità degli equilibri
Definizione di punto di equilibrio, di equilibrio stabile e di equilibrio asintoticamente stabile.
Funzione di Lyapunov, teorema di Lyapunov sulla stabilità di un equilibrio. Criterio di stabilità
mediante linearizzazione.
2. Principi della Meccanica Classica
Riferimento spazio-temporale. Cinematica del punto materiale, velocità, accelerazione, moto
rettilineo uniforme, moto circolare uniforme, moto armonico. Cambiamenti di riferimento, legge
di trasformazione della velocità e dell’accelerazione.
Definizione di riferimento inerziale, I principio della dinamica. Legge di forza, massa inerziale, II
principio della dinamica per sistemi di punti materiali, invarianza galileiana. III principio della
dinamica per sistemi di punti materiali, definizione operativa di massa inerziale.
Equazioni di Newton come sistema di equazioni differenziali del secondo ordine, problema di
Cauchy e carattere deterministico della Meccanica Classica. Forze dipendenti dal tempo per
sistemi non isolati.
Risultante e momento risultante di un sistema di forze, annullarsi del risultante e del momento
risultante del sistema delle forze interne. Equazioni cardinali della Meccanica. Sistemi isolati
e teorema del centro di massa. Energia cinetica, potenza, teorema dell’energia cinetica (o delle
forze vive).
Forze conservative, energia potenziale, legge di conservazione dell’energia.
3. Sistemi unidimensionali
Definizione di sistema unidimensionale, forze posizionali, conservazione dell’energia, riduzione
alle quadrature, equilibri e stabilità.
Moti periodici: isocronia dell’oscillatore armonico, stime di periodi, periodo nel limite delle
piccole oscillazioni, moti a meta asintotica.
Analisi qualitativa delle orbite nel piano delle fasi. Esempi: il pendolo semplice e la doppia buca
di potenziale.
4. Moti centrali
Moto in un campo di forze centrali, conservazione dell’energia, conservazione del momento angolare, piano di Laplace, coordinate polari.
Moti radiali. Moti non radiali, riduzione alle quadrature, equazione intrinseca dell’orbita, condizione di periodicità del moto, conservazione della velocità areolare.
Caso del potenziale Newtoniano, leggi di Keplero, caso di energia positiva e nulla. Potenziale
Newtoniano perturbato e chiusura delle orbite. Problema dei due corpi.
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5. Equazioni di Lagrange
Forma lagrangiana per le equazioni del moto di un sistema di punti materiali non vincolati,
invarianza delle equazioni di Lagrange, momenti cinetici, variabili cicliche.
Lagrangiana per un punto materiale soggetto a una forza conservativa in coordinate cilindriche
e sferiche.
6. Principi variazionali
Spazio delle traiettorie, funzionale, punti critici di un funzionale. Funzionale d’azione, punti
critici di un funzionale d’azione ed equazioni di Eulero-Lagrange, confronto tra problema ai
limiti e problema di Cauchy.
7. Sistemi vincolati
Definizione di vincolo per un sistema di punti materiali, ipotesi di indipendenza e compatibilità
dei vincoli, numero di gradi di libertà, coordinate lagrangiane, spazio delle configurazioni.
Moto su una curva assegnata come esempio di sistema vincolato, pendolo semplice, pendolo
cicloidale.
Definizione di moto possibile, velocità possibile, velocità virtuale. Caratterizzazione della velocità virtuale come vettore tangente allo spazio delle configurazioni. Potenza virtuale, vincoli
ideali e principio di D’Alembert.
Derivazione delle equazioni di Lagrange nel caso non conservativo e e nel caso conservativo.
8. Proprietà dei sistemi lagrangiani
Lagrangiana regolare, riduzione a forma normale, caso della lagrangiana di un sistema meccanico,
integrali primi, energia generalizzata.
Riduzione ad un sistema del primo ordine, posizioni di equilibrio, criterio di Lagrange-Dirichlet
per la stabilità di un equilibrio. Linearizzazione nell’intorno di un equilibrio, soluzione delle
equazioni linearizzate, piccole oscillazioni, frequenze proprie e modi normali. Condizione sufficiente per la instabilità di un equilibrio.
Simmetrie per un sistema lagrangiano, teorema di Noether.
Esempi del pendolo sferico e dei pendoli accoppiati.
9. Sistemi hamiltoniani
Hamiltoniana come trasformata di Legendre della lagrangiana e viceversa, equazioni di Hamilton,
hamiltoniana come energia del sistema, integrali primi e parentesi di Poisson, esempi di calcolo
di hamiltoniane.
Principio variazionale nel caso hamiltoniano.
Flusso di fase hamiltoniano, teorema di Liouville, teorema di Poincaré, equazione di Liouville.
Definizione di trasformazione canonica e completamente canonica, trasformazione naturale, esempi e controesempi.
BIBLIOGRAFIA
R. Esposito, Appunti dalle lezioni di Meccanica Razionale, ed. Aracne 1998.
E. Olivieri, Appunti di Meccanica Razionale, UniTor 1990.
A. Celletti, Esercizi e Complementi di Meccanica Razionale, ed. Aracne 1999.
Appunti sui Sistemi Unidimensionali, alcuni esercizi svolti e una lista di esercizi proposti sono
disponibili sul sito https://sites.google.com/site/sandroprova/didattica-1
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