Meccanica Analitica per Fisica [6 CFU]
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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Corso di Laurea Triennale in ”Fisica” Anno Accademico 2015/2016 MECCANICA ANALITICA Docente Prof. Maria Clara Nucci Programma • Elementi di meccanica newtoniana Principi della meccanica newtoniana. Equivalenza matematica tra sistemi meccanici soggetti a forze elastiche e circuiti elettrici ideali. Cinematica e dinamica dei moti rigidi: formula fondamentale dei moti rigidi, significato della velocità angolare, formule di Poisson, angoli di Eulero e velocità angolare in funzione degli angoli di Eulero, atto di moto rigido e teorema di Mozzi, moti rigidi piani e centro di istantanea rotazione, moti rigidi con un punto fisso, moto di precessione. Meccanica dei sistemi materiali: momenti di inerzia, teorema di Huygens-Steiner, momenti principali di inerzia, momenti di deviazione, ellissoide di inerzia, momenti centrali di inerzia, definizione di giroscopio, energia cinetica e teorema di König, moto di puro rotolamento. • Meccanica lagrangiana Teoria dei vincoli: spostamenti possibili, effettivi, elementari e virtuali, vincoli bilaterali ed unilaterali, scleronomi e reonomi, olonomi ed anolonomi, esempi di vincoli anolonomi. Principio di D’Alembert. Postulato delle reazioni vincolari. Principio dei lavori virtuali. Vincolo di rigidità e lavoro virtuale delle reazioni vincolari espresse da tale vincolo. Componenti lagrangiane della sollecitazione. Equazioni di Lagrange del primo tipo. Funzione lagrangiana. Equazioni di Lagrange del secondo tipo. Coordinate ignorabili e momenti cinetici. Elementi di calcolo delle variazioni: equazioni di Eulero-Lagrange; principio di Hamilton. Elementi di analisi gruppale delle equazioni differenziali ordinarie: gruppo continuo ad un parametro di trasformazioni, trasformazioni infinitesime, operatore di Lie, teorema di Lie, funzioni e curve invarianti, prolungamento dell’operatore di Lie, trasformazioni invarianti delle equazioni differenziali, algebra di Lie, sottoalgebre, ideali, algebre risolvibili, numero massimo di simmetrie ammissibili, equazioni linearizzabili e numero delle loro simmetrie, legame tra simmetrie e fattore integrante per le equazioni del primo ordine. Simmetrie di Nöther, teorema di Nöther e sua dimostrazione, integrali primi nel caso di invarianza per traslazioni nel tempo, per traslazioni nello spazio e per rotazioni nello spazio. Il problema dei 2 corpi (moto di Keplero): simmetrie di Lie ed integrali primi, linearizzazione. 1 • Meccanica hamiltoniana Trasformata di Legendre e suo significato geometrico, funzione hamiltoniana, principio di Hamilton modificato, equazioni canoniche, condizioni per l’equivalenza tra energia meccanica e funzione hamiltoniana e relativo controesempio, formulazione simplettica del sistema canonico. Parentesi di Poisson e sue proprietà, parentesi fondamentali di Poisson, teorema di PoissonJacobi e sua dimostrazione. Teorema di Liouville sui sistemi completamente integrabili: esempio del moto di Keplero. Trasformazioni canoniche, invarianza delle parentesi fondamentali di Poisson rispetto ad una trasformazione canonica, invarianza della parentesi di Poisson rispetto ad una trasformazione canonica, metodi per identificare una trasformazione canonica. Teorema di Liouville sui volumi nello spazio delle fasi e sua dimostrazione. Teoria di Hamilton-Jacobi, equazione di Hamilton-Jacobi, metodo della separazione delle variabili, esempio del moto di Keplero, variabili azione-angolo. • Elementi di teoria delle equazioni differenziali Metodi risolutivi delle equazioni differenziali ordinarie e dei sistemi lineari a coefficienti costanti. Forme differenziali lineari e loro esattezza. Equazioni alle derivate parziali lineari del primo ordine. Testi consigliati H. GOLDSTEIN: Meccanica Classica, II ed. italiana, Zanichelli, 2004; G. GRIOLI: Lezioni di Meccanica Razionale Libreria Cortina; V. I. ARNOLD: Mathematical Methods of Classical Mechanics, II ed., Springer-Verlag, 1989; Dispense distribuite dal docente Elementi di analisi gruppale per le equazioni differenziali (traduzione di O. Simčic’ e M.C. Nucci dall’originale russo di N.H. Ibragimov). Elementi sulla teoria delle simmetrie di Nöther e il problema di Keplero (note tratte dalla tesi di N. Nardini). 2
