Teoremi sui limiti

Teoremi sui limiti
Quando non espressamente detto, intendiamo che:
f :R→R
x0 ∈ R è punto di accumulazione per dom(f ).
Teorema di unicità del limite. Supponiamo che f ammetta limite ℓ
(finito o infinito) per x → x0 . Allora f non ha altri limiti per
x → x0 .
La dimostrazione è svolta a lezione. Una dimostrazione alternativa è riportata a pag.
92 del libro di testo.
c
Paola
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Teoremi sui limiti
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1
Teorema di permanenza del segno. Supponiamo che esista
lim f (x) = ℓ ∈ R. Se ℓ > 0, allora esiste un intorno I (x0 ) del
x→x0
punto x0 , tale che f (x) > 0 per ogni x ∈ I (x0 ) \ {x0 }.
y
ℓ
I (x0 )
x0
x
La dimostrazione è svolta a lezione. Una dimostrazione alternativa è riportata a pag.
92-93 del libro di testo.
c
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2
Corollario al teorema di permanenza del segno. Supponiamo che
esista lim f (x) = ℓ ∈ R e che esista un intorno I (x0 ) del punto x0 ,
x→x0
tale che f (x) ≥ 0 per ogni x ∈ I (x0 ) \ {x0 }. Allora ℓ ≥ 0.
y
ℓ
I (x0 )
x0
x
La dimostrazione è svolta a lezione.
c
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3
Limiti delle funzioni elementari
Ricordando i grafici delle funzioni elementari abbiamo:
lim c = c
lim c = c (c costante)
x→−∞
x→+∞
lim x = −∞
lim x = −∞
x→−∞
x→+∞
lim x 2 = +∞
lim x 2 = +∞
x→−∞
lim x 3 = −∞
−∞
lim x n =
x→−∞
+∞
0
lim x α =
+∞
x→0+
x→+∞
lim x 3 = +∞
x→−∞
x→+∞
se n è disp.
se n è pari.
se α > 0
se α < 0
c
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lim x n = +∞
+∞ se α > 0
lim x α =
x→+∞
0
se α < 0
x→+∞
Limiti delle funzioni elementari
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4
Limiti delle funzioni elementari
lim log(x) = −∞
x→0+
lim e x = 0
x→−∞
lim sin(x) =6 ∃
x→−∞
lim cos(x) =6 ∃
x→−∞
lim tan(x) =6 ∃
x→−∞
lim log(x) = +∞
x→+∞
lim e x = +∞
x→+∞
lim sin(x) =6 ∃
x→+∞
lim cos(x) =6 ∃
x→+∞
lim tan(x) =6 ∃
x→+∞
c
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Limiti delle funzioni elementari
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5
Operazioni con i simboli +∞ e −∞
Ricordiamo che R = {−∞} ∪ R ∪ {∞} è detta retta reale estesa.
Definiamo le operazioni su R.
Immaginiamo che gli operandi di queste operazioni siano i risultati
del calcolo di certi limiti.
Somma
x + (+∞) = +∞
x + (−∞) = −∞
∀x ∈ R
(+∞) + (+∞) = +∞ (−∞) + (−∞) = −∞
Prodotto
x · (+∞) = +∞,
x · (−∞) = −∞
∀x ∈ R+
x · (+∞) = −∞,
x · (−∞) = +∞
∀x ∈ R−
(+∞) · (+∞) = +∞, (−∞) · (−∞) = +∞, (+∞) · (−∞) = −∞
c
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Algebra dei limiti
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6
Divisione
x
x
=
= 0,
∀x ∈ R
+∞
−∞
−∞
+∞
= +∞,
= −∞ ∀x ∈ R+
x
x
+∞
−∞
= −∞,
= +∞ ∀x ∈ R−
x
x
x
= ∞ ∀x ∈ R \ {0}
0
Non sono definite le seguenti operazioni:
(+∞) + (−∞),
(±∞) · 0,
∞0 ,
±∞
,
±∞
00 ,
0
0
1∞
Sono dette forme indeterminate perchè il risultato non è sempre lo
stesso. Esse devono essere indagate e risolte caso per caso, con
opportune regole. Ad esempio, (+∞) + (−∞) potrebbe dare come
risultato ℓ ∈ R, oppure +∞, oppure −∞, a seconda di cosa
rappresentano i vari “infiniti”.
c
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Algebra dei limiti
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7
Algebra dei limiti
Teorema. Se lim f (x) = ℓ1 ∈ R e lim g (x) = ℓ2 ∈ R, allora,
x→x0
x→x0
quando l’espressione a secondo membro è definita (non si hanno
forme indeterminate), si ha
lim (f (x) + g (x)) = lim f (x) + lim g (x) = ℓ1 + ℓ2
x→x0
x→x0
x→x0
lim (f (x) − g (x)) = lim f (x) − lim g (x) = ℓ1 − ℓ2
x→x0
x→x0
x→x0
lim (f (x) · g (x)) = ( lim f (x)) · ( lim g (x)) = ℓ1 · ℓ2
x→x0
lim
x→x0
x→x0
x→x0
lim f (x)
ℓ1
f (x)
x→x0
=
=
g (x)
lim g (x)
ℓ2
(g (x) 6= 0, ∀x ∈ I (x0 ) \ {x0 })
x→x0
Es.
lim
x→+∞
2+
1
x
= lim 2 + lim
x→+∞
c
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x→+∞
1
1
=2+
=2+0=2
x
lim x
x→+∞
Algebra dei limiti
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8
Esempi di forme indeterminate
Vediamo se possiamo applicare il teorema dell’algebra dei limiti.
Calcoliamo (supponendo di poter applicare l’algebra dei limiti)
lim (x 2 − 1)
x 2 − 1 ? x→+∞
+∞ − 1
+∞
lim
=
=
=
=forma
x→+∞ x + 3
lim (x + 3)
+∞ + 3
+∞
indeterminata
x→+∞
Quindi l’algebra dei limiti, da sola, NON permette di risolvere il
limite
Vediamo un secondo limite:
lim (x 2 + 2x)
x 2 + 2x ? x→0
0
lim
=
= =forma indeterminata
3
3
x→0 x + 3x
0
lim (x + 3x )
x→0
Anche qui l’algebra dei limiti, da sola, NON dà alcun aiuto.
Vediamo come risolvere queste forme ideterminate
c
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Algebra dei limiti
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9
Forme indeterminate +∞ − ∞
lim (x 3 − 2x + 1) = lim x 3 − lim (2x) + lim 1
x→+∞
x→+∞
x→+∞
x→+∞
= +∞ − ∞ + 1 forma indeterminata
Devo procedere in altro modo:
2
1
lim (x − 2x + 1) = lim x · 1 − 2 + 3
x→+∞
x→+∞
x x
1
2
3
=
lim x · lim
1− 2 + 3
x→+∞
x→+∞
x
x
= +∞ · (1 − 0 + 0) = +∞ risultato corretto
3
3
In un polinomio, quando x → +∞, prevale sempre il monomio di
grado massimo:
lim (x 3 − 2x + 1) = lim x 3 = +∞
x→+∞
x→+∞
3
lim (−4x − 2x + 1) = lim (−4x 3 ) = −∞
x→+∞
c
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x→+∞
Algebra dei limiti
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10
Forme indeterminate
∞
generate da rapporti di polinomi
∞
2x 3 − 2x + 1
x→+∞
x4 + 2
Lavoro come prima, sia sul numeratore che sul denominatore.
Es. lim
2x 3 − 2x + 1
x→+∞
x4 + 2
2x 3 − 2x + 1
lim
x→−∞
x4 + 2
2x 3 − 2x + 1
lim
x→+∞
x2 + 2
2x 3 − 2x + 1
lim
x→−∞
x2 + 2
lim
2x 3
x→+∞ x 4
2x 3
= lim
x→−∞ x 4
2x 3
= lim
x→+∞ x 2
2x 3
= lim
x→−∞ x 2
= lim
c
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2
=0
x→+∞ x
2
= lim
=0
x→−∞ x
2x
= lim
= +∞
x→+∞ 1
2x
= −∞
= lim
x→−∞ 1
= lim
Algebra dei limiti
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11
Forme indeterminate
0
generate da rapporti di polinomi
0
x 2 + 2x
=
x→0 x + x 3
Es. lim
In questo caso si raccoglie al numeratore ed al denominatore la
potenza minima, si semplifica e poi si applica l’algebra dei limiti.
x 2 + 2x
x(x + 2)
x +2
= lim
= lim
=2
x→0 x + x 3
x→0 x(1 + x 2 )
x→0 1 + x 2
lim
x 2 − 4x
=
x→0 x 2 − 2x 3
x(x − 4)
−4
x −4
= lim 2
= lim
= + = −∞.
+
+
0
x→0 x (1 − 2x)
x→0 x(1 − 2x)
x −4
−4
x 2 − 4x
x(x − 4)
= lim
= − =
lim 2
= lim 2
3
−
−
−
0
x→0 x(1 − 2x)
x→0 x − 2x
x→0 x (1 − 2x)
+∞
Es. lim+
c
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12
Primo Teorema del confronto. Supponiamo che f ammetta limite
ℓ1 ∈ R per x → x0 e la funzione g ammetta limite ℓ2 ∈ R per
x → x0 . Se esiste un intorno I (x0 ) di x0 tale che f (x) ≤ g (x) per
ogni x ∈ I (x0 ) \ {x0 }, allora ℓ1 ≤ ℓ2 .
y
ℓ2
ℓ1
I (x0 )
x0
x
La dimostrazione è svolta a lezione. Una dimostrazione alternativa è riportata a pag.
94 del libro di testo.
c
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Teoremi del confronto
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13
Secondo Teorema del confronto. Siano date tre funzioni: f , g e h
e supponiamo che esistano e siano uguali i limiti
lim f (x) = lim h(x) = ℓ.
x→x0
x→x0
Se esiste un intorno I (x0 ) in cui siano definite le tre funzioni,
tranne al più nel punto x0 , tale che
f (x) ≤ g (x) ≤ h(x)
∀x ∈ I (x0 ) \ {x0 },
allora si ha lim g (x) = ℓ.
x→x0
y
h(x)
g (x)
ℓ
c
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f (x)
x0
x
Teoremi del confronto
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14
Funzioni limitate
Sia f : R → R, con dominio dom(f ) ⊆ R.
Def. Diciamo che f è limitata se il suo insieme immagine im(f ) è
un insieme limitato in R.
Def. Diciamo che f è limitata inferiormente se il suo insieme
immagine im(f ) è un insieme limitato inferiormente in R.
Def. Diciamo che f è limitata superiormente se il suo insieme
immagine im(f ) è un insieme limitato superiormente in R.
Esempi. f (x) = sin(x), g (x) = cos(x), h(x) = arctan(x) sono
funzioni limitate.
π π Infatti im(f ) = im(g ) = [−1, 1],
sono tutti insiemi limitati
im(h) = − ,
2 2
f (x) = sin(x)
c
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g (x) = cos(x)
Funzioni limitate
h(x) = arctan(x)
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15
Esempi di funzioni NON limitate.
f (x) = e x , è solo limitata inferiormente, im(f ) = R+
g (x) = log(x) non è limitata, im(g ) = R,
h(x) = −x 2 è solo limitata superiormente, im(h) = R− ∪ {0}
f (x) = e x
g (x) = log(x)
c
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Funzioni limitate
h(x) = −x 2
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16
Sia A ⊆ dom(f ) e B = f (A) (l’immagine di A attraverso f ).
Def. Diciamo che f è limitata su A se B è un insieme limitato in R.
y
y
B2
2.8
B1
1.5
0.3
1
A1
5
x
2
x
A2
f è limitata su A1 = (1, 5). B1 = (0.2, 2.8) è un insieme limitato.
f non è limitata su A2 = (0, 2). Si ha limx→0 f (x) = +∞ e
B2 = (1.5, +∞) non è un insieme limitato.
c
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Funzioni limitate
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17
Funzioni limitate (definizione equivalente)
Def. Una funzione f è limitata in un intorno I (x0 ) del punto x0 , se
esiste una costante C > 0 tale che
|f (x)| ≤ C ,
∀x ∈ I (x0 ).
y
y
f (I (x0 ))
f (I (x0 ))
C
x0 = 3
I (x0 )
x
x0 = 0
x
I (x0 )
f è limitata nell’intorno I (3) ma non è limitata nell’intorno I (0)
c
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Funzioni limitate
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18
OSSERVAZIONE
Dire che f è limitata nell’intorno I (x0 ) NON vuole dire che esiste
lim f (x)
x→x0
Esempio. Sia f (x) = sin(x). L’insieme immagine di f è imf = [−1, 1]
è un insieme limitato (ammette sia maggioranti che minoranti), quindi
f è limitata su tutto il suo dominio, cioè su R.
Consideriamo anche la seconda definizione data.
Abbiamo −1 ≤ f (x) ≤ 1 ∀x ∈ R, quindi possiamo dire che |f (x)| ≤ C
∀x ∈ R con C = 1 (vedi def. a pag. 13).
Quindi f è limitata in un intorno di x0 = +∞.
Tuttavia 6 ∃ lim f (x)
x→+∞
Infatti f continua a oscillare e la definizione di limite non è soddisfatta
per alcun valore di ℓ. (si vedano pag. 15-16 di cap3a.pdf).
c
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Funzioni limitate
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19
Corollario al II thm del confronto
Def. Se lim g (x) = 0, si dice che g è infinitesima per x → x0 .
x→x0
Teorema. Sia f una funzione limitata in un intorno di x0 e sia g
una funzione infinitesima per x → x0 . Allora lim (f (x)g (x)) = 0,
x→x0
ovvero la funzione prodotto fg è infinitesima per x → x0 .
Es.
lim
x→+∞
sin(x)
.
x
f (x) = sin(x) è limitata: | sin(x)| ≤ 1 e g (x) =
lim g (x) = 0. Allora lim
x→+∞
x→+∞
c
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sin(x)
= 0.
x
Teoremi del confronto
1
è tale che
x
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20
sin(x)
=1
x→0
x
Limite fondamentale lim
Dim.
T
P
1
x
x
O
△
A(POA) =
e
△
H
A
Lavoro con x ≥ 0, osservo che f (x) =
sin(x)
è pari.
x
⌢
[ = x allora l’arco AP è
Se l’angolo POA
⌢
x
lungo x, e A(OPA) = .
2
Infatti
⌢
⌢
AP: 2πr = x : 2π, ⇒ AP= x · r = x;
⌢
⌢
x
A(OPA) : πr 2 = x : 2π, ⇒A(OPA) =
2
sin(x)
PH · OA
=
,
2
2
⌢
△
A(TOA) =
△
A(POA) ≤ A(OPA) ≤ A(TOA) ovvero
c
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tan(x)
TA · OA
=
2
2
sin(x)
x
tan(x)
≤ ≤
.
2
2
2
Primo limite fondamentale
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21
Moltiplicando
x
tan(x)
sin(x)
2
≤ ≤
si ha
per
2
2
2
sin(x)
1≤
1
x
≤
sin(x)
cos(x)
e invertendo il tutto:
cos(x) ≤
sin(x)
≤ 1.
x
Per il secondo teorema del confronto, facendo tendere x a 0:
sin(x)
lim
= 1. lim cos(x) = 1,
lim 1 = 1
e quindi
x→0
x→0
x→0
x
c
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Primo limite fondamentale
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22
Riferimenti bibliografici
Canuto-Tabacco: Sect. 4.1.1, 4.1.2, 4.1.3
Esercizi Canuto Tabacco: Es. 1, 2, 3 del Cap. 4.
c
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Bibliografia
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23