PDF 700 kB

TITOLO
INTRODUZIONE AI CRITERI DI VALUTAZIONE
DELLA INCERTEZZA DI MISURA NELLE TARATURE
SIT
Servizio di Taratura in Italia
Identificazione: Doc-519
Revisione: 5
Data: 2005-08-25
Pagina 1 di 78
Inizio validità 2005-09-15.
Annotazioni:
Rev. 5 Completata la traduzione degli esempi.
COPIA CONTROLLAT A N°
CONSEGNATA A:
COPIA NON CONTROLLATA N°
CONSEGNATA A:
5
Revisione parziale
2005-08-25 F. Galliana ……
M. Mosca…….
4
Revisione parziale
01-05-26
A. Cappa……
M. Mosca…….
3
Revisione parziale
99-08-27
A. Cappa……
M. Mosca…….
2
Revisione parziale
05/05/98
G. Bongiovanni….
P. Soardo ……..
1
Revisione parziale
1993
W. Bich ………….
P. Soardo …….
0
Emissione
1988
S. D’Emilio ……...
C. Egidi ………..
Revisione
Descrizione
Data
Redazione
Approvazione
TITOLO
SIT
INTRODUZIONE AI CRITERI DI VALUTAZIONE
DELLA INCERTEZZA DI MISURA NELLE TARATURE
Servizio di Taratura in Italia
Identificazione: Doc-519
Revisione: 5
Data: 2005-08-25
Pagina 2 di 78
1. Scopo e campo di applicazione
Il SIT adotta la guida EA-4/02 (prec. EAL-R2) come documento di riferimento, che i
Laboratori di taratura accreditati devono seguire nella valutazione della incertezza nelle
misurazioni nei processi di taratura e nella dichiarazione dell’incertezza da riportare nei
certificati di taratura. Il presente documento riporta in allegato la traduzione in lingua italiana
della guida in oggetto, oltre a riassumerne brevemente i punti fondamentali. Gli esempi
riportati nella EA-4/02 devono essere utilizzati per la migliore comprensione della legge di
propagazione dell’incertezza e della sua applicazione, non sono da ritenersi cogenti nei
singoli settori metrologici a cui si riferiscono, per quanto riguarda i metodi di taratura. Per
questo esistono altri guide SIT, EA, EUROMET oltre che la normativa tecnica nel suo
complesso.
2. Riferimenti
2.1
EA-4/02 "Expression of the uncertainty of measurement in calibration"
2.2
UNI CEI ENV 13005 "Guida all’espressione dell’incertezza di misura"
Altri riferimenti utili per la stima dell’incertezza, possono essere trovati in:
2.3
EA-4/16 "Guidelines on the expression of uncertainty in quantitative testing"
2.4
UNI ISO 5725-1, …,-6 "Accuratezza (esattezza e precisione) dei risultati e dei metodi di
misurazione"
2.5
ISS “Quantificazione dell’incertezza nelle misure analitiche” traduzione della seconda
edizione (2000) di EURACHEM/CITAC Guide CG4, in www.imgc.cnr.it/mchimica.
3. Concetti fondamentali della EA-4/02
La EA-4/02 è in accordo con la Guida pubblicata congiuntamente da BIPM, IEC, IFCC, ISO,
IUPAC, IUPAP ed OIML (detta sovente GUM), e la cui versione italiana è stata pubblicata a
cura di UNI e CEI come norma UNI CEI ENV 13005 (2.2).
L’informazione ottenuta nel processo di misurazione di un misurando, la misura, non è
completa se non è corredata da indicazioni utili ad illustrarne l’affidabilità. Queste
indicazioni sono:
• l’incertezza da cui si pensa possa essere affetta la stima del misurando,
• il livello di fiducia che si ha nella stima che si è fatta sull’incertezza.
L’incertezza del risultato di una misurazione indica la impossibilità di una esatta conoscenza
del valore della grandezza che si vuole misurare.
Secondo le raccomandazioni degli organismi internazionali competenti, le incertezze
vengono classificate nelle categorie A e B in base al metodo utilizzato per stimarle.
Precisamente, sono di categoria A quelle valutate per mezzo dell’analisi statistica di serie di
osservazioni, e di categoria B quelle valutate con mezzi diversi dall’analisi statistica di serie
di osservazioni. L’informazione utilizzata per stimare l’incertezza di categoria A proviene
dallo stesso esperimento o misurazione che si sta esaminando, mentre quelle di categoria B
deriva da fonti esterne, quali:
• dati di misurazioni precedenti,
TITOLO
SIT
INTRODUZIONE AI CRITERI DI VALUTAZIONE
DELLA INCERTEZZA DI MISURA NELLE TARATURE
Servizio di Taratura in Italia
Identificazione: Doc-519
Revisione: 5
Data: 2005-08-25
Pagina 3 di 78
• esperienza o conoscenza generale del comportamento e delle proprietà dei materiali e
strumenti di interesse,
• specifiche tecniche dichiarate dal costruttore,
• dati forniti in certificati di taratura o altri,
• incertezze assegnate a valori di riferimento presi da manuali.
Lo scopo della classificazione in categoria A e categoria B è quello di indicare le due diverse
modalità di valutazione dei contributi dell’incertezza e non sottintende l’esistenza di
differenze nella natura delle componenti risultanti dai due tipi di valutazione.
Secondo l’impostazione della UNI CEI ENV 13005 [2.2], il misurando Y viene determinato a
partire dalle misure di un certo numero N di grandezze Xi (i=1, …, N) dalle quali lo stesso
misurando dipende attraverso una opportuna relazione funzionale. Le informazioni sulle
grandezze Xi, ricavate sperimentalmente eseguendo la procedura di misura, sono i valori di
misura xi e le incertezze di misura u(Xi), dette incertezze tipo.
Il risultato della misurazione y, che descrive il valore del misurando Y , deve essere
accompagnato da un intervallo di valori numerici associato ad una unità di misura, uc(y),
l’incertezza associata alla misurazione, detta incertezza tipo composta. L’incertezza tipo
composta della stima del misurando è una valutazione quantitativa dell’incertezza
perfettamente idonea a caratterizzare le misure effettuate. Essa viene stimata come la radice
quadrata positiva della somma pesata dei quadrati delle incertezze tipo u(Xi) secondo la legge
di propagazione delle incertezze.
L’espressione della sola incertezza tipo composta, non è solitamente sufficiente. Si richiede la
specificazione di un intervallo che comprenda una frazione rilevante, e se possibile nota, dei
valori attribuibili al misurando (livello di fiducia). Ad esempio, l’organismo Europeo di
coordinamento dei sistemi nazionali di taratura, l’EA, richiede che i Laboratori di taratura
accreditati specifichino nei loro certificati un intervallo di questo tipo. La valutazione
quantitativa dell’incertezza che risponde a questo requisito è l’incertezza estesa, indicata con
U(y), che si ottiene moltiplicando l’incertezza tipo composta per un opportuno fattore di
copertura k:
U(y) = k⋅ uc (y) .
Il valore del fattore di copertura, in linea di principio arbitrario, dipende dall’applicazione alla
quale la misura è destinata e dal livello di fiducia a cui è associato, ed è tipicamente compreso
tra 2 e 3. L’EA ha stabilito che, salvo diversa specificazione, il livello di fiducia a cui
associare l’espressione dell’incertezza estesa debba essere di circa il 95 %. L’espressione
della stima y del risultato di un misurando Y dovrà, quindi essere
Y = y ± U(y)
Questa indicazione deve sempre essere accompagnata dalla grandezza fisica in cui il
misurando può essere espresso. Il certificato di taratura deve inoltre riportare, a seconda della
distribuzione di probabilità e del grado di affidabilità che si può associare alla variabile di
uscita y, una dichiarazione d'incertezza avente uno dei seguenti contenuti:
se l’incertezza è legata una variabile casuale con distribuzione normale ed è
sufficientemente affidabile
TITOLO
SIT
INTRODUZIONE AI CRITERI DI VALUTAZIONE
DELLA INCERTEZZA DI MISURA NELLE TARATURE
Servizio di Taratura in Italia
Identificazione: Doc-519
Revisione: 5
Data: 2005-08-25
Pagina 4 di 78
L'incertezza estesa indicata è espressa come l'incertezza tipo moltiplicata per il fattore
di copertura k=2, che per una distribuzione normale corrisponde ad un livello di
fiducia di circa il 95%.
I casi in cui si può emettere una dichiarazione di questo genere sono illustrati nel par. 5
della EA-4/02, nella pratica dei laboratori di taratura questa è la situazione che si
verifica più frequentemente.
nei casi in cui non si può assumere una distribuzione di probabilità normale o la stima
non è sufficientemente affidabile
L'incertezza estesa indicata è espressa come l'incertezza tipo moltiplicata per un
opportuno fattore di copertura k = XX che, per una certa distribuzione t di Student con
gradi di libertà νeff = YY, corrisponde ad un livello di fiducia di circa il 95%.
Può essere utile, infine, ricordare che l’incertezza in un processo di taratura dipende da una
serie di componenti che possono essere raggruppate come segue: (l’elenco non è esaustivo e
dipende fortemente dalle grandezze coinvolte nel processo, si veda anche l’allegato C della
EA-4/02)
•
•
•
•
l’incertezza dovuta ai campioni ed agli strumenti usati come riferimento;
l’incertezza dovuta al metodo e alla procedura di taratura usati;
l’incertezza dovuta alle grandezze d’influenza;
l’incertezza inerente alla definizione del misurando, cioè della particolare grandezza del
sistema sottoposto a misurazione;
• l’incertezza legata al numero delle misurazioni eseguite;
• l’incertezza dipendente da fattori ambientali e legati alla preparazione metrologica degli
operatori.
A loro volta l’incertezza dovuta ai campioni ed agli strumenti di riferimento nella catena
metrologica sono stabiliti tenendo conto almeno dei seguenti contributi:
• l’incertezza con cui l’Istituto Metrologico Primario misura una data grandezza nel campo e
nelle condizioni di misura d’interesse;
• la componente d’incertezza introdotta dalla procedura di confronto tra il campione
primario ed il campione di prima linea del Laboratorio;
• il comportamento del campione di prima linea tra due successive tarature;
• le procedure ed gli strumenti usati nei successivi passaggi nella catena metrologica a
partire dai campioni di prima linea interessati.
APPENDICE
Si riporta, qui di seguito, la traduzione della guida EA-4/02, effettuata a cura del SIT.
Al lavoro di traduzione hanno collaborato parecchi colleghi, tra i quali è necessario citare
espressamente A. Cappa, per la parte generale e F. Galliana per gli esempi.
TRADUZIONE DEL DOCUMENTO EA-4/02 (ex EAL-R2) A
CURA DEL SIT – SERVIZIO DI TARATURA IN ITALIA
Espressione dell’incertezza
di misura nelle tarature
SCOPO
Scopo di questo documento è armonizzare la valutazione dell’incertezza di misura in ambito EA;
stabilire, in aggiunta ai requisiti generali di EAL-R1 (EA-4/01), i criteri da seguire nell’espressione
dell'incertezza di misura sui certificati di taratura emessi dai laboratori accreditati; aiutare i servizi di
accreditamento ad un'assegnazione coerente delle incertezze di accreditamento ai laboratori di
taratura da loro accreditati. Poiché le regole stabilite in questo documento sono conformi alle
raccomandazioni della Guida all'espressione dell’incertezza di misura, pubblicata da sette
organizzazioni internazionali di normazione e metrologia, l'attuazione della EA-4/02 favorirà la
totale conformità nell’accettazione dei risultati delle misure in Europa.
Nota
Questo documento è stato redatto dal gruppo di esperti del EAL per la revisione del doc. 19-1990
di WECC per conto del comitato 2 (taratura ed attività di prova) dell’EAL. Contiene una revisione
completa del doc. 19-1990 di WECC, che sostituisce.
Lingua ufficiale
Il testo, se necessario, potrà essere tradotto in altre lingue pur restando quella in lingua inglese la
versione di riferimento.
Diritti
I diritti di questo testo sono proprietà dell’ EA. Il testo non può essere copiato.
Ulteriori informazioni
Per ulteriori informazioni su questo documento, contattare i Membri Nazionali EA. L’elenco dei
membri dell’EA può essere trovato in www.european-accreditation.org.
Dicembre 1999
pag. 1 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
Indice
Capitolo
1
Introduzione
2
Sommario e definizioni
3
Valutazione dell’incertezza di misura delle stime d’ingresso
4
Calcolo dell’incertezza tipo della stima d’uscita
5
Incertezza Estesa
6
Dichiarazione dell’incertezza nei certificati di taratura
7
Riassunto della procedura di calcolo dell’incertezza di misura
8
Riferimenti
Pag.
Appendice A
Appendice B
Appendice C
Appendice D
Appendice E
Supplemento 1
Supplemento 2
Dicembre 1999
pag. 2 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione della incertezza di misura nelle tarature
1
1.1
Introduzione
Questo documento stabilisce i principi fondamentali e le modalità per la
valutazione dell’incertezza di misura nelle tarature e la dichiarazione di questa
incertezza nei certificati di taratura. L’argomento è qui trattato ad un livello
generale per adattarsi a tutti i settori di taratura. Per renderlo più facilmente
applicabile, il metodo qui schematizzato potrà essere integrato da raccomandazioni
specifiche per i diversi settori. Queste guide supplementari, saranno sviluppate
sulla base dei principi generali stabiliti in questo documento allo scopo di
assicurare l’armonizzazione tra i diversi settori.
1.2
Questo documento è in accordo con la Guide to the Expression of Uncertainty in
Measurement, pubblicata nel 1993 a cura di BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC,
IUPAP e OIML [rif. 1] e con la traduzione italiana UNI CEI ENV 13005 del luglio
2000. Ma, mentre tale guida stabilisce per la valutazione e l’espressione
dell’incertezza, regole generali che possono essere seguite nella maggior parte delle
misure fisiche, questo documento si concentra sul metodo più appropriato per le
misure nei laboratori di taratura e descrive un percorso preciso e omogeneo di
valutazione ed espressione dell’incertezza. Esso comprende i sequenti argomenti:
• definizioni di base;
• metodi di valutazione dell’incertezza delle stime d’ingresso;
• relazione tra l’incertezza della stima di uscita e le incertezze delle stime
d’ingreso;
• incertezza estesa della grandezza di uscita;
• dichiarazione dell’incertezza;
• riassunto della procedura per il calcolo dell’incertezza.
Nei supplementi, saranno elaborati esempi che mostrano l’applicazione del metodo
qui descritto a problemi specifici di misura in campi differenti. La valutazione
dell’incertezza di misura è anche citata in alcuni dei documenti EA che forniscono
indicazioni su metodi di taratura; alcuni di questi documenti sviluppano in dettaglio
esempi specifici.
1.3
In ambito EA l’incertezza di accreditamento (sempre riferita ad una particolare
grandezza, vale a dire al misurando) è definita come la più piccola incertezza di
misura che il laboratorio può raggiungere nelle misure accreditate, quando esegua
tarature più o meno correnti di campioni pressoché ideali, finalizzate a definire,
realizzare, conservare o riprodurre l’unità di quella grandezza o uno o più valori di
essa, o quando esegua tarature più o meno correnti di pressoché ideali strumenti per
la misurazione di quella grandezza. La valutazione dell’incertezza limite dei
laboratori di taratura accreditati deve essere basata sul metodo descritto in questo
documento, ma sarà normalmente avvalorata o confermata da riscontri
sperimentali. Nell’Appendice A sono fornite ulteriori indicazioni a supporto degli
organismi di accreditamento nella definizione dell’incertezza di accreditamento.
Dicembre 1999
pag. 3 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione della incertezza di misura nelle tarature
2
Sommario e definizioni
Nota: In questo documento, i termini di particolare rilevanza sono scritti in
grassetto quando appaiono per la prima volta. L’Appendice B contiene un
glossario di questi termini e i riferimenti da cui sono state tratte le
definizioni.
2.1
L’espressione del risultato di una misurazione è completa soltanto se contiene sia il
valore attribuito al misurando sia l’incertezza di misura associata a questo valore.
Nel presente documento tutte le grandezze non perfettamente note sono trattate
come variabili casuali, incluse le grandezza di influenza che possono influenzare il
valore misurato.
2.2
L’incertezza di misura è un parametro, associato al risultato della misurazione,
che caratterizza la dispersione del valore che può ragionevolmente essere attribuito
al misurando [rif. 2]. In questo documento il termine incertezza è usato
generalmente per incertezza di misura se questo non da adito ad interpretazioni
errate. Per le sorgenti tipiche di incertezza in una misurazione vedere la lista fornita
nell’Appendice C.
2.3
I misurandi sono le grandezze oggetto della misurazione. Nella taratura
normalmente si stabilisce una relazione tra un misurando o grandezza di uscita Y e
un certo numero di grandezze di ingresso Xi (i = 1, 2, …, N) secondo la relazione
Y = f(X1, X2, …, XN )
(2.1)
La funzione f rappresenta la procedura di misurazione ed il metodo di valutazione.
Essa permette di calcolare quali valori della grandezza di uscita Y corrispondenti ai
valori delle grandezze d’ingresso Xi. Nella maggior parte dei casi essa sarà
un’espressione analitica, ma può anche essere un gruppo di tali espressioni che
includono correzioni e coefficienti di correzione per effetti sistematici, e che
producano una relazione assai complessa che non può essere espressa come
funzione esplicita. Inoltre, f può essere determinata sperimentalmente, valutata
numericamente con un algoritmo di calcolo, oppure può essere una combinazione
dei casi suesposti.
2.4
L’insieme delle grandezze d’ingresso Xi può essere suddiviso in due categorie in
funzione del metodo con cui sono stati determinati il valore e l’incertezza associata:
(a) Grandezze la cui stima e l’incertezza associata sono determinate direttamente
con la misurazione in atto. I loro valori possono essere ottenuti, per esempio, da
un singola osservazione, da osservazioni ripetute, o da una valutazione basata
sull’esperienza. Esse possono comportare la determinazione di correzioni alle
letture strumentali così come correzioni per le grandezze d’influenza, quali la
temperatura ambiente, la pressione atmosferica o l’umidità;
(b) Grandezze la cui stima e incertezza associata sono introdotte nella misurazione
da una fonte esterna, come grandezze associate a campioni tarati, materiali di
riferimento certificati o dati di riferimento tratti da manuali.
Dicembre 1999
pag. 4 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione della incertezza di misura nelle tarature
2.5
Una stima del misurando Y, la stima d’uscita indicata con y, si ottiene
dall’equazione (2.1) usando le stime d’ingresso xi per i valori delle grandezze
d’ingresso Xi
y = f ( x1 , x 2 ,.., x N )
(2.2)
è sottinteso che i valori d’ingresso sono stime ottime, e corrette quindi per tutti gli
effetti significativi per il modello. Se così non è, si dovranno introdurre le
necessarie correzioni come grandezze d’ingresso separate.
2.6
3
Come misura della dispersione dei valori di una variabile casuale si usa la varianza
della sua distribuzione, o la radice quadrata positiva della varianza, chiamata scarto
tipo. L’incertezza tipo composta della stima d’uscita y, indicata con u(y), è lo
scarto tipo di detta stima. Esso si determina dalle stime xi delle grandezze
d’ingresso Xi e dalle loro incertezze tipo u(xi). L’incertezza tipo di una stima ha la
stessa dimensione della stima. In alcuni casi può essere utile l’incertezza tipo
relativa ovvero l’incertezza tipo di stima divisa per il modulo di quella stima.
L’incertezza relativa è quindi adimensionale. Questo concetto non può essere
applicato se la stima è uguale a zero.
Valutazione dell’incertezza delle stime d’ingresso
3.1 Considerazioni generali
3.1.1 Le incertezze delle stime d’ingresso sono ottenute con metodi classificabili in due
categoria, A e B. Il metodo di valutazione di categoria A dell’incertezza tipo è
basato sull’analisi statistica di una serie di osservazioni. In questo caso l’incertezza
tipo è lo scarto tipo sperimentale della media delle osservazioni ottenuta con la
media aritmetica o con un’appropriata analisi di regressione. La valutazione
dell’incertezza tipo di categoria B non si basa sull’analisi statistica di una serie di
osservazioni. In questo caso la valutazione dell’incertezza si basa su altre
conoscenze scientifiche.
Nota: Ci sono situazioni, che si incontrano raramente nelle tarature, in cui tutti i
possibili valori di una grandezza stanno dalla stessa parte di un singolo
valore limite. Un caso ben noto è il così detto errore del coseno. Per il
trattamento di questi casi speciali, vedere rif. 1.
3.2 Valutazione di categoria A dell’incertezza tipo
3.2.1 La valutazione di categoria A dell’incertezza tipo può essere applicata quando
siano state fatte diverse osservazioni indipendenti della grandezza d’ingresso nelle
stesse condizioni di misura. Se il processo di misurazione ha sufficiente risoluzione
si osserverà una dispersione dei valori ottenuti.
3.2.2
Si assuma che la grandezza d’ingresso Xi misurata ripetutamente sia la grandezza
Q. Con n (n > 1) osservazioni statisticamente indipendenti, la stima della grandezza
Q è q , la media aritmetica dei valori delle singole osservazioni qj (j = 1, 2, …, n)
Dicembre 1999
pag. 5 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione della incertezza di misura nelle tarature
1 n
q = ∑ qj
n j =1
(3.1)
L’incertezza di misura associata alla stima q si valuta con uno dei metodi seguenti:
(a) Una stima della varianza della distribuzione di probabilità della popolazione è
la varianza sperimentale s²(q) dei valori qj che è data da
s2 (q) =
1 n
∑ ( q − q )2
n − 1 j =1 j
(3.2)
La sua radice quadrata (positiva) è definita scarto tipo sperimentale. La
migliore stima della varianza della media aritmetica q è la varianza
sperimentale della media data da
s2 (q ) =
s2 (q)
n
(3.3)
La sua radice quadrata (positiva) è lo scarto tipo sperimentale della media.
L’incertezza tipo u(q ) associata alla grandezza d’ingresso q è lo scarto tipo
sperimentale della media.
u ( q ) = s( q )
(3.4)
Attenzione: Generalmente, quando il numero n di misurazioni è piccolo (n <
10), l’affidabilità di una valutazione dell’incertezza tipo di categoria A,
espressa secondo l’equazione (3.4), deve essere ponderata con attenzione. Se il
numero di osservazioni non può essere incrementato, bisogna considerare gli
altri modi di valutazione dell’incertezza tipo riportati nel testo.
(b) Nel caso di una misurazione ben caratterizzata e sotto controllo statistico, può
essere disponibile una stima cumulata della varianza sp2 che caratterizzi la
dispersione meglio di una stima dello scarto tipo ottenuta da un limitato
numero di osservazioni. Nei casi in cui il valore della grandezza d’ingresso Q è
determinato mediante la media aritmetica q di un piccolo numero n di
osservazioni indipendenti, la varianza della media può essere stimata con
s (q ) =
2
sp2
n
(3.5)
L’incertezza tipo si deduce da questo valore usando l’equazione (3.4)
3.3 Valutazione di categoria B dell’incertezza tipo
3.3.1 La valutazione di categoria B dell’incertezza tipo è quella valutazione di stima
d'ingresso xi ottenuta in modo diverso rispetto al trattamento statistico di una serie
Dicembre 1999
pag. 6 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione della incertezza di misura nelle tarature
di osservazioni. L’incertezza tipo u(xi) si valuta in base a un giudizio scientifico di
tutte le informazioni utili sulla possibile variabilità di Xi. Valori che rientrano
propriamente in questa categoria possono derivare da:
(c) Dati di misurazioni precedenti;
(d) Esperienza o conoscenza generale del comportamento e delle proprietà di
materiali o strumenti di interesse;
(e) specifiche tecniche del costruttore;
(f) dati forniti da certificati di taratura o di altro genere;
(g) incertezze assegnate a valori di riferimento presi da manuali.
3.3.2 Il corretto uso delle informazioni disponibili per la valutazione di categoria B
dell’incertezza tipo richiede intuizione basata sull’esperienza e sulla conoscenza
generale. Questa è una capacità che può essere acquisita con la pratica. Una ben
fondata valutazione di categoria B può essere attendibile quanto una di categoria A,
specialmente in una situazione sperimentale in cui la valutazione di categoria A sia
basata su un piccolo numero di osservazioni indipendenti. Si possono avere i
seguenti casi:
(a) Quando sia noto un solo valore della grandezza Xi, cioè una sola misura, il
risultato di una misura precedente, un valore di riferimento tratto dalla
letteratura, o il valore di una correzione, questo sarà usato come xi. Quando sia
nota, sarà associata a xi, l’incertezza tipo u(xi). Altrimenti essa sarà calcolata da
dati di incertezza non ambigui. Se dati di questo genere non sono disponibili,
l’incertezza sarà valutata sulla base dell’esperienza.
(b) Quando per la grandezza Xi, si possa assumere una distribuzione di
probabilità basata sulla teoria o sull’esperienza, la stima xi e l’incertezza u(xi)
saranno il valore atteso della distribuzione e la radice quadrata della sua
varianza rispettivamente.
(c) Se per il valore di una grandezza Xi si possono stimare soltanto un limite
superiore ed inferiore a+ ed a- (es. le specifiche tecniche di uno strumento, un
intervallo di temperatura, l’errore risultante da un arrotondamento o
troncamento provocato da una elaborazione automatica dei dati), si dovrà
assumere una densità di probabilità costante tra questi limiti (distribuzione
rettangolare o uniforme) per la possibile variabilità della grandezza d’ingresso
Xi. Conformemente al caso (b) questo significa:
xi =
1
(a + a − )
2 +
(3.6)
per la stima e
u 2 ( xi ) =
Dicembre 1999
1
(a + − a − ) 2
12
(3.7)
pag. 7 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione della incertezza di misura nelle tarature
per il quadrato dell’incertezza tipo. Se la differenza tra i valori limite è 2a,
l’equazione (3.7) diventa
u 2 ( xi ) =
1 2
a
3
(3.8)
La distribuzione rettangolare è una descrizione ragionevole in termini di probabilità
di una conoscenza inadeguata della grandezza d’ingresso Xi in assenza di altre
informazioni oltre i suoi limiti di variabilità. Ma se è noto che i valori della
grandezza in questione vicino al centro dell’intervallo di variabilità sono più
probabili dei valori compresi tra i limiti, una distribuzione triangolare o normale
può essere un modello migliore. D’altra parte se valori prossimi ai limiti sono più
probabili dei valori vicini al centro dell’intervallo, una distribuzione a U può essere
più appropriata.
4
4.1
Calcolo dell’incertezza tipo della stima d’uscita
Per grandezze d’ingresso non correlate il quadrato dell’incertezza tipo della stima
d’uscita y (o incertezza tipo composta) è dato da
N
u 2 ( y ) = ∑ ui2 ( y )
(4.1)
i =1
Nota: Ci sono casi, raramente presenti nelle tarature, in cui il modello della
misurazione è fortemente non lineare; in altri casi alcuni coefficienti di
sensibilità [vedi equazioni (4.2) e (4.3)] sono molti. In questi casi devono
essere inclusi nell’equazione (4.1) termini di ordine superionre. Per il
trattamento di questi casi speciali vedere rif. 1.
Il termine ui(y) (i = 1, 2, …, N) è il contributo all’incertezza tipo composta
risultante dall’incertezza tipo della stima d’ingresso xi,
ui(y) = ciu(xi)
(4.2)
dove ci è il coefficiente di sensibilità della stima d’ingresso xi, cioè la derivata
parziale della funzione f rispetto a Xi, viste per il valore xi,
ci =
4.2
∂f
∂f
=
∂ xi ∂ X i
(4.3)
X 1 = x1 .. X N = x N
Il coefficiente di sensibilità ci rende conto di quanto la stima d’uscita y è
influenzata dalle variazioni della stima d’ingresso xi. Esso può essere calcolato con
l’equazione (4.3) o usando metodi numerici, cioè calcolando la variazione della
stima d’uscita y dovuta ad una variazione della stima d’ingresso xi di +u(xi) e -u(xi)
e prendendo come valore di ci la risultante variazione di y divisa per 2u(xi).
Talvolta può essere vantaggioso ricercare la variazione della stima d’uscita y
attraverso un esperimento che preveda, per esempio, la ripetizione della misura ai
valori di xi ± u(xi).
Dicembre 1999
pag. 8 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione della incertezza di misura nelle tarature
4.3
Mentre u(xi) è sempre positivo, il contributo ui(y) per la (4.2) può essere positivo o
negativo, in funzione del segno del coeficiente di sensibilità ci. Del segno di ci si
deve tener conto nel caso di grandezze d’ingresso correlate, vedere equazione (D4)
dell’Appendice D.
4.4
Se la funzione f è una somma o una differenza di grandezze d’ingresso Xi
N
f ( X 1 , X 2 ,K, X N ) = ∑ p i X i
(4.4)
i =1
la stima d’uscita, secondo l’equazione (2.2), è data dalla somma o dalla differenza
delle stime d’ingresso
N
y = ∑ pi x i
(4.5)
i =1
in questo caso i coefficienti di sensibilità sono pari a pi e l’equazione (4.1) diventa
N
u 2 ( y ) = ∑ pi2 u 2 ( xi )
(4.6)
i =1
4.5
Se la funzione modello è un prodotto o un quoziente delle grandezze d’ingresso Xi
N
f ( X1 , X 2 ,K, X N ) = c∏ X ipi
(4.7)
i=1
la stima d’uscita è il corrispondente prodotto o quoziente delle stime d’ingresso
N
y = c∏ xipi
(4.8)
i=1
In questo caso i coefficienti di sensibilità valgono piy/xi e si ottiene una espressione
analoga alla (4.6) dall’equazione (4.1), se si usano le incertezze relative w(y) =
u(y)/y e w(xi) = u(xi)/xi
N
w 2 ( y ) = ∑ pi2 w 2 ( xi )
(4.9)
i =1
4.6
Se due grandezze d’ingresso sono in qualche misura correlate, cioè se sono
mutuamente dipendenti, occorre considerare la loro covarianza tra i contributi
all’incertezza. Vedere nell’Appendice D come ciò si debba fare. La capacità di
tener conto dell’effetto delle correlazioni dipende dalla conoscenza del processo di
misura e dalla valutazione della mutua dipendenza delle grandezze d’ingresso. In
generale si deve considerare che trascurando la correlazione tra le grandezze
Dicembre 1999
pag. 9 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione della incertezza di misura nelle tarature
d’ingresso si può incorrere in una valutazione sbagliata dell’incertezza tipo del
misurando.
4.7
La covarianza associata alla stima di due grandezze d’ingresso Xi e Xk può essere
considerata trascurabile se
(a) Le grandezze d’ingresso Xi e Xk sono indipendenti, per esempio, perché sono
state osservate in differenti esperimenti ripetutamente ma non simultaneamente
o perché esse rappresentano grandezze risultanti da valutazioni fatte in modo
indipendente, o se
(b) una delle grandezze d’ingresso Xi e Xk può essere considerata costante, o se
(c) l’indagine non fornisce indicazioni sulla presenza di correlazione tra le
grandezze d’ingresso Xi e Xk
Talvolta le correlazioni possono essere eliminate con un’appropriata scelta della
relazione funzionale.
4.8
L’analisi dell’incertezza – talvolta chiamata bilancio dell’incertezza – dovrebbe
includere una lista di tutte le fonti di incertezza insieme con le incertezze tipo e i
metodi di valutazione delle stesse. Per misure ripetute si dovrà specificare anche il
numero n di osservazioni. Per ragioni di chiarezza si raccomanda di presentare i
dati significativi di questa analisi sotto forma di tabella. In questa tabella si
dovrebbe fare riferimento a tutte le grandezze Xi con un simbolo fisico o con un
breve identificativo. Per ciascuna di queste dovrebbero essere specificate come
minimo, almeno la stima xi, l’incertezza tipo u(xi), il coefficiente di sensibilità ci e
il contributo all’incertezza ui(y). Di ognuna delle grandezze si dovrebbe anche
indicare l’unità di misura con i valori numerici assegnati.
4.9
Un esempio applicabile nel caso di grandezze d’ingresso non correlate è riportato
nella Tabella 4.1. L’incertezza tipo composta u(y), che compare nell’ultima casella
in fondo a destra è la radice della somma dei quadrati di tutti i contributi
all’incertezza che compaiono nell’ultima colonna. La parte in grigio della tabella
non va compilata.
Dicembre 1999
pag. 10 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione della incertezza di misura nelle tarature
Tabella 4.1 : Schema di tabulazione delle grandezze, stime, incertezze
tipo, coefficienti di sensibilità e contributi di incertezza usati nel
bilancio dell’incertezza di una misura.
Grandezza
5
5.1
Stima
Incertezza
Coefficiente
Xi
xi
tipo
u(xi)
di sensibilità
ci
Contributi alla
incertezza tipo
ui(y)
X1
x1
u(x1)
c1
u1(y)
X2
x2
u(x2)
c2
u2(y)
:
:
:
:
:
XN
xN
u(xN)
cN
uN(y)
Y
y
u(y)
Incertezza estesa di misura
In ambito EA si è stabilito che i laboratori accreditati da membri dell’EA
esprimano l’incertezza estesa di misura U, ottenuta moltiplicando l’incertezza
tipo u(y) di una stima d’uscita y per un fattore di copertura k,
U = k u(y)
(5.1)
Nei casi in cui al misurando si possa attribuire una distribuzione normale
(gaussiana) e l’incertezza tipo associata alla grandezza d’uscita abbia sufficiente
affidabilità, si potrà usare un fattore di copertura k = 2. L’incertezza estesa così
ottenuta corrisponde approssimativamente ad una livello di fiducia del 95%.
Queste condizioni sono soddisfatte nella maggior parte dei casi incontrati nel
lavoro di taratura.
5.2
L’ipotesi di una distribuzione normale non può sempre essere facilmente
confermata sperimentalmente. Tuttavia nei casi in cui, all’incertezza tipo composta
contribuiscono parecchie (cioè N ≥ 3) componenti dell’incertezza, originate da ben
note distribuzioni di probabilità di grandezze indipendenti, p.e. distribuzioni
normali o distribuzioni rettangolari, con cintributi dello stesso ordine di grandezza,
le condizioni del Teorema del Limite Centrale sono soddisfatte e si può assumere
con un buon grado di approssimazione che la distribuzione della grandezza d’uscita
sia normale.
5.3
L’affidabilità dell’incertezza tipo composta è determinata dai suoi gradi di libertà
effettivi (veder l’Appendice E). L’affidabilità è comunque sufficiente se nessuno
dei contributi all’incertezza è ottenuto con una valutazione di categoria A basata su
un numero di osservazioni inferiore a dieci.
5.4
Se una di queste condizioni (distribuzione normale o sufficiente affidabilità) non è
soddifatta, il fattore di copertura normale k = 2 può produrre una incertezza estesa
corrispondente ad un livello di fiducia sensibilmente diversa dal al 95%. In questi
casi, per assicurare che l’incertezza estesa sia stimata con il livello di fiducia
Dicembre 1999
pag. 11 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione della incertezza di misura nelle tarature
appropriato, bisogna seguire altre procedure. L’uso dello stesso livello di fiducia è
essenziale quando si devono confrontare i risultati di due misurazioni di una stessa
grandezza, per esempio quando si debbano valutare la compatibilità dei risultati di
un confronto tra laboratori o la compatibilità con una specifica.
5.5
Anche se si può assumere una distribuzione normale, può succedere che
l’incertezza associata alla stima di uscita non sia sufficientemente affidabilebile. Se,
in questo caso, non si ha la possibilità di incrementare il numero n delle
osservazioni ripetute o di usare una valutazione di categoria B invece di una
valutazione di categoria A di scarsa affidabilità, si applica il metodo descritto
nell’Appendice E.
5-6
Per i restanti casi, cioè tutti i casi in cui l’assunzione di una distribuzione normale
non può essere giustificata, per ottenere un valore del fattore di copertura k che
corrisponda ad un livello di fiducia di circa il 95%, si devono utilizzare le
informazioni sulla distribuzione di probabilità corrente della stima d’uscita.
6
6.1
Espressione dell’incertezza di misura nei certificati di taratura.
Nei certificati di taratura il risultato di una misurazione deve essere composto dalla
stima del misurando y e dall’incertezza estesa U e deve essere espressa nella forma
(y ± U). A ciò si aggiunga una nota esplicativa che nel caso generale può avere la
seguente formulazione:
L’incertezza estesa indicata è espressa come l’incertezza tipo moltiplicata per il
fattore di copertura k = 2, che per una distribuzione normale corrisponde ad un livello
di fiducia del 95% circa. L’incertezza tipo è stata determinata conformemente al
documento EA-4/02.
6.2
Tuttavia, nei casi in cui si sia seguita la procedura dell’Appendice E, la nota
addizionale deve essere la seguente:
L’incertezza estesa indicata è espressa come l’incertezza tipo moltiplicata per il
fattore di copertura k = XX, che per una distribuzione con gradi di libertà effettivi νeff =
YY corrisponde ad un livello di fiducia di circa il 95%. L’incertezza tipo è stata
determinata conformemente al documento EA-4/02.
6.3
Il valore numerico dell’incertezza deve essere espreso al massimo con due cifre
significative. Normalmente, nella sua espressione finale, il valore numerico del
risultato della misurazione deve essere arrotondato all’ultima cifra significativa del
valore dell’incertezza estesa. Per il processo di arrotandamento, si devono applicare
le normali regole in uso per l’arrotondamento di numeri (per maggiori dettagli
sull’arrotondamento vedere ISO 31-0:1992, Annex B). Tuttavia, se
l’arrotondamento riduce il valore numerico dell’incertezza di più del 5% bisogna
usare il valore arrotondato per eccesso.
7
7.1
Riassunto della procedura di calcolo dell’incertezza di misura
La seguente è una guida all’applicazione pratica di questo documento (confrontare
con gli esempi dell’Appendice F e dei documenti supplementari)
(a) esprimere matematicamente la dipendenza del misurando (grandezza d’uscita)
Y dalle grandezze d’ingresso Xi in accordo con l’equazione (2.1). nel caso di un
Dicembre 1999
pag. 12 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione della incertezza di misura nelle tarature
confronto diretto tra due campioni l’equazione può essere molto semplice, p.e.
Y = X1+X2.
(b) Identificare e applicare tutte le correzioni significative.
(c) Elencare in forma analitica tutte le sorgenti di incertezza sotto forma di
un’analisi dell’incertezza secondo quanto previsto dalla sezione 4.
(d) Calcolare l’incertezza tipo u(q ) per le grandezze misurate ripetutamente in
accordo con il sottoparagrafo 3.2.
(e) Per i valori singoli, p.e. quesi valori provenienti da misurazioni precedenti,
correzioni o valori tratti dalla letteratura, adottare lo scarto tipo quando sia noto
o calcolarlo secondo quanto previsto in 3.3.2 (a). Prestare attenzione alla
rappresentazione usata per l’incertezza. Se non si dispone di dati attendibili
per il calcolo dell’incertezza tipo, stabilire un valore di u(xi) sulla base
dell’esperienza scientifica.
(f) Per le grendezze d’ingresso con distribuzione di probabilità nota, calcolare il
valore atteso xi e l’incertezza tipo u(xi) in accordo con il paragrafo 3.3.2 (b). Se
sono dati o possono essere stimati soltanto i limiti superiore e inferiore,
calcolare l’incertezza tipo u(xi) secondo quanto previsto dal paragrafo 3.3.2 (c).
(g) Calcolare per ogni grandezza d’ingresso Xi il contributo ui(y) all’incertezza
tipo composta xi secondo le equazioni (4.2) e (4.3) e sommare i loro quadrati
come previsto dall’equazione (4.1) ottenendo il quadrato dell’incertezza tipo
u(y) del misurando. Se le grandezze d’ingresso sono correlate, applicare la
procedura descritta nell’Appendice D.
(h) Calcolare l’incertezza estesa U moltiplicando l’incertezza tipo u(y) associata
alla stima d’uscita per il fattore di copertura k scelto in conformità al paragrafo
5.
(i) Riportare il risultato della misurazione comprendente la stima del misurando y,
l’incertezza estesa associata U ed il fattore di copertura k come indicato nel
paragrafo 6.
8
[1]
Riferimenti
Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, prima edizione, 1993,
corretta e ristampata 1995, International Organization for Standardization (Ginevra,
Svizzera).
[2]
International Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology, seconda
edizione, 1993, International Organization for Standardization (Ginevra, Svizzera).
[3]
International Standard ISO 3534-1, Statistics - Vocabulary and symbols - Part I:
Probability and General Statistical Terms, prima edizione, 1993, International
Organization for Standardization (Ginevra, Svizzera).
Dicembre 1999
pag. 13 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
Appendice A
Commenti sull’attribuzione dell’incertezza di accreditamento
A1
L’incertezza di accreditamento (vedere Paragrafo 1 del testo principale) è uno dei
parametri usati per definire le potenzialità di un laboratorio accreditato, unitamente
alla grandezza fisica, al metotdo di taratura o al tipo di strumento in taratura e al
campo di misura. L’incertezza di accreditamento è normalmente dichiarata nella
tabella di accreditamento o in altri documenti alla base della decisione di
accreditamento o del certificato di accreditamento che in molti casi è rilasciato
come riconoscimento formale dell’accreditamento. Occasionalmente essa viene
dichiarata sia nella tabella di accreditamento, sia nei documenti di supporto.
L’incertezza di accreditamento è una delle informazioni essenziali da ricercare
negli elenchi dei laboratori accreditati che sono regolarmente pubblicati dai servizi
di accreditamento ed è usata dal potenziale cliente di laboratori accreditati per
giudicare l’idoneità di un laboratorio nell’eseguire un particolare lavoro di taratura
presso il laboratorio o all’esterno.
A2
Perché sia possibile il confronto tra diversi laboratori di taratura, in particolare tra
laboratori accreditati da diversi servizi di accreditamento, e necessario che la
dichiarazione dell’incertezza di accreditamento sia armonizzata. Per facilitare ciò,
sono fornite più avanti alcune spiegazioni basate sulla definizione riportata nel testo
principale del termine incertezza di accreditamento.
A3
Con tarature correnti si intende che il laboratorio sarà in grado di raggiungere la
potenzialità dichiarata nel normale lavoro svolto nell’ambito dell’accreditamento.
Ovviamente ci sono situazioni in cui il laboratorio potrebbe essere in grado di fare
meglio, come risultato di ulteriori indagini e di precauzioni supplementari, ma
questi casi non sono compresi dalla definizione di incertezza di accreditamento, a
meno che sia prassi dichiarata del laboratorio compiere ricerche scientifiche (nel
qual caso queste diventano tarature consuete del laboratorio).
A4
L’espressione “in condizioni pressochè ideali” nella definizione significa che
l’incertezza di accreditamento non dovrebbe dipendere dalle caratteristiche del
dispositivo in taratura. Inerente nel concetto di essere vicino alle condizioni ideali è
che non dovrebbero esserci contributi significativi all’incertezza di misura
attribuibili ad effetti fisici che possano essere ascritti ad imperfezioni del
dispositivo in taratura. Tuttavia, si dovrebbe capire che un dispositivo simile
dovrebbe essere disponibile. Se si stabilisce che, in un caso particolare, il più
“ideale” dispositivo disponibile contribuisce all’incertezza di misura, questo
contributo sarà incluso nella determinazione dell’incertezza di accreditamento e
sarà dichiarato che l’incertezza di accreditamento si riferisce a quel tipo di
dispositivo.
A5
La definizione dell’incertezza di accreditamento implica che nell’ambito del
proprio accreditamento un laboratorio non possa dichiarare un’incertezza
inferiore all’incertezza di accreditamento. Questo significa che il laboratorio può
essere costretto a dichiarare un’incertezza maggiore dell’incertezza di
accreditamento quando il processo di taratura corrente comporti un aumento
dell’incertezza di misura. Tipicamente l’apparecchiatura in taratura può dare un
contributo. Ovviamente l’incertezza di misura corrente non può mai essere
Dicembre 1999
pag. 14 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
inferiore all’incertezza di accreditamento. Quando dichiara l’incertezza corrente il
laboratorio dovrà applicare i principi di questo documento.
A6
Occorre puntualizzare che in accordo con la definizione di incertezza di
accreditamento il concetto è applicabile soltanto ai risultati per cui il laboratorio si
avvale dell’accreditamento. Perciò, a rigore il termine è di carattere amministrativo
e non necessariamente riflette l’effettiva capacità tecnica del laboratorio. Potrebbe
accadere che un laboratorio richieda l’accreditamento con un’incertezza di misura
maggiore della propria capacità tecnica se il laboratorio ha ragioni interne per farlo.
Tali ragioni interne, normalmente, comportano casi in cui la reale capacità del
laboratorio debba essere considerata riservata verso clienti esterni, p.e. nel caso di
lavori di ricerca e svilupo o quando si forniscano servizi a clienti speciali. La
politica del servizio di accreditamento dovrebbe accordare l’accreditamento ad ogni
livello applicativo se il il laboratorio è in grado di eseguire tarature a quel livello.
(questa considerazione non si riferisce soltanto all’incertezza di accreditamento ma
a tutti i parametri che definiscono lo scopo di un laboratorio di taratura).
A7
L’attribuzione dell’incertezza di accreditamento è compito del servizio di
accreditamento. La stima dell’incertezza di misura che definisce l’incertezza di
accreditamento dovrà seguire la procedura illustrata in questo documento, con
l’eccezione del caso compreso nel precedente sottoparagrafo. L’incertezza di
accreditamento sarà espressa allo stesso livello richiesto per i certificati di taratura,
cioè nella forma di incertezza estesa di misura, normalmente con fattore di
copertura k = 2. (Soltanto in quei casi eccezionali in cui non si può assumere
l’esistenza di una distribuzione normale oppure la valutazione è basata su un
numero limitato di dati, l’incertezza limite deve essere espressa ad un livello di
fiducia del 95%. Vedere il paragrafo 5 del testo principale.)
A8
Quando si calcola l’incertezza di accreditamento si dovranno considerare tutte le
componenti che contribuiscono in maniera significativa all’incertezza di misura. La
valutazione dei contributi variabili con il tempo o con qualsiasi altra grandezza
fisica può essere basata sui limiti di variazione possibili nelle normali condizioni di
lavoro. Per esempio, se si usa un campione di lavoro di cui sia nota una deriva,
nella stima del contributo all’incertezza del campione di lavoro, si dovrà tener
conto del contributo causato dalla deriva del campione tra tarature successive.
A9
In alcuni campi l’incertezza di misura può dipendere da alcuni parametri aggiuntivi,
p.e. la frequanza della tensione applicata nella taratura di resistenze compione.
Questi parametri aggiuntivi devono essere specificati insieme alla grandezza fisica
in questione e si deve indicare l’incertezza di accreditamento per i parametri
aggiuntivi. Spesso questo si realizza esprimendo l’incertezza di accreditamento
come una funzione di questi parametri.
A10
L’incertezza di accreditamento deve normalmente essere espressa numericamente.
Quando l’incertezza di accreditamento è funzione di una grandezza a cui si riferisce
(o di un altro parametro qualsiasi) deve essere espressa in forma analitica, ma in
questo caso può essere utile accompagnare l’espressione con un diagramma
illustrativo. Deve sempre essere inequivocabilmente chiaro se l’incertezza di
accreditamento è espressa in termini assoluti o relativi. (Normalmente la presenza o
Dicembre 1999
pag. 15 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
meno del’unità di misura fornisce la spiegazione necessaria, ma nel caso di
grandezze adimensionali deve essere specificata.)
A11
Benchè la valutazione sia basata sulle procedure di questo documento, nel testo
principale si richiede che normalmente la valutazione sia “supportata o confermata
da evidenza sperimentale”. Il significato di questo requisito consiste nel fatto che il
servizio di accreditamento non si limita soltanto alla valutazione dell’incertezza di
accreditamento, ma promuove, direttamente o sotto la sua supervisione, confronti
tra laboratori, che permettano di avvalorare tale valutazione.
Dicembre 1999
pag. 16 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
Appendice B
Glossario dei termini principali
B1
media aritmetica ([rif.3] termine 2.26) La somma dei valori divisa per il numero
dei valori
B2
incertezza di accreditamento (Paragrafo 1). L’incertezza di misura più piccola che
un laboratorio può raggiungere nell’esecuzione delle misure accreditate, quando
esegua più o meno mcorrenti tarature di campioni pressochè ideali finalizzate a
definire, realizzare, conservare o riprodurre una unità di quella grandezza o uno o
più valori di essa, o quando esegua più o meno correnti tarature di strumenti quasi
ideali per la misura di quella grandezza.
B3
correlazione ([rif. 3] termine 1.13). La relazione tra due o più variabili casuali in
una distribuzione di due o più variabili casuali.
B4
coefficiente di correlazione (da [ref. 1] Paragrafo C.3.6). L’espressione
quantitativa della mutua interdipendenza di due variabili casuali, uguale al rapporto
tra la loro covarianza e la radice quadrata positiva delle loro varianze.
B5
covarianza (da [ref. 1] Paragrafo C.3.4). L’espressione quantitativa della mutua
dipendenza di due variabili casuali, uguale al valore atteso del prodotto delle
deviazioni di due variabili casuali dai loro rispettivi valori attesi
B6
fattore di copertura ([ref. 1] termine 2.3.6)
Un fattore numerico usato come moltiplicatore dell’incertezza tipo di misura per
ottenere una incertezza estesa di misura.
B7
probabilità di copertura o livello di fiducia(da [ref. 1] termine 2.3.5, NOTA 1)
La frazione, normalmente grande, della distribuzione dei valori che come risultato
di una misurazione possa ragionevolmente essere attribuito al misurando.
B8
scarto tipo sperimentale ([ref. 2] termine 3.8)
La radice quadrata positiva della varianza sperimentale.
B9
incertezza estesa ([ref. 1] termine 2.3.5)
Una grandezza che definisce un intervallo intorno al risultato di una misurazione
che ci si può attendere comprenda una grande frazione dei valori che possano
ragionevolmente essere attribuiti al misurando.
B10
varianza sperimentale (da [ref. 1] Paragrafo 4.2.2)
La grandezza che caratterizza la dispersione dei risultati di una serie di n
osservazioni dello stesso misurando data dall’equazione (3.2).
B11
stima d’ingresso (da [ref. 1] Paragrafo 4.1.4)
La stima di una grandezza d’ingresso usata nella valutazione del risultato di una
misurazione.
Dicembre 1999
pag. 17 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
B12
grandezza d’ingresso (da [ref. 1] Paragrafo 4.1.2)
Una grandezza da cui dipende il misurando, che venga considerata nel processo di
valutazione del risultato di una misurazione.
B13
misurando ([ref. 2] termine 2.6)
La particolare grandezza oggetto della misurazione.
B14
stima d’uscita (da [ref. 1] Paragrafo 4.1.4)
Il risultato di una misurazione calcolato dalle stime d’ingresso per mezzo di una
funzionale che descrive il modello.
B15
grandezza d’uscita (da [ref. 1] Paragrafo 4.1.2)
La grandezza che rappresenta il misurando nella valutazione di una misurazione.
B16
stima della varianza cumulata (da [ref. 1] Paragrafo 4.2.4)
Una stima della varianza sperimentale ottenuta da una numerosa serie di
osservazioni dello stesso misurando in misurazioni ben caratterizzate sotto
controllo statistico.
B17 distribuzione di probabilità ([ref. 3] termine 1.3)
Una funzione che dà la probabilità che una variabile casuale assuma ogni valore
dato o appartenga ad una definita serie di valori.
B18
variabile casuale ([ref. 3] termine 1.2)
Una variabile che può assumere un qualsiasi valore compreso in un insieme
specificato di valori, a cui è associata una probabilità di distribuzione..
B19
incertezza tipo relativa di misura (da [ref. 1] Paragrafo 5.1.6)
L’incertezza tipo di una grandezza divisa per la stima di quella grandezza.
B20
coefficiente di sensibilità associato ad una stima d’ingresso (da [ref. 1]
Paragrafo 5.1.3)
La variazione della derivata parziale della grandezza d’uscita provocata dalla
variazione della derivata parziale di una stima d’ingresso, divisa per la variazione
di quella stime d’ingresso.
B21
scarto tipo (da [ref. 3] termine 1.23)
La radice quadrata positiva della varianza di una variabile casuale.
B22
incertezza tipo di misura ([ref. 1] termine 2.3.1)
L’incertezza tipo di misura espressa come scarto tipo
B23
metodo di valutazione di Categoria A ([ref. 1] termine 2.3.2)
Il metodo di valutazione dell’incertezza di misura basato sull’analisi statistica di
una serie di osservazioni.
B24
metodo di valutazione di Categoria B ([ref. 1] termine 2.3.3)
Il metodo di valutazione dell’incertezza di misura utilizzando metodi diversi
dall’analisi statistica di una serie di osservazioni.
Dicembre 1999
pag. 18 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
B25
incertezza di misura ([ref. 2] termine 3.9)
Un parametro, associato al risultato di una misurazione, che caratterizza la
dispersione dei valori che possano ragionevolmente essere attribuiti al misurando
B26
varianza (da [ref. 3] termine 1.22)
Il valore atteso del quadrato della deviazione di una variabile casuale attorno al suo
valore atteso.
Dicembre 1999
pag. 19 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
Appendice C
Sorgenti di incertezza di misura
C1
L’incertezza del risultato di una misurazione indica la mancanza di una completa
conoscenza del valore di un misurando. Una conoscenza completa richiede una
infinita somma di informazioni. I fenomeni che contribuiscono all’incertezza e
fanno sì che il risultato di una misurazione non possa essere caratterizzato da un
solo valore, sono chiamati sorgenti di incertezza. In pratica ci sono molte possibili
sorgenti di incertezza in una misurazione [ref. 1], comprendenti:
(a) incompleta definizione del misurando;
(b) realizzazione imperfetta della definizione del misurando;
(c)
campionamento non rappresentativo — l’elemento del campionamento
misurato può non rappresentare il misurando definito;
(d)
conoscenza inadeguata degli effetti delle condizioni ambientali o una loro
misurazione imperfetta;
(e) inclinazioni personali nella lettura di strumenti analogici;
(f) risoluzione o soglia di discriminazione finita;
(g) valori inesatti dei campioni di misura e dei materiali di riferimento;
C2
(h)
valori inesatti di costanti e di altri parametri ottenuti da fonti esterne e usati
negli algoritmi di calcolo;
(i)
approssimazioni e ipotesi contenute nel metodo e nella procedura di
misurazione;
(j)
variazioni tra osservazioni
apparentemente identiche.
ripetute
del
misurando
in
condizioni
Queste sorgenti non sono necessariamente indipendenti. Ognuna delle sorgenti da
(a) a (i) può contribuire a (j).
Dicembre 1999
pag. 20 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
Appendice D
Grandezze d’ingresso correlate
D1
Se si sa che due grandezze d’ingresso Xi e Xk sono correlate — cioè sono in qualche
modo dipendenti l’una dall’altra — si deve considerare come un contributo
aggiuntivo all’incertezza la covarianza associata alle due stime xi e xk
u ( x i , x k ) = u( xi ) u( x k ) r ( x i , x k )
(i ≠ k )
(D.1)
Il grado di correlazione è caratterizzato dal coefficiente di correlazione r(xi, xk)
(dove i ≠ k e r ≤1).
D2
nel caso di n coppie indipendenti di osservazioni ripetute simultaneamente di due
grendezze P e Q la covarianza associata alle medie aritmetiche p e q è data da
n
1
s( p, q ) =
∑ ( p − p )(q j − q )
n( n − 1) j =1 j
(D.2)
e per sostituzione r può essere calcolata dall’equazione (D.1).
D3
Per le grandezze d’influenza il grado di correlazione deve essere basato
sull’esperienza. Quando ci sia correlazione, l’equazione (4.1) deve essere sostituita
da
N
N −1
i =1
i =1 k = i +1
u 2 ( y ) = ∑ c i2 u 2 ( x i ) + 2∑
N
∑ c c u( x , x
i
k
i
k
(D.3)
)
dove ci e ck sono i coefficienti di sensibilità definiti dall’equazione (4.3) o
N
N −1
u 2 ( y ) = ∑ ui2 ( y ) + 2 ∑
i =1
N
∑ u ( y)u
i =1 k =i +1
i
k
( y ) r ( xi , x k )
(D.4)
in cui i contributi ui(y) si ottengono dall’incertezza tipo delle stime d’ingresso xi
secondo l’equazione (4.2). Si noti che il secondo termine delle (D.3) e (D.4) può
essere negativo.
D4
In pratica, le grandezze d’ingresso sono spesso correlate perché lo stesso campione
fisico, strumento di misura, dato di riferimento o lo stesso metodo di misura avente
un’incertezza significativa è usato nella valutazione dei loro valori. Generalmente,
supposto che due grandezze d’ingresso X1 e X2 stimate da x1 e x2 dipendano da una
serie di variabili indipendenti Ql (l = 1,2,…,L), sarà:
X 1 = g1 ( Q1 , Q2 ,.., QL )
X 2 = g 2 ( Q1 , Q2 ,.., QL )
(D.5)
sebbene alcune di queste variabili non appaiano necessariamente in tutte le
funzioni. Le stime x1 e x2 delle grandezze d’ingresso saranno correlate in qualche
modo, anche se le stime ql (l = 1,2,…,L) non sono correlate. In questo caso, la
covarianza u(x1,x2) associata alle stime x1 e x2 è data da
Dicembre 1999
pag. 21 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
L
u( x1 , x 2 ) = ∑ c1l c2 l u 2 ( ql )
(D.6)
l =1
dove c1l e c2 l sono i coefficienti di sensibilità derivati dalle funzioni g1 e g2 in
analogia all’equazione (4.3). Poiché contribuiscono alla somma soltanto quei
termini per cui il coefficiente di sensibilità non si annulla, la covarianza è zero se
non ci sono variabili comuni alle funzioni g1 e g2. Il coefficiente di correlazione
r(x1,x2) associato alle stime x1 e x2 si determina con le equazioni (D.6) e (D.1).
D5
L’esempio seguente dimostra le correlazioni esistenti tra i valori attribuiti a due
campioni materiali che siano stati tarati rispetto ad uno stesso campione di
riferimento.
Problemi di Misura
I due campioni X1 e X2 vengono confrontati con il campione di riferimento QS per
mezzo di un sistema di misura in grado di determinare una differenza z del loro
valore con un’incertezza tipo u(z). Il valore qS del campione di riferimento è noto
con incertezza tipo u(qS).
Modello Matematico
Le stime x1 e x2 dipendono dal valore qS del campione di riferimento e dalle
differenze osservate z1 e z2 secondo le equazioni
x1 = qS − z1
x2 = qS − z2
(D.7)
Incertezza tipo e covarianza
Le stime z1, z2 e qS si suppongono non correlate perché determinate in misurazioni
diverse. Le incertezze tipo sono calcolate con l’equazione (4.4) e la covarianza
associata alle stime x1 e x2 è calcolata dall’equazione (D.6), assumendo che u(z1) =
u(z2) = u(z),
u2 ( x1 ) = u2 ( qS ) + u2 ( z )
u2 ( x2 ) = u2 ( qS ) + u2 ( z )
(D.8)
u( x1 , x2 ) = u2 ( qS )
Il coefficiente di correlazione che se ne ricava è
u2 ( qS )
r ( x1 , x2 ) = 2
u ( qS ) + u2 ( z )
(D.9)
Il suo valore è compreso tra 0 e +1 in funzione del rapporto tra le incertezze tipo
u(qS) e u(z).
D6
Il caso descritto dall’equazione (D.5) è un caso in cui si può evitare l’introduzione
della correlazione nella valutazione dell’incertezza tipo del misurando con una
Dicembre 1999
pag. 22 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
scelta appropriata della funzione di modello. Introducendo direttamente le variabili
indipendenti Ql in sostituzione delle variabili originali X1 e X2 nella relazione
funzionale f secondo le equazioni (D.5) si ottiene una nuova relazione funzionale
che non contiene le variabili correlate X1 e X2 indesiderate.
D7
Ci sono casi tuttavia, in cui la correlazione tra due grandezze d’ingresso X1 e X2
non può essere evitata, p.es. quando si usi lo stesso strumento di misura o lo stesso
campione di riferimento per la determinazione delle stime d’ingresso x1 e x2 ma non
sono disponibili equazioni di trasformazione per definire nuove variabili
indipendenti. Inoltre, se non è esattamente noto il grado di correlazione, può essere
utile assegnare la massima influenza che questa correlazione può avere con una
stima al limite superiore dell’incertezza tipo del misurando, così che, nel caso che
altre correlazioni non siano state considerate prendono la forma
(
u 2 ( y ) ≤ u1 ( y ) + u2 ( y )
)
2
+ ur2 ( y )
(D.10)
essendo ur(y) il contributo all’incertezza tipo di tutte le rimanenti grandezze
d’ingresso assunte come non correlate
Nota: L’equazione (D.10) si può estendere facilmente a casi di uno o più gruppi
con due o più grandezze d’ingresso correlate. In questo caso, per ogni
gruppo di grandezze correlate, bisogna introdurre nell’equazione (D.10) la
somma più pessimistica.
Dicembre 1999
pag. 23 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
Appendice E
Fattore di copertura calcolato con i gradi di libertà effettivi.
E1
Per stimare il valore di un fattore di copertura k corrispondente ad un livello di
fiducia data si richiede che sia presa in considerazione l’affidabilità dell’incertezza
tipo u(y) di una stima d’uscita y . Questo significa valutare quanto bene u(y) stimi
lo scarto tipo associato al risultato della misurazione. Per una stima dello scarto
tipo di una distribuzione normale, una espressione quantitativa dell’affidabilità
sono i gradi di libertà di questa stima, che dipendono dalla dimensione del
campione su cui essa è basata. Allo stesso modo, un’adeguata misura
dell’affidabilità dell’incertezza tipo composta di una stima d’uscita è rappresentata
dai gradi di libertà effettivi νeff , che sono approssimati da una opportuna
combinazione dei gradi di libertà dei diversi contributi ui(y) all’incertezza.
E2
La procedura di calcolo di un fattore di copertura k quando si rientri nelle
condizioni del Teorema del Limite Centrale si sviluppa nei tre punti seguenti:
(a)
Calcolare l’incertezza tipo composta della stima d’uscita secondo quanto
previsto dalla procedura della Sezione 7.
(b)
Stimare i gradi di libertà effettivi νeff dell’incertezza tipo u(y) della stima
d’uscita y con la formula di Welch-Satterthwaite
ν eff
u4 ( y )
= N 4
,
ui ( y )
∑
i=1
(E.1)
νi
dove le ui(y) (i=1,2,…,N), definite nell’equazione (4.2), sono i contributi
all’incertezza tipo composta risultanti dalle incertezze d’ingresso assunte
come statisticamente indipendenti, e νi è il numero di gradi di libertà
effettivi del contributo ui(y) all’incertezza tipo.
Per una incertezza tipo u(q) ottenuta da una valutazione di categoria A come
si è visto nel suttoparagrafo 3.1, il numero dei gradi di libertà è dato da
νi = n-1. Più problematico è associare un numero di gradi di libertà ad
un’incertezza tipo u(xi) ottenuta da una valutazione di categoria B. Tuttavia,
è pratica comune eseguire questa valutazione in modo da evitare ogni
possibilità di sottostima. Se, per esempio, sono dati i limiti inferiore e
superiore a– e a+ , questi sono di solito noti sufficientemente bene da poter
presumere che la probabilità che la grandezza in questione cada al di fuori
di questi limiti sia estremamente bassa. Se si presume valido questo
ragionamento, i gradi di libertà dell’incertezza tipo u(xi) ottenuta da una
valutazione di categoria B può essere considerata νi → ∞.
(c)
ricavare il fattore di copertura k con l’aiuto dei valori della Tabella E.1 di
questa appendice. Questa tabella è basata su una distributione t di Student
valutata per un livello di fiducia del 95,45%. Se νeff non è un intero, caso
piuttosto frequente, arrotondare νeff all’intero immediatamente inferiore.
Tabella E.1: Fattore di copertura k corrispondente a diversi numeri di gradi di
libertà effettivi νeff.
Dicembre 1999
pag. 24 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
νeff
1
2
3
4
5
6
7
8
10
20
50
∞
k
13,97
4,53
3,31
2,87
2,65
2,52
2,43
2,37
2,28
2,13
2,05
2,00
Dicembre 1999
pag. 25 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
SUPPLEMENTO 1
Esempi
S1 INTRODUZIONE
S2 TARATURA DI UNA MASSA CAMPIONE DI VALORE NOMINALE
10 kg
S3
TARATURA
DI
UN
RESISTORE
CAMPIONE
DI
VALORE
NOMINALE 10 kΩ
S4 TARATURA DI UN BLOCCHETTO PIANO PARALLELO
DI
LUNGHEZZA NOMINALE 50 mm
S5 TARATURA DI UNA TERMOCOPPIA DI TIPO N A 1000 °C
S6 TARATURA DI UN SENSORE DI POTENZA ALLA FREQUENZA DI
19 GHZ
S7
TARATURA
DI
UN
ATTENUATORE
COASSIALE
AD
UNA
IMPOSTAZIONE DI 30 DB (PERDITE INCREMENTALI)
Dicembre 1999
pag. 26 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
S1 INTRODUZIONE
S1.1 Gli esempi seguenti sono stati scelti per illustrate il metodo per effettuare la
valutazione delle incertezze di misura. Esempi più tipici e rappresentativi basati su
modelli appropriati devono essere sviluppati da speciali gruppi di lavoro nelle
diverse aree. Tuttavia, gli esempi qui riportati forniscono una guida generale su
come procedere.
S1.2 Gli esempi sono basati su bozze preparate da Gruppi di Esperti EA. Queste bozze
sono state semplificate ed armonizzate al fine di renderle comprensibili agli
operatori di laboratorio in tutti i campi di taratura. E’ auspicabile che questo gruppo
di esempi contribuirà ad una migliore comprensione dei dettagli dell’impostazione
del modello di valutazione e dell’armonizzazione del processo di valutazione
dell’incertezza di misura, indipendentemente dal settore di taratura.
S1.3 I contributi ed i valori forniti non rappresentano valori o contributi preferenziali. I
laboratori dovrebbero determinare i contributi d’incertezza sulla base del modello
utilizzato nella valutazione della particolare taratura che svolgono e riportare
l’incertezza di misura valutata nel certificato di taratura che emettono. In tutti gli
esempi forniti, le condizioni stabilite nella sez. 5 per l’uso del fattore di copertura k
= 2 sono rispettate.
S1.4 La presentazione degli esempi segue, in accordo con la procedura passo a passo di
sez. 7 del doc EA-4/02, uno schema contenente:
•
un titolo breve e descrittivo;
•
una descrizione generale del processo di misura;
•
il modello di valutazione con una lista dei simboli usati;
•
un elenco delle grandezze d’ingresso con una breve descrizione di come sono
state ottenute;
•
l’elenco delle letture (osservazioni) e la valutazione dei parametri statistici;
•
un computo delle incertezze in forma di tabella;
•
l’incertezza estesa di misura;
•
il risultato di misura completo
S1.5 Questo primo supplemento al doc EA-4/02 sarà seguito da ulteriori esempi di
valutazione delle incertezze di misura relativi alla taratura di strumenti di misura.
Esempi possono essere trovati in documenti guida EA inerenti la taratura di specifici
tipi di strumenti di misura.
Dicembre 1999
pag. 27 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
S2
TARATURA DI UNA MASSA CAMPIONE DI VALORE NOMINALE 10kg
S2.1 La taratura di una massa di valore nominale 10 kg di classe OIML M1 è eseguita per
confronto con un campione di riferimento (OIML classe F2) dello stesso valore
nominale usando un comparatore di masse le cui caratteristiche prestazionali erano
state precedentemente determinate.
S2.2 La massa incognita mx è ottenuta da:
mx = mS + δmD + δm+ δmC + δB
dove:
-
mS è la massa convenzionale della massa campione,
-
δmD è la deriva del valore della massa campione dall’ultima taratura,
-
δm è la differenza di massa osservata fra la massa in taratura e la massa
campione,
-
δmC è una correzione dovuta all’eccentricità e alla presenza di fenomeni
magnetici,
-
δB è una correzione dovuta alla spinta dell’aria.
S2.3 Massa campione (mS): Il certificato di taratura della massa campione fornisce un
valore di 10 000,005 g con un’incertezza estesa associata di 45 mg (fattore di
copertura k = 2).
S2.4 Deriva del valore della massa campione (δmD): Analizzando le precedenti tarature
la deriva è stata stimata pari a zero entro ± 15 mg.
S2.5 Comparatore (δm, δmC): Una precedente valutazione della ripetibilità della
differenza di massa tra due masse di uguale valore nominale fornisce una stima dello
scarto tipo di 25 mg. Non viene applicata alcuna correzione per il comparatore,
mentre le variazioni dovute all’eccentricità e agli effetti magnetici sono stimate
avere una distribuzione rettangolare entro i limiti di ± 10 mg.
S2.6 Spinta dell’aria δ: Non viene applicata alcuna correzione per l’effetto della spinta
dell’aria, i limiti di deviazione si stimano essere ± 1⋅10-6 del valore nominale.
S2.7 Correlazione: le grandezze d’ingresso possono considerarsi non correlate.
S2.8 Misure: si sono ottenute tre determinazioni della differenza in massa tra la massa
incognita e quella campione usando il metodo di sostituzione e lo schema di
sostituzione ABBA ABBA ABBA:
Dicembre 1999
pag. 28 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
n.
1
Massa convenzionale
campione
incognita
incognita
campione
campione
incognita
incognita
campione
campione
incognita
incognita
campione
2
3
Media aritmetica
Stima della deviazione standard:
(ottenuta da una precedente valutazione)
Incertezza tipo:
lettura
+ 0,010 g
+ 0,020 g
+ 0,025 g
+ 0,015 g
+ 0,025 g
+ 0,050 g
+ 0,055 g
+ 0,020 g
+ 0,025 g
+ 0,045 g
+ 0,040 g
+ 0,020 g
Differenza osservata
+ 0,01 g
+ 0,03 g
0,02 g
δm = 0,020 g
sp(δm) = 25 mg
u(δm) = s( δm ) =
25mg
3
= 14,4 mg
S2.9 Bilancio delle incertezze (mx):
normale
Coeffic. di
sensibilità
ci
1,0
Contributo
d’incertezza
ui(y)
22,5 mg
rettangolare
normale
rettangolare
rettangolare
1,0
1,0
1,0
1,0
8,95 mg
14,4 mg
5,77 mg
5,77 mg
29,3 mg
Grandezza
Xi
Stima
xi
Incertezza
tipo u(xi)
Distrib. di
probabilità
ms
10 000,005 g
22,5 mg
0,000 g
+ δmD
0,020 g
δm
0,000
g
δmC
0,000 g
δB
mx
10 000,025 g
S2.10 Incertezza estesa
8,95 mg
14,4 mg
5,77 mg
5,77 mg
U = k⋅u( mX) = 2⋅× 29,3 mg ≅ 59 mg
S2.11 Risultato di misura
La massa misurata di valore nominale 10 kg è pari a 10,000 025 kg ± 59 mg.
L’incertezza estesa riportata è stata determinata come incertezza tipo composta
moltiplicata per il fattore di copertura k = 2 che per una distribuzione normale
corrisponde ad un livello di fiducia di circa il 95 %.
Dicembre 1999
pag. 29 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
S3
TARATURA DI UN RESISTORE CAMPIONE DI VALORE NOMINALE
10 kΩ
S3.1 La resistenza di un resistore a quattro terminali viene determinata per sostituzione
diretta usando un multimetro digitale (71/2 digit DMM) impostato sulla funzione
resistenza, e un resistore a quattro terminali tarato dello stesso valore nominale del
resistore in taratura utilizzato come riferimento. I resistori sono immersi in un bagno
d’olio in movimento operante alla temperatura di 23° controllata mediante un
termometro al mercurio posto al centro del bagno d’olio. I resistori vengono lasciati
stabilizzare prima della misura. I connettori a quattro terminali di ogni resistore sono
collegati in successione ai morsetti del multimetro. Si determina che la corrente di
misura nel campo di misura del multimetro pari a 100 µA è sufficientemente bassa
da non produrre un apprezzabile auto-riscaldamento dei resistori. La procedura di
misura assicura anche che gli effetti delle resistenze di dispersione possono essere
considerati trascurabili sul risultato della misura.
S3.2 La resistenza RX del resistore in taratura è ottenuta dalla relazione:
RX = (RS + δRD + δRTS) ⋅ rC ⋅ r - δRTX
dove:
-
RS è la resistenza del campione di riferimento;
-
δRD è la deriva del valore di resistenza del campione dall’ultima taratura;
-
δRTS è la variazione del valore del resistore campione connessa con la
variazione della temperatura;
-
r = RiX/RiS è il rapporto del valore di resistenza indicato per i resistori
incognito e in taratura;
-
rC è un fattore di correzione dovuto alle tensioni parassite e alla risoluzione
del multimetro.
δRTX è la variazione del valore del resistore in taratura connessa con la variazione
della temperatura.
S3.3 Campione di riferimento (RS): il certificato di taratura del resistore campione
utilizzato come riferimento fornisce un valore di 10 000,053 Ω ± 5 mΩ (fattore di
copertura k = 2) alla temperatura di riferimento di 23°C.
S3.4 Deriva del valore del campione (δRD): la deriva di resistenza del resistore
campione di riferimento dall’ultima taratura è stimata analizzando l’andamento delle
precedenti tarature e pari a 20 mΩ con variazioni entro ± 10 mΩ.
S3.5 Correzioni dovute alla temperatura (δRTS, δRTX): la temperatura del bagno d’olio
è misurata utilizzando un termometro tarato a 23,00 °C. Tenendo in considerazione
le caratteristiche metrologiche del termometro usato e i gradienti di temperatura
all’interno del bagno d’olio, si stima che la temperatura coincida con quella
monitorata entro ± 0,055 K. Così il valore noto (5 × 10-6 K-1) del coefficiente di
temperatura (TC) del resistore campione fornisce i valori limite di ± 2,75 mΩ per la
deviazione dal suo valore di taratura dovuta a una possibile variazione dalla
temperatura operativa di 23 °C. Dalla letteratura del costruttore si stima che il TC
del resistore in taratura non superi 10⋅× 10-6 K-1, così che la variazione di resistenza
Dicembre 1999
pag. 30 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
del resistore in taratura dovuta ad una variazione della temperatura si stima essere
contenuta entro ± 5,5 mΩ.
S3.6 Misure di resistenza (rC): siccome viene utilizzato lo stesso multimetro per
misurare sia RiX sia RiS i contributi d’incertezza sono correlati, ma l’effetto è di
ridurre l’incertezza ed è solo necessario considerare la differenza relativa nelle
letture di resistenza dovuta a effetti sistematici quali le tensioni parassite e la
risoluzione dello strumento (vedi la nota matematica al par. S3.12), che si stima
avere limiti di ± 0,5⋅× 10-6 per ogni lettura. La distribuzione risultante per il rapporto
rC è triangolare con valore atteso 1,000 000 0 e limiti di ± 1,0⋅10-6
S3.7 Correlazione: le grandezze d’ingresso si possono considerare non correlate.
S3.8 Misure (r): si fanno 5 osservazioni del rapporto r:
n.
Rapporto determinato
1
1,000 010 4
2
1,000 010 7
3
1,000 010 6
4
1,000 010 3
5
1,000 010 5
Media aritmetica:
r = 1,000 0105
scarto tipo sperimentale:
s(r) = 0,158⋅× 10-6
(ottenuta da una precedente valutazione):
Incertezza tipo:
u(r) = s( r ) =
0,158 ⋅ 10 -6
5
= 0,0707⋅× 10-6
S3.9 Bilancio delle incertezze (RX):
Grandezza
Xi
Stima
xi
Incertezza
tipo u(xi)
Distrib. di
probabilità
RS
10 000,053 Ω
2,5 mΩ
δRD
δRTS
δRTX
rC
r
Rx
0,020 Ω
0,000 Ω
0,000 Ω
1,000000000
1,000 0105
10 000,178 Ω
5,8 mΩ
1,6 mΩ
3,2 mΩ
0,41⋅10-6
0,07⋅10-6
Dicembre 1999
normale
Coeffic. di
sensibilità
ci
1,0
Contributo
d’incertezza
ui(y)
2,5 mΩ
rettangolare
rettangolare
rettangolare
triangolare
normale
1,0
1,0
1,0
10 000 Ω
10 000 Ω
5,8 mΩ
1,6 mΩ
3,2 mΩ
4,1 mΩ
0,7 mΩ
8,33 mΩ
pag. 31 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
S3.10 Incertezza estesa
U = k× ⋅u( RX) = 2⋅× 8,33 mΩ ≅ 17 mΩ
S3.11 Risultato di misura
Il valore misurato di un resistore di valore nominale 10 kΩ ad una temperatura di
misura di 23 °C e ad una corrente di misura di 100 µA, è:
(10 000,178 ± 0,017) Ω.
L’incertezza estesa riportata è stata determinata come l’incertezza tipo composta
moltiplicata per il fattore di copertura k = 2, che per una distribuzione normale
corrisponde ad un livello di fiducia di circa il 95 %.
S3.12 Nota matematica sull’incertezza tipo di misura del rapporto dei valori di
resistenza indicati: i resistori campione ed incognito hanno pressappoco lo stesso
valore di resistenza. Entro la solita approssimazione lineare nelle deviazioni i
valori che provocano le indicazioni del multimetro RiX e RiS sono date da:
RX’ = RiX(1 +
RS’ = RiS(1 +
δR X'
)
R
δRS'
R
)
(S3.2)
Essendo R il valore nominale dei resistori e δRX’ e δRS’ le deviazioni incognite. Il
rapporto di resistenza dedotto da queste espressioni è:
δR X'
= rrC
RS'
(S3.3)
con il rapporto della resistenza indicata per il resistori campione ed incognito:
r=
δRiX
(S3.4)
RiS
e il fattore di correzione (approssimazione lineare nelle deviazioni)
rC = 1 +
δR X' − δRS'
R
(S3.5)
A causa del fatto che la differenza delle deviazioni entra nell’eq. (S3.5), i
contributi correlati degli effetti sistematici risultanti dalla scala interna del
multimetro non influenzano il risultato. L’incertezza tipo del fattore di correzione è
determinata solo da deviazioni scorrelate risultanti da effetti parassiti e dalla
risoluzione del multimetro. Assumendo che u(RX’) = u(RS’) = u(δR’), è dato
dall’espressione:
u2(rC) = 2
Dicembre 1999
u 2 (δR' )
R2
(S3.6)
pag. 32 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
S4
TARATURA DI UN BLOCCHETTO
LUNGHEZZA NOMINALE 50 mm
PIANO
PARALLELO
S4.1
La taratura di un blocchetto di misura di grado 0 (ISO3650) di lunghezza nominale
50 mm viene eseguita per confronto con un comparatore ed un blocchetto di
misura tarato della stessa lunghezza nominale e dello stesso materiale quale
campione. La differenza nella lunghezza centrale viene determinata nella posizione
verticale dei due blocchetti usando due indicatori di lunghezza che vanno a
contatto delle facce di misura superiore ed inferiore. La lunghezza l’X del
blocchetto in taratura è legata alla lunghezza l’S del blocchetto campione
dall’equazione:
l’X = l’S + δl
DI
(S4.1)
dove δl è la differenza di lunghezza misurata. l’X e l’S sono le lunghezze dei
blocchetti di misura in determinate condizioni di misura, in particolare ad una
temperatura che, tenendo conto dell’incertezza di misura della temperatura del
laboratorio, potrebbe non essere identica alla temperatura di riferimento per misure
di lunghezza.
S4.2
La lunghezza lX del blocchetto in taratura alla temperatura di riferimento è dato
dalla relazione:
lX = lS + δlD + δl+ δlC – L( α ⋅× δt + δα⋅× ∆ t ) - δlV
(S4.2)
dove:
lS
- lunghezza del blocchetto di misura campione alla temperatura di riferimento
t0 = 20 °C come riportato nel suo certificato di taratura;
δlD
- cambiamento della lunghezza del blocchetto di misura campione dall’ultima
taratura dovuto alla deriva;
δl
- differenza osservata in lunghezza tra il blocchetto di misura in taratura e
quello campione;
δlC - correzione per la non-linearità e l’offset del comparatore;
L
- lunghezza nominale dei blocchetti considerati;
α = (αX + αS)/2 - media dei coefficienti di espansione termica del blocchetto di
misura in taratura e di quello campione;
⋅δt = (tX - tS) - differenza di temperatura tra il blocchetto di misura in taratura e
quello campione;
δα = (αX - αS) - differenza dei coefficienti di espansione termica del blocchetto di
misura in taratura e di quello campione;
∆ t = (tX + tS)/2- t0 - deviazione della temperatura media del blocchetto di misura
in taratura e di quello campione dalla temperatura di riferimento;
δlV
Dicembre 1999
- correzione dovuta alla non perfetta centratura del contatto delle facce di
pag. 33 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
misura del blocchetto in taratura.
S4.3
Blocchetto di riferimento (lS): La lunghezza del blocchetto di misura campione,
associato all’incertezza estesa di misura, è data nel certificato di taratura di un
gruppo di blocchetti di misura ed è pari a 50,000 02 mm ± 30nm (fattore di
copertura k = 2)
S4.4
Deriva del campione (δlD): La deriva temporale della lunghezza del blocchetto
campione viene stimata, analizzando precedenti tarature, essere zero con limiti
± 30nm. L’esperienza con blocchetti di questo tipo suggerisce che una deriva pari a
0 è verosimile e può essere assunta una distribuzione di probabilità triangolare.
S4.5
Comparatore (δlC): E’ stato verificato che il comparatore soddisfa le specifiche
riportate in EA-10/02. Da tale documento ci si può accertare che per differenze di
lunghezza D fino a ± 10 µm, le correzioni alla differenza di lunghezza indicata
sono contenute entro ± (30nm + 0,02·D) Tenendo conto delle tolleranze del
blocchetto di misura di grado 0 in taratura e di quello di grado K del blocchetto di
riferimento, la massima differenza di lunghezza sarà compresa entro ± 1 µm
producendo limiti di ± 32 nm per le correzioni dovute alla non-linearità e all’offset
del comparatore usato.
S4.6
Correzioni di temperatura (( α , δt, δα, ∆ t ): Prima della taratura, si ha cura di
assicurare che i blocchetti di misura assumano la temperatura dell’ambiente in cui
si svolge la taratura. La rimanente differenza in temperatura tra il blocchetto
campione e quello in taratura si stima sia contenuta entro ± 0,05 K. Basandosi sul
certificato di taratura del blocchetto di riferimento e sui dati forniti dal costruttore
relativi al blocchetto in taratura, la parte lineare del coefficiente di espansione
termica dei blocchetti di acciaio si assume esser compresa nell’intervallo
(11,5 ± 1,0)⋅× 10-6°C-1. Combinando le due distribuzioni rettangolari la differenza
nel coefficiente lineare di espansione termica è distribuita triangolarmente entro i
limiti di ± 2⋅× 10-6 °C-1 La deviazione della temperatura media di misura dalla
temperatura di riferimento t0 = 20 °C si stima essere compresa entro ± 0,5 °C. Le
migliori stime della differenza nei coefficienti di espansione lineare e le deviazioni
della temperatura media da quella di riferimento sono zero. Quindi si deve tenere
conto dei termini del secondo ordine nella valutazione del loro contributo
d’incertezza che risulta nel prodotto delle incertezze tipo associate con i fattori del
termine di prodotto δα⋅× ∆ t nell’equazione (S.4.2) (vedi la nota matematica al
paragrafo S.4.13 eq. (S.4.5)). L’incertezza tipo finale è u(δα⋅∆ t ) = 0,236⋅10-6.
S4.7
Variazione in lunghezza (δlV): per blocchetti di misura di grado 0 la variazione in
lunghezza la variazione in lunghezza determinata dalle misure al centro e ai quattro
angoli deve essere entro ± 0,12 µm (ISO 3650). Assumendo che questa variazione
si riscontra sulle facce di misura lungo il bordo corto di lunghezza 9 mm e che la
lunghezza centrale viene determinata all’interno di un cerchio di raggio 0,5 mm, la
correzione dovuta al disallineamento centrale del punto di contatto si stima essere
compresa entro ± 6,7nm
S4.8
Correlazione: : le grandezze d’ingresso si possono considerare scorrelate.
Dicembre 1999
pag. 34 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
S4.9
Misure(δl): si sono ottenute le seguenti osservazioni della differenza tra il
blocchetto in taratura e quello campione eseguendo il reset del comparatore,
usando il blocchetto campione, dopo ogni lettura.
Media aritmetica
δ l = -94 nm
deviazione standard sperimentale: sp(δl) = 12 nm
(ottenuta da una precedente valutazione)
n. osserv.
Valore
1
-100 nm
2
-90 nm
3
-80 nm
4
-90 nm
5
-100 nm
Media aritmetica
δ l = -94 nm
Scarto tipo sperimentale:
sp(δl) = 12 nm
(ottenuto da una precedente valutazione)
Incertezza tipo:
u(δl)=s( δ l )=
12nm
5
= 5,37 nm
La stima della deviazione standard è stata ottenuta eseguendo delle prove per confermare la
conformità del comparatore usato con i requisiti del doc EA-10/02.
S4.10 Bilancio delle incertezze (lX):
normale
triangolare
normale
rettangolare
rettangolare
speciale
Coeffic. di
sensibilità
ci
1,0
1,0
1,0
1,0
-575 nm °C-1
50 mm
Contributo
d’incertezza
ui(y)
15,0 nm
17,3 nm
5,37 nm
18,5 nm
-16,6 nm
-11,8 nm
rettangolare
-1,0
-3,87 nm
36,4 nm
Grandezza
Xi
Stima
xi
Incertezza
tipo u(xi)
Distrib. di
probabilità
lS
δlD
δl
δlC
δt
50,000 020 mm
0 mm
-0,000 094 mm
0 mm
0 °C
0
15 nm
17,3 nm
5,37 nm
18,5 nm
0,0289 °C
0,236⋅× 10-6
0 mm
49,999 926 mm
3,87 nm
δα⋅∆ t
(δlV
lX
Dicembre 1999
pag. 35 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
S4.11 Incertezza estesa
U = k × ⋅u( lX) = 2⋅36,4nm ≅ 73nm
S4.12 Risultato di misura
Il valore misurato di un blocchetto di misura di valore nominale 50mm è:
49,999 926 mm ± 73nm.
L’incertezza estesa riportata è stata determinata come incertezza tipo composta
moltiplicata per il fattore di copertura k = 2, che per una distribuzione normale
corrisponde ad un livello di fiducia di circa il 95 %.
S4.13 Nota matematica sull’incertezza tipo di misura del rapporto del prodotto di
due grandezze con valore atteso pari a 0: Se si considera il prodotto di due
grandezze, il metodo usuale di valutazione dei contributi d’incertezza basato sulla
linearizzazione della funzione modello deve essere modificato se uno o entrambi i
valori attesi nel prodotto sono nulli. Se i fattori nel prodotto sono statisticamente
indipendenti con valori attesi non nulli, la radice quadrata dell’incertezza tipo di
misura (varianza relativa) associata al prodotto può essere espressa senza alcuna
linearizzazione con le radici quadrate delle incertezze tipo relative associate con le
stime dei fattori:
w2(x1⋅× x2) = w2(x1) + w2(x2) + w2(x1) × w2(x2)
(S4.2).
Usando la definizione dell’incertezza tipo relativa di misura questa relazione si può
facilmente trasformare nella relazione generale:
u2(x1⋅x2) =x22 u2(x1) + x12 u2(x2) + u2(x1) ⋅ u2(x2)
(S4.3).
Se le incertezze tipo u(x1) e u(x2) associate con i valori attesi x1 e x2 sono molto più
piccole che i moduli dei rispettivi valori attesi, il terzo termine della parte destra
della (S4.3) può essere trascurato. L’equazione risultante rappresenta il caso
descritto dal metodo usuale basato sulla linearizzazione della funzione modello.
Se invece uno dei moduli dei valori attesi, per esempio x 2 è molto più piccolo
che l’incertezza tipo u(x2) associata a questo valore atteso o perfino 0, il termine di
prodotto comprendente questo valore atteso può essere trascurato nella parte destra
della (S4.3) ma non il terzo termine. L’equazione risultante è:
u2(x1 ×⋅x2) ≅ x12 u2(x2) + u2(x1) ⋅ u2(x2)
(S4.4).
Se entrambi i moduli dei valori attesi sono molto più piccoli delle loro incertezze
tipo associate o perfino 0, solo il terzo termine della (S4.3) fornisce un contributo
significativo:
u2(x1⋅x2) ≅ u2(x1) ⋅ u2(x2)
S5
S5.1
(S4.5).
TARATURA DI UNA TERMOCOPPIA DI TIPO N A 1000°C
Una termocoppia di tipo N viene tarata per confronto con due termocoppie
campione di tipo R in un forno orizzontale alla temperatura di 1000°C. Le forze
elettromotrici (emf) generate dalle termocoppie sono misurate con un multimetro
digitale per mezzo di un interruttore per selezionare le polarità diretta ed inversa.
Dicembre 1999
pag. 36 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
Tutte le termocoppie hanno la giunzione di riferimento a 0°C. La termocoppia in
taratura è connessa al punto di riferimento usando dei cavi di compensazione. I
valori di temperatura sono dati nella scala di temperatura t90.
S5.2
La temperatura tX della giunzione calda della termocoppia in taratura è:
tX = tS(ViS + δViS1+ δViS2 + δVR -
δ t 0S
) + δ tD + δ tF
CS0
≅ tS(ViS) + CS⋅δViS1 + CS⋅δViS2 + CSδVR S5.3
CS
δt0S + δtD + δtF
CS 0
(S5.1)
La tensione VX ai capi degli adduttori della termocoppia con la giunzione fredda a
0 °C durante la taratura è:
VX(t) ≅ VX(tX) +
∆t δt 0 X
∆t δt 0 X
−
= ViX + δViX1+ δViX2 + δVR + δVLX +
−
CX CX 0
CX CX 0
(S5.2)
Dove:
tS(V)
- temperatura del termometro di riferimento in termini di tensione con la
giunzione fredda a 0°C. La funzione è data nel certificato di taratura;
ViS, ViX - indicazione del voltmetro;
δViS1, δViX1 - correzioni di tensione ottenute dalla taratura del voltmetro;
δViS1, δViX1 - correzioni di tensione dovute alla limitata risoluzione del multimetro;
δVR - correzione di tensione dovuta agli effetti di contatto dell’interruttore per
l’inversione di polarità;
δt0S, δt0X = correzioni di temperatura dovute alla deviazione delle temperature di
riferimento da 0° C;
CX , CS = - sensibilità delle termocoppie in tensione alla temperatura di misura di
1000° C;
CX0, CS0 = - sensibilità delle termocoppie in tensione alla temperatura di
riferimento di 0° C;
δtD = - cambiamento dei valori dei termometri di riferimento dall’ultima taratura
dovuto alla deriva;
δtF = - correzione di temperatura dovuta alla non uniformità della temperatura del
forno;
t – temperatura alla quale la termocoppia deve essere tarata (punto di taratura);
∆t = t - tX - deviazione della temperatura del punto di taratura dalla temperatura
del forno;
δVLX – correzione di tensione dovuta ai cavi di compensazione.
S5.4
Il risultato riportato è la forza elettromotrice (emf) di uscita alla temperatura della
sua giunzione calda. Questo perché il procedimento di misura consiste di due fasi –
Dicembre 1999
pag. 37 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
determinazione della temperatura del forno e determinazione della emf della
termocoppia in taratura – la valutazione dell’incertezza è divisa in due parti.
S5.5
Campioni di riferimento (tS(V)): Le termocoppie di riferimento sono dotate di
certificati di taratura che correlano la temperatura della giunzione calda con la
giunzione fredda a 0 °C alla tensione ai capi dei loro avvolgimenti. L’incertezza
estesa di misura a 1000 °C è U = 0,3 °C (fattore di copertura k = 2).
S5.6
Taratura del voltmetro (δViS1, δViX1): Il voltmetro è stato tarato. Sono apportate
correzioni alle tensioni misurate a tutti i risultati. Il certificato di taratura fornisce
un’incertezza estesa di misura costante per tensioni inferiori a 50 mV di U = 2,0
µV (fattore di copertura k = 2).
S5.7
Risoluzione del voltmetro (δViS2, δViX2): E’ stato usato un microvoltmetro digitale
a 4½ cifre, nella portata 10 mV, che presenta dei limiti di risoluzione di ± 0,5 µV ad
ogni indicazione.
S5.8
Tensioni parassite (δVR): Tensioni parassite residue di offset dovute ai contatti
dell’interruttore sono state stimate 0 con limiti ± 2 µV.
S5.9
Temperature di riferimento (δt0S, δt0X): La temperatura del punto di riferimento
di ogni termocoppia è nota essere 0 °C con limiti ± 0,1 °C.
S5.10 Sensibilità di tensione (CS, CX, CS0, CX0): Le sensibilità alla tensione delle
termocoppie sono state desunte dalle tabelle di riferimento:
1000°C
termocoppia di riferimento: CS = 0,77 °C/µV
termocoppia in taratura:
CX0 = 0,026 °C/µV
0°C
CS0 = 0,189 °C/µV
CX0 = 0,039 °C/µV
S5.11 Deriva del campione (δtD): Da precedenti tarature la deriva dei campioni di
riferimento sono stimate pari a 0 con limiti ± 0,3 °C.
S5.12 Gradienti di temperatura (δtF): Sono stati misurati i gradienti di temperatura
dentro il forno. A 1000°C, le deviazioni dalla non uniformità di temperatura nella
regione di misura sono entro i limiti di ±1 °C.
S5.13 Cavi di compensazione (δVLX): I cavi di compensazione sono stati studiati nel
campo da 0°C a 40 °C. Da ciò, le differenze di tensione tra i cavi e gli adduttori
della termocoppia si stimano essere compresi entro ± 5 µV.
S5.14 Misure (ViS, tS(ViS), ViX): Le indicazioni del voltmetro sono registrate nella
seguente procedura operativa che fornice quattro letture per ogni termocoppia e
riduce gli effetti di deriva di temperatura nella sorgente termica e delle tensioni
parassite di origine termica nel circuito di misura:
1° ciclo:
1° campione, termocoppia incognita, 2° campione,
2° campione, termocoppia incognita, 1° campione.
Inversione della polarità.
2° ciclo:
Dicembre 1999
pag. 38 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
1° campione, termocoppia incognita, 2° campione,
2° campione, termocoppia incognita, 1° campione.
S5.15 La procedura richiede che la differenza fra le due termocoppie campione non deve
superare ± 0,3°C. Se la differenza non è all’interno di tali limiti le osservazioni
devono essere ripetute e/o le ragioni di una tale differenza devono essere cercate.
termocoppia
Tensione indicata, corretta
Tensione media
Temperatura della giunzione calda
Temperatura del forno
1° campione
incognita
2° campione
+10 500 µV
+36 245 µV
+10 503 µV
+10 503 µV
+36 248 µV
+10 503 µV
-10 503 µV
-36 248 µV
-10 505 µV
-10 504 µV
-36 251 µV
-10 505 µV
+10 502,5 µV
1000,4°C
+36 248 µV
10 504 µV
1000,6°C
1000,5°C
S5.16 Dalle quattro letture per ogni termocoppia fornite nella tabella soprastante, si
deduce il valore medio delle tensioni di ogni termocoppia. I valori di tensione delle
termocoppie di riferimento sono convertiti in valori di temperatura grazie alle
relazioni temperatura-tensione definite nei loro certificati di taratura. I valori di
temperatura osservati sono altamente correlati (fattore di correlazione prossimo a
1). Quindi, prendendo il loro valore medio esse sono composte in una singola
osservazione che è la temperatura del forno nel luogo della termocoppia in
taratura. In modo analogo, è stata estrapolata un’osservazione della tensione della
termocoppia in taratura. Per valutare l’incertezza di misura associata con queste
osservazioni, è stata eseguita precedentemente una serie di dieci misure alla stessa
temperatura di operazione. Ciò ha fornito una stima della deviazione standard per
la temperatura del forno e la tensione della termocoppia in taratura.
Le rispettive incertezze tipo di misura delle grandezze osservate sono:
stima dello scarto tipo composto:
sp(tS) = 0,10°C
incertezza tipo:
u(tS) =
stima dello scarto tipo composto:
sp(ViX) = 1,6 µV
incertezza tipo:
Dicembre 1999
u(ViX) =
s p (ViX )
1
s p (t S )
1
= 0,10°C
= 1,6 µV
pag. 39 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
S5.17 Bilancio delle incertezze (temperatura tX del forno ):
Grandezza
Xi
Stima
xi
Incertezza
tipo u(xi)
Distrib. di
probabilità
Coeffic. di
sensibilità
ci
1,0
tS
1000,5 °C
0,10 °C
δViS1
0 µV
1,00 µV
normale
normale
0,077 °C/µV
Contributo
d’incertezza
ui(y)
0,10 °C
0,077 °C
δViS2
0 µV
0,29 µV
rettangolare
0,077 °C/µV
0,022 °C
δVR
1,15 µV
0,058 °C
rettangolare
rettangolare
0,077 °C/µV
-0,407
0,0809 °C
δt0S
0 µV
0 °C
δtS
0 °C
0,15 °C
normale
1,0
0,15 °C
δtD
0 °C
0,173 °C
rettangolare
1,0
0,173 °C
δtF
tX
0° C
0,577 °C
rettangolare
1,0
0,577 °C
-0,024 °C
1000,5 °C
0,641 °C
S5.18 Bilancio delle incertezze (emf VX della termocoppia in taratura):
L’incertezza tipo di misura associata con la deviazione di temperatura del punto di
taratura dalla temperatura del forno è l’incertezza tipo di misura associata alla
temperatura del forno perché il punto di temperatura è un valore definito (noto
esattamente).
Grandezza
Xi
Stima
xi
Incertezza
tipo u(xi)
Distrib. di
probabilità
Contributo
d’incertezza
ui(y)
normale
Coeffic. di
sensibilità
ci
1,0
ViX
36 248 µV
1,60 µV
δViX1
0 µV
1,00 µV
normale
1,0
1,00 µV
δViX2
0 µV
0,29 µV
rettangolare
1,0
0,29 µV
δVR
0 µV
1,15 µV
rettangolare
1,0
1,15 µV
δVLX
0 µV
0,5 °C
2,9 µV
0,0641 °C
rettangolare
1,0
2,9 µV
normale
38,5µV/°C
24,5 µV
0 °C
0,058 °C
rettangolare
-25,6µV/°C
-1,48 µV
∆t
δt0X
VX
1,60 µV
36 229 µV
25,0 µV
S5.19 Incertezze estese
L’incertezza estesa associata con la misura di temperatura del forno è:
U = k × u(tX) = 2 × 0,641 °C ≅ 1.3°C
L’incertezza estesa associata con la misura del valore di emf della termocoppia in
Dicembre 1999
pag. 40 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
taratura è:
U = k × u(VX) = 2 × 25,0µV ≅ 50 µV
S5.20 Risultato riportato
La termocoppia di tipo N presenta, alla temperatura di 1000,0°C, con la sua
giunzione fredda a 0°C, una emf di 36 230 µV ± 50 µV.
L’incertezza estesa riportata è stata determinata come incertezza tipo composta
moltiplicata per il fattore di copertura k = 2, che per una distribuzione normale
corrisponde ad un livello di fiducia di circa il 95 %.
S6
TARATURA DI UN SENSORE DI POTENZA ALLA FREQUENZA DI
19 GHz.
S6.1
La taratura consiste di un sensore di potenza incognito rispetto ad un sensore di
potenza campione per sostituzione su un campione di trasferimento (transfer
standard) stabile di piccolo e noto coefficiente di riflessione. La misura è fatta in
termini di fattore di taratura, che è definito come rapporto della potenza incidente
alla frequenza di riferimento di 50 MHz con la potenza incidente alla frequenza di
taratura con la condizione che entrambe le potenze incidenti danno uguale risposta
del sensore di potenza. Ad ogni frequenza, si determina il rapporto (indicato) della
potenza per il sensore in taratura, rispettivamente il sensore di riferimento ed il
sensore interno che costituisce parte del campione di trasferimento, usando un
misuratore di potenza duale con l’opzione rapporto.
S6.2
Schema del sistema di misura
S6.3
La grandezza K, detta “fattore di taratura” da alcuni costruttori è definita come:
K=
Pr
Pc
2
=
(1 + Γr ) PAr
2
(1 + Γc ) PAc
(S6.1)
per l’uguale indicazione del misuratore di potenza (power meter)
dove:
P r - potenza incidente alla frequenza di riferimento (50 MHz);
Dicembre 1999
pag. 41 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
Pc - potenza incidente alla frequenza di taratura;
Γr - coefficiente di riflessione di tensione del sensore alla frequenza di riferimento;
Γc - coefficiente di riflessione di tensione del sensore alla frequenza di taratura;
PAr - potenza assorbita dal sensore alla frequenza di riferimento;
PAc - potenza assorbita dal sensore alla frequenza di taratura;
S6.4
Il fattore di taratura del sensore incognito si ottiene dalla relazione:
KX = (KS + δKD)
M Sr M Xc
pCr p Cc p
M Sc M Xr
(S6.2)
dove:
KS - fattore di taratura del sensore di potenza di riferimento;
δKD - cambiamento del fattore di taratura del sensore di potenza di riferimento
dall’ultima taratura dovuto alla deriva;
MSr - fattore di disadattamento del sensore di potenza di riferimento alla frequenza
di riferimento;
MSc - fattore di disadattamento del sensore di potenza di riferimento alla frequenza
di taratura;
MXr - fattore di disadattamento del sensore di potenza in taratura alla frequenza di
riferimento;
MXc - fattore di disadattamento del sensore di potenza in taratura alla frequenza di
taratura;
pCr - correzione del rapporto osservato per la non linearità e per la limitata
risoluzione del misuratore di potenza al livello di rapporto di potenza della
frequenza di riferimento;
pCc - correzione del rapporto osservato per la non linearità e per la limitata
risoluzione del misuratore di potenza al livello di rapporto di potenza della
frequenza di taratura;
p=
p Sr p Xc
- rapporto osservato dei rapporti di potenza derivato da:
p Sc p Xr
-
pSc rapporto di potenza indicato per il sensore di riferimento alla frequenza
di taratura;
-
pXr rapporto di potenza indicato per il sensore in taratura alla frequenza di
riferimento;
S6.5
pSr rapporto di potenza indicato per il sensore di riferimento alla frequenza
di riferimento;
pXc rapporto di potenza indicato per il sensore in taratura alla frequenza di
taratura.
Sensore di riferimento (KS): Il sensore di riferimento è stato tarato sei mesi prima
della taratura del sensore di potenza incognito. Il valore del fattore di taratura, dato
Dicembre 1999
pag. 42 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
nel certificato di taratura è (95,7 ± 1,1) % (fattore di copertura k = 2), che può
essere anche espresso come 0,957 ± 0,011.
S6.6
Deriva del campione (δKD): La deriva del fattore di taratura del campione di
riferimento è stimata dalle tarature annuali pari a –0,002 /anno con deviazioni
comprese entro ± 0,004. Da questi valori, la deriva del sensore di riferimento, che è
stato tarato sei mesi prima, viene stimata pari a –0,001 con deviazioni comprese
entro ± 0,002.
S6.7
Linearità e risoluzione del misuratore di potenza (pCr, pCc): L’incertezza estesa
di 0,002 (fattore di copertura k = 2) è assegnata alle letture del misuratore di
potenza al livello di rapporto di potenza della frequenza di riferimento e di 0,0002
(fattore di copertura k = 2) al livello di rapporto di potenza della frequenza di
taratura dovuta alla non linearità del misuratore usato. Questi valori sono stati
ottenuti da precedenti misure. Siccome è stato usato lo stesso misuratore per
determinare sia ps sia pX, i contributi d’incertezza alla frequenza di riferimento e a
quella di taratura sono correlati. Siccome si considerano i rapporti di potenza ad
entrambe le frequenze, l’effetto delle correlazioni è di ridurre l’incertezza. Così,
dovrebbe essere considerata solo la differenza relativa dovuta agli effetti
sistematici (vedi la nota matematica al paragrafo S3.12), che porta ad un’incertezza
tipo di 0,00142 associata con il fattore di correzione pCr e 0,000142 associata con il
fattore di correzione pCc.
L’incertezza estesa di misura definita per le letture del misuratore di potenza contiene gli effetti di
linearità e della risoluzione. Gli effetti di linearità sono correlati mentre gli effetti della risoluzione
sono scorrelati. Come mostrato in S3.12, il rapporto di potenza cancella l’influenza delle
correlazioni e fornisce un’incertezza tipo ridotta da associare con il rapporto. Nei calcoli
precedenti, comunque, i contributi separati correlati e scorrelati sono rapporti non noti e i valori
dati sono i limiti superiori per l’incertezza tipo di misura associata coi rapporti. Il computo
dell’incertezza alla fine mostra che i contributi che originano da questi rapporti sono trascura bili
per cui le approssimazioni sono giustificate.
S6.8
Fattori di disadattamento (MSr, MSc, MXr, MXc ): Siccome il sistema di
trasferimento campione non è perfettamente accordato e la fase dei coefficienti di
riflessione del campione di trasferimento, dei sensori campione e in taratura non
sono noti, ci sarà un’incertezza dovuta al disadattamento per ogni sensore alla
frequenza di riferimento e alla frequenza di taratura. I corrispondenti limiti di
deviazione devono essere calcolati per le frequenze di riferimento e di taratura
dalla relazione:
MS, X = 1 ± 2 ΓG ΓS , X
(S6.3)
Dove le ampiezze dei coefficienti di riflessione del campione di trasferimento, dei
sensori campione e in taratura sono:
ΓG
ΓS
50 MHz 18 GHz
0,02
0,07
0,02
0,10
0,02
0,12
ΓX
La distribuzione di probabilità dei contributi individuali è a forma di U. Di ciò
viene tenuto conto sostituendo il fattore 1/3 per una distribuzione rettangolare con
1/2 nel calcolare la varianza dalla radice quadrata della semi-ampiezza determinata
Dicembre 1999
pag. 43 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
dai limiti. L’incertezza tipo dovuta al disadattamento si ottiene quindi da:
u(MS, X) =
2 ΓG ΓS
(S6.4)
2
Nota: i valori dei coefficienti di riflessione sono risultati di misura soggetti a loro
volta ad incertezza. Di ciò si tiene conto aggiungendo la radice quadrata della
somma dell’incertezza di misura al quadrato e il valore di misura.
S6.9
Correlazione: Le grandezze d’ingresso sono scorrelate
S6.10 Misure (p): Tre misure separate sono state eseguite, ciò prevede la disconnessione
e riconnessione di entrambi i sensori di riferimento e in taratura sul campione di
trasferimento per tenere conto della ripetibilità del connettore. Le letture del
misuratore di potenza usate per calcolare il rapporto di potenza p sono:
n. osserv.
1
2
3
pSr
1,0001
1,0000
0,9999
Media aritmetica
pSc
0,9924
0,9942
0,9953
pXr
1,0001
1,0000
1,0001
pXc
0,9698
0,9615
0,9792
p
0,9772
0,9671
0,9836
p = 0,9760
scarto tipo sperimentale: s(p) = 0,0083
(ottenuta da una precedente valutazione)
Incertezza tipo:
u(p)=s( p )=
0,0083
3
= 0,0048
S6.11 Bilancio delle incertezze (KX):
Grandezza
Xi
Stima
xi
Incertezza
tipo u(xi)
Distrib. di
probabilità
KS
δKD
MSr
MSc
MXr
MXc
PCr
PCc
p
KX
0,957
-0,001
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
0,976
0,933
0,0055
0,0012
0,0006
0,0099
0,0006
0,0119
0,0014
0,0001
0,0048
normale
rettangolare
U
U
U
U
normale
normale
normale
Coeffic. di
sensibilità
ci
0,976
0,976
0,933
0,933
0,933
0,933
0,933
0,933
0,956
Contributo
d’incertezza
ui(y)
0,00537
0,00113
0,00053
0,00924
-0,00053
0,01110
0,00132
0,00013
0,00459
0,01623
S6.12 Incertezza estesa
Dicembre 1999
pag. 44 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
U = k × u(KX) = 2 × 0,01623 ≅ 0,032
S6.13 Risultato di misura
Il fattore di taratura di un sensore di potenza a 18 GHz è 0,933 ± 0,032 che può anche
essere espressa come (93,3 ± 3,2)%
L’incertezza estesa riportata è stata determinata come incertezza tipo composta
moltiplicata per il fattore di copertura k = 2, che per una distribuzione normale
corrisponde ad un livello di fiducia di circa il 95 %.
S7
TARATURA DI UN ATTENUATORE COASSIALE AD UNA IMPOSTAZIONE
DI 30 DB (PERDITA INCREMENTALE)
S7.1
La misura prevede la taratura di un attenuatore coassiale a passo a 10 GHz usando un
sistema di misura di attenuazione contenente un attenuatore coassiale a passo (step
attenuator) tarato che funge da riferimento di attenuazione. Il metodo di misura
comprende la determinazione dell’attenuazione tra la sorgente adattata ed il carico
adattato. In questo caso l’attenuatore in taratura può essere alternato tra le impostazioni
di 0 dB e 30 dB e questo cambiamento (detto perdita incrementale) viene determinato
nel processo di taratura. Il sistema di misura di attenuazione a RF (RF attenuation
measuring system) ha una visualizzazione digitale e un rivelatore di zero di tipo
analogico che viene usato per indicare la condizione di equilibrio
S7.2
Schema del sistema di misura
S7.3
L’attenuazione LX dell’attenuatore in taratura si ottiene dalla relazione:
LX = LS + δLS + δLD + δLM + δLK + δLib - δLia + δL0b- δL0a
(S7.1)
dove:
LS = Lib - Lia - differenza di attenuazione dell’attenuatore di riferimento derivata da:
Lia - attenuazione indicata con l’attenuatore in taratura impostato a 0 dB;
Lib - attenuazione indicata con l’attenuatore in taratura impostato a 30 dB;
δLS - correzione ottenuta dalla taratura dell’attenuatore di riferimento;
δLD- cambiamento dell’attenuazione dell’attenuatore di riferimento dall’ultima taratura
dovuto alla deriva;
Dicembre 1999
pag. 45 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
δLM- correzione dovuta alla perdita per il disadattamento;
δLK- correzione per i segnali di dispersione tra l’ingresso e l’uscita dell’attenuatore in
taratura dovuta al non perfetto isolamento;
δLia,δLib - correzioni dovute alla limitata risoluzione dell’attenuatore campione alle
impostazioni di 0 dB e 30 dB;
δL0a,δL0b - correzioni dovute alla limitata risoluzione del rivelatore di zero alle
impostazioni di 0 dB e 30 dB.
S7.4
Attenuatore di riferimento (δLS): Il certificato di taratura per l’attenuatore campione
fornisce un valore di attenuazione per l’impostazione 30,000 dB a 10 GHz di 30,003 dB
con un’incertezza estesa associata di 0,005 dB (fattore di copertura k = 2). La correzione
di + 0,003 dB con un’incertezza estesa associata di 0,005 dB (fattore di copertura k = 2)
è considerata valida per impostazioni di attenuazione dell’attenuatore di riferimento che
non differiscano più di ± 0,1 dB dall’impostazione tarata di 30,000 dB.
S7.5
Deriva del riferimento (δLD): La deriva di attenuazione dell’attenuatore di riferimento
dall’ultima taratura è stimata dalla sua storia di taratura pari a 0 con limiti ± 0,002 dB.
S7.6
Perdita per disadattamento (δLM): I coefficienti di riflessione della sorgente e del
carico nel punto d’inserzione dell’attenuatore in taratura sono stati ottimizzati adattando
l’impedenza a valori più bassi possibile. I loro valori e i valori dei coefficienti di
dispersione dell’attenuatore in taratura sono stati misurati ma la loro fase rimane
incognita. Senza alcuna informazione sulla fase, non può essere apportata correzione per
l’errore di disadattamento, ma l’incertezza tipo (in dB) dovuta all’incompleta
conoscenza dell’adattamento si stima dalla relazione [1]:
u(δLM)=
8,686
2
ΓS2 ( S112 a + S112 b ) + ΓL2 ( S 222 a + S 222 b ) + ΓS2 ⋅ ΓS2 ⋅ ΓL2 ( S 214 a + S 214 b ) (S7.2)
con i coefficienti di riflessione ΓL = 0,03 e ΓS = 0,03
e i coefficienti di dispersione dell’attenuatore in taratura a 10 GHz
0dB
30dB
S11 0,05
0,09
S22 0,01
0,01
S21 0,95
0,031
per cui u(δLM)= 0,02 dB.
Nota: I valori dei coefficienti di dispersione e riflessione sono risultati di misura
soggetti a loro volta ad incertezza. Di ciò si tiene conto aggiungendo la radice
quadrata della somma dell’incertezza di misura al quadrato e il valore di misura al
quadrato.
S7.7
Correzione per la dispersione (δLK): I segnali di dispersione attraverso l’attenuatore in
taratura sono stati stimati dalle misure ad una impostazione di 0 dB essere almeno
100 dB al di sotto il segnale di misura. La correzione per i segnali di dispersione è
stimata essere compresa tra ± 0,003 dB all’impostazione di 30 dB.
S7.8
Risoluzione dell’impostazione dell’attenuatore di riferimento (δLia,δLib): Il display
di it l d ll’ tt
t
i
h
i l i
0 001 dB d
il
i
Dicembre 1999
pag. 46 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
digitale dell’attenuatore campione ha una risoluzione 0,001 dB da cui la correzione per
la risoluzione viene stimata entro ± 0,0005 dB.
S7.9
Risoluzione del rivelatore di zero (δLi0a,δL0b): La risoluzione del rivelatore è stata
determinata precedentemente avente una deviazione standard di 0,002 dB ad ogni
lettura assumendo una distribuzione di probabilità normale.
S7.10 Correlazione: Le grandezze d’ingresso sono scorrelate.
S7.11 Misure (LS): Sono state eseguite quattro misure di perdita incrementale dell’attenuatore
in taratura fra le impostazioni di 0 dB e 30 dB:
n. osserv.
1
2
3
4
Valori a
Impost. 0 dB
Impost. 30 dB
0,000 dB
30,033 dB
0,000 dB
30,058 dB
0,000 dB
30,018 dB
0,000 dB
30,052 dB
Media aritmetica
LS = 30,040 dB
scarto tipo sperimentale:
s(LS) = 0,18 dB
Incertezza tipo:
u(LS)=s( LS )=
S7.12 Bilancio delle incertezze (LX):
Grandezza
Stima
Incertezza
tipo u(xi)
Xi
xi
4
= 0,009 dB
δLD
30,040 dB
0,003 dB
0,0090 dB
0,0025 dB
normale
rettangolare
Coeffic. di
sensibilità
ci
1,0
1,0
δLS
0 dB
0,0011 dB
a forma di U
1,0
0,0011 dB
δLM
0 dB
0,0200 dB
a forma di U
1,0
0,0200 dB
δLK
0 dB
0,0017 dB
a forma di U
1,0
0,0017 dB
δLia
0 dB
0,0003 dB
a forma di U
- 1,0
- 0,0003 dB
δLib
0 dB
0,0003 dB
rettangolare
1,0
0,0019 dB
δLi0a
0 dB
0,0020 dB
rettangolare
- 1,0
0,0020 dB
δL0b
LX
0 dB
0,0020 dB
normale
1,0
- 0,0020 dB
LS
Distrib. di
probabilità
0,18 dB
30,043 dB
Contributo
d’incertezza
ui(y)
0,0090 dB
0,0025 dB
0,0224 dB
S7.13 Incertezza estesa
U = k × u(LX) = 2 × 0,0224 dB ≅ 0,045 dB
Dicembre 1999
pag. 47 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
S7.14 Risultato di misura
Il valore misurato dell’attenuatore a passo ad un’impostazione di 30 dB a 10 GHz è
(30,043 ± 0,045) dB.
L’incertezza estesa riportata è stata determinata come incertezza tipo composta
moltiplicata per il fattore di copertura k = 2, che per una distribuzione normale
corrisponde ad un livello di fiducia di circa il 95 %.
S7.15 Bibliografia
[1] Harris, I.A. ;Warner, F. L. :Re-examination of mismatch uncertainty when
measuring microwave power and attenuation. In IEE Proc., Vol. 128, Pt H,No 1, Febr.
1981.
Dicembre 1999
pag. 48 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
SUPPLEMENTO 2
Esempi
S8 INTRODUZIONE
S9 TARATURA DI UN MULTIMETRO PALMARE ALLA TENSIONE
CONTINUA DI 100 V
S10 TARATURA DI UN CALIBRO A NONIO
S11 TARATURA DI UN CALIBRATORE DI TEMPERATURA A BLOCCO
ALLA TEMPERATURA DI 180°C
S12 TARATURA DI UN MISURATORE DI ACQUA DOMESTICO
S13 TARATURA DI UN ANELLO CAMPIONE CON UN DIAMETRO
NOMINALE
DI 50 mm
Dicembre 1999
pag. 49 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
S8
INTRODUZIONE
S8.1
Gli esempi seguenti sono scelti per mostrare ulteriormente il metodo di valutazione
dell’incertezza di misura. Essi si aggiungono agli esempi presentati nel
Supplemento 1 del doc EA-4/02. La presente serie di esempi si focalizza su
situazioni dove ci sono uno o due termini dominanti nella propagazione
dell’incertezza o dove il numero di misure ripetute è piccolo.
S8.2
Gli esempi sono scelti per illustrare situazioni incontrate nella pratica. Dovrebbe
essere comunque enfatizzato che in applicazioni pratiche non è necessario
effettuare le derivate matematiche presentate in questi esempi, in particolare nelle
note matematiche in appendice ad alcuni esempi. Piuttosto, l’utilizzatore è
incoraggiato ad utilizzare delle presentazioni teoriche dopo che egli stesso abbia
familiarizzato con le condizioni a cui si deve attenere. Per esempio, se viene
accertato che in una data situazione il risultato di misura ha una distribuzione
rettangolare (come sarebbe quando c’è un solo termine, distribuito
rettangolarmente, che è necessario considerare nella propagazione), si può
immediatamente arrivare alla conclusione che il fattore di copertura da usare per
arrivare ad un livello di fiducia del 95% è k = 1,65 (vedi S9.14).
S8.3
Una conclusione generale che può essere ottenuta dalla propagazione
dell’incertezza è che nel caso di un solo contributo prevalente il tipo di
distribuzione di questo contributo si applica anche al risultato di misura.
Comunque, per valutare l’incertezza di misura, deve essere deve essere utilizzato il
coefficiente di sensibilità appropriato.
S8.4
Bisognerebbe aggiungere che la situazione in cui ci sono uno o pochi termini
dominanti nell’incertezza di misura viene spesso incontrata in connessione con
strumenti di misura meno complicati, dove il termine prevalente spesso è dovuto
alla limitata risoluzione dello strumento. Ciò potrebbe apparire un paradosso che il
trattamento dell’incertezza di misura per strumenti di misura meno complicati,
come mostrato dagli esempi di questo Supplemento, è più complesso del
trattamento dei più avanzati esempi nel Supplemento 1. Comunque bisognerebbe
considerare che le derivate matematiche, che potrebbero essere sentite come delle
complicazioni, sono inserite per ragioni pedagogiche nelle situazioni in cui sono
necessarie invece di presentarle nel documento principale.
S8.5
Gli esempi sono basati su bozze preparate da Gruppi di Esperti EA. Queste bozze
sono state semplificate e armonizzate per renderle comprensibili per gli operatori
di laboratorio in tutti i campi di applicazione. Si spera così che questo gruppo di
esempi, come i precedenti pubblicati come Supplemento 1, contribuiranno a una
migliore comprensione dei dettagli dell’impostazione di un modello di valutazione
e all’armonizzazione del processo di valutazione dell’incertezza di misura,
indipendentemente dal settore di misura.
S8.6
I contributi e i valori dati negli esempi non rappresentano requisiti prescrittivi o
preferenziali. I laboratori dovrebbero determinare i contributi d’incertezza sulla
base del modello che usano nella valutazione della particolare taratura effettuata e
riportare l’incertezza di misura valutata nel certificato di taratura che emettono.
S8.7
La presentazione degli esempi segue lo schema comune presentato e applicato nel
primo supplemento. Per i dettagli il lettore è rimandato al punto S1.4 di quel
Dicembre 1999
pag. 50 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
documento
S8.8
L’analisi dell’incertezza degli esempi intende rappresentare i fondamenti dello
specifico processo di misura e il metodo di valutazione del risultato di misura e
l’incertezza di misura associata. Per rendere l’analisi trasparente, anche per coloro
che non sono esperti nel campo di misura pertinente, è stato scelto un metodo
uniforme per la scelta dei simboli delle grandezze, basato più sull’esperienza fisica
che sulla pratica corrente in diversi campi.
S8.9
Ci sono parecchie grandezze ricorrenti considerate in tutti i casi. Una di esse è il
misurando, vale a dire la grandezza da misurare, un’altra è la grandezza
rappresentata dal campione di lavoro che realizza l’unità locale; il misurando viene
confrontato con questa grandezza. Oltre a queste due grandezze ce ne sono
parecchie altre, in tutti i casi, che assumono il ruolo di grandezze locali addizionali
o di correzioni.
S8.10 Le correzioni descrivono l’imperfetta uguaglianza tra un misurando e il risultato di
una misura. Alcune delle correzioni sono date da completi risultati di misura, vale
a dire un valore di misura e l’incertezza di misura ad esso associata. Per altre la
distribuzione dei valori si deduce da una maggiore o minore conoscenza della loro
natura. Nella maggioranza dei casi ciò porterà ad una stima dei limiti per le
deviazioni incognite.
S8.11 In certi casi la grandezza rappresentata da un campione di lavoro è caratterizzata
dal valore nominale del campione. Così i valori nominali, che generalmente
caratterizzano o identificano gli artefatti di taratura, spesso entrano nell’analisi
dell’incertezza.
S8.12 Per distinguere i modelli matematici di valutazione da questi concetti, gli esempi
sono stati definiti seguendo le regole di scrittura fornite più avanti. E’ evidente
comunque, che non è possibile seguire tali regole strettamente perché la prassi
concernente l’uso di simboli è diversa nei diversi settori metrologici.
S8.13 La notazione applicata in questa sede distingue tra valori principali, valori
nominali, valori di correzione e valori di limiti:
I valori principali sono valori misurati od osservati che contribuiscono in modo
essenziale al valore del misurando. Sono rappresentati da lettere minuscole in
corsivo; saranno preceduti da una delta greca maiuscola se la grandezza costituisce
una differenza.
ESEMPIO:
tiX - temperatura indicata da un termometro X in taratura (l’indice i significa
indicata),
∆l - differenza osservata nello spostamento di un alberino di misura.
I valori nominali sono valori assegnati della realizzazione di una grandezza da un
campione od uno strumento di misura. Sono valori approssimati che forniscono la
parte principale del valore realizzato. Sono rappresentati da lettere maiuscole in
corsivo.
ESEMPIO:
L - lunghezza nominale di un blocchetto di misura in taratura.
Dicembre 1999
pag. 51 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
I valori di correzione forniscono piccole deviazioni dai valori principali che sono
noti o devono essere stimati. Nella maggior parte dei casi sono termini addizionali.
Sono rappresentati dal simbolo scelto per la grandezza in considerazione, preceduti
da una delta greca minuscola.
ESEMPIO:
δmD - possibile deviazione dovuta alla deriva di una massa campione dall’ultima
taratura;
δmC - correzione per l’eccentricità del carico e per gli effetti magnetici nella
taratura di una massa.
I valori dei limiti sono fissi, valori stimati di possibili variazioni dei valori
incogniti di una grandezza. Sono rappresentati dal simbolo scelto per la grandezza
in considerazione, preceduti da una delta greca maiuscola
ESEMPIO:
∆αX - semi-ampiezza stimata dell’intervallo di possibili deviazioni di un
coefficiente lineare di resistività termica dato nella specifica del costruttore per un
resistore in taratura.
La differenziazione tra diverse grandezze dello stesso tipo viene effettuata con
indici come mostrato negli esempi. Sono state seguite le regole accettate
internazionalmente per le grandezze fisiche: gli indici che rappresentano le
grandezze fisiche sono fornite in corsivo mentre gli indici che simboleggiano gli
artefatti, strumenti e così via sono scritti con lettere normali, non in corsivo.
S8.14 Valori di riferimento sono rappresentati da un simbolo di quantità con l’indice
zero.
ESEMPIO:
p0 - pressione di riferimento, ed es. di 1000 mbar.
S8.15 I rapporti delle grandezze dello stesso tipo (rapporti adimensionali) sono
rappresentati da lettere minuscole in corsivo.
ESEMPIO:
r = RiX / RiN - rapporto della resistenza indicata di un resistore incognito e di
quello in taratura (l’indice i significa indicato).
S8.16 Se si usano parecchi indici, la sequenza degli indici è scelta in modo che l’indice
che rappresenta il concetto più generale è posto a sinistra mentre che l’indice che
rappresenta il concetto più specifico è posto a destra.
ESEMPIO:
Vi1, Vi2 - tensione indicata dal voltmetro “1” e “2” rispettivamente.
S8.17 Si intende che gli esempi in questo secondo Supplemento al doc EA-4/02 siano
seguiti da altri, che illustrino i diversi aspetti connessi alla taratura di strumenti di
1
Dicembre 1999
pag. 52 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
misura. Si possono trovare esempi anche nei documenti guida EA1 che si
riferiscono alla taratura di specifici tipi di strumenti di misura.
S9
TARATURA DI UN MULTIMETRO NUMERALE DI TIPO PALMARE
ALLA TENSIONE CONTINUA DI 100 V
S9.1
Come parte di una taratura generale, un multimetro numerale di tipo palmare
(DMM) viene tarato sul punto 100V in tensione continua usando un calibratore
multifunzione come campione di lavoro. Viene usata la seguente procedura di
misura:
(1) i morsetti di uscita del calibratore sono connessi ai morsetti d’ingresso del
multimetro usando opportuni cavi di misura:
(2) il calibratore viene impostato a 100 V e, dopo un adeguato periodo di
stabilizzazione, viene annotata la lettura del multimetro;
l’errore di indicazione del multimetro si calcola utilizzando le letture del
multimetro e le impostazioni del calibratore.
S9.2
Bisogna notare che l’errore di indicazione del multimetro che si ottiene usando
questa procedura di misura include gli effetti di offset e le deviazioni dalla
linearità.
S9.3
L’errore di indicazione EX del multimetro in taratura si ottiene da:
EX = ViX - VS + δViX - δVS
(S9.1)
dove:
ViX - tensione, indicata dal multimetro (l’indice i significa indicazione);
VS - tensione generata dal calibratore;
δViX - correzione della tensione indicata dovuta alla risoluzione del multimetro;
δVS – correzione della tensione del calibratore dovuta a:
(1) deriva dall’ultima taratura;
(2) deviazioni risultanti dall’effetto combinato dell’offset, della non linearità
e delle differenze nel guadagno;
(3) deviazioni dovute alle variazioni della temperatura ambiente;
(4) deviazioni dovute alle variazioni della alimentazione di rete;
effetti di carico dovuti al fatto che l’impedenza d’ingresso del multimetro in
taratura ha un valore non infinito.
S9.4
1
A causa della limitata risoluzione dell’indicazione del multimetro non si osserva
dispersione dei valori indicati.
EA-10/02 Calibration of pressure balances (ex EAL-G26),
EA-10/08 Calibration of thermocouples (ex EAL-G31),
EA-10/09 Measurement and generation of small ac voltage with inductive voltage dividers (ex
EAL-G32),
EA-10/10: Guidelines on the Determination of Pitch Diameter of Parallel Thread gauges by
Mechanical Probing.
Dicembre 1999
pag. 53 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
S9.5
Letture del multimetro(ViX): Il multimetro indica una tensione di 100,1 V con
l’impostazione del calibratore a 100 V. Si assume che la lettura del multimetro sia
esatta (vedi S9.4).
S9.6
Campione di lavoro (VS): Il certificato di taratura del calibratore multifunzione
definisce che la tensione generata è il valore indicato dall’impostazione del
calibratore e che l’incertezza estesa relativa associata è W = 0,000 02 (fattore di
copertura k = 2), ne risulta che essere l’incertezza estesa, associata
all’impostazione 100 V, è di U = 0,002 V (fattore di copertura k = 2).
S9.7
Risoluzione del multimetro in taratura (δViX): La cifra meno significativa del
display del multimetro corrisponde a 0,1 V. Ogni lettura del multimetro ha una
correzione che si stima essere 0,0 V con limiti ± 0,05 V (che è la metà della
grandezza della cifra meno significativa).
S9.8
Altre correzioni (δVS): Per il fatto che non sono disponibili i comportamenti
individuali, l’incertezza di misura associata con le diverse sorgenti viene ottenuta
dalla specifica di accuratezza date dal costruttore del calibratore. Queste specifiche
indicano che la tensione generata dal calibratore coincide con l’impostazione entro
± (0,000 1⋅ VS + 1 mV) 2 nelle condizioni di misura:
(1) la temperatura ambiente nel campo da 18°C a 23 °C
(2) la tensione di rete che alimenta il calibratore è nel campo da 210 V a 250 V,
(3) il carico resistivo ai morsetti del calibratore è superiore a 100 kΩ,
(4) il calibratore è stato tarato nell’ultimo anno.
Siccome sono soddisfatte queste condizioni di misura e la storia di taratura del
calibratore mostra che la specifica del costruttore può essere ritenuta affidabile, si
assume che la correzione da applicare alla tensione generata dal calibratore sia
0,0 V ± 0,011 V.
S9.9
Le grandezze d’ingresso sono scorrelate.
S9.10 Bilancio delle incertezze (EX):
Grandezza
Xi
ViX
VS
δViX
δVS
EX
Stima
xi
100,1 V
100,0 V
0,0 V
Incertezza
tipo u(xi)
0,001 V
0,029 V
0,0 V
0,0064 V
0,1 V
Distrib. di
probabilità
normale
rettangolare
Coeffic. di
sensibilità ci
- 1,0
1,0
Contributo
d’incertezza ui(y)
- 0,001 V
0,029 V
rettangolare
- 1,0
- 0,0064 V
0,030 V
S9.11 Incertezza estesa
L’incertezza tipo di misura associata con il risultato è chiaramente dominata
dall’effetto della risoluzione del multimetro. La distribuzione finale non è normale
ma essenzialmente rettangolare. Quindi, il metodo dei gradi di libertà effettivi
descritto nell’allegato E del doc EA-4/02 non è applicabile. Il fattore di copertura
appropriato per una distribuzione rettangolare si calcola dalla relazione data in eq.
Dicembre 1999
pag. 54 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
(S9.8) nella nota matematica S9.14.
U = k⋅u(EX) = 1,65⋅0,030 V ≅ 0,05 V.
S9.12 Risultato di misura
L’errore di indicazione misurato del un multimetro numerale di tipo palmare a 100
V è (0,10 ± 0,05) V.
L’incertezza estesa riportata è stata determinata come incertezza tipo composta
moltiplicata per il fattore di copertura k = 1,65 che è stato derivato dalla
distribuzione rettangolare per un livello di fiducia di circa il
95 %.
S9.13 Considerazione addizionale
Il metodo usato per calcolare il fattore di copertura è chiaramente legato al fatto
che l’incertezza di misura associata al risultato è dominata dall’effetto della
risoluzione del multimetro. Ciò sarà vero per la taratura di strumenti di misura ad
indicazione purché la risoluzione finita sia la sola sorgente prevalente nel bilancio
delle incertezze.
S9.14 Nota matematica: se la situazione di misura è tale che uno dei contributi
d’incertezza nel bilancio può essere indicato come termine prevalente, per esempio
il termine con indice 1, l’incertezza tipo associata con il risultato di misura y può
essere scritta come:
u(y) =
u12 ( y ) + u R2 ( y ) .
Il termine: u R ( y ) =
N
∑u
t =2
(S9.3)
2
t
( y ) indica il contributo totale all’incertezza dei termini
non prevalenti. Fino a che il rapporto dell’incertezza totale dovuta ai termini non
prevalenti e del contributo d’incertezza totale u1(y) del termine prevalente non è
maggiore di 0,3, (eq. S9.2) può essere approssimata da:
1 u ( y) 2
u ( y ) ≅ u1 ( y ) ⋅ [1 + ( R
) ].
2 u1 ( y )
(S9.4)
L’errore relativo di approssimazione è inferiore a 1 × 10-3. Il massimo
cambiamento relativo nell’incertezza tipo che risulta dal fattore tra parentesi in
(S9.4) non è superiore al 5 %. Questo valore è entro la tolleranza accettata per
l’arrotondamento matematico dei valori d’incertezza.
Con queste supposizioni, la distribuzione dei valori che possono essere
ragionevolmente attribuiti al misurando è essenzialmente identica alla
distribuzione risultante dal contributo noto prevalente. Da questa distribuzione di
probabilità ϕ(y) la probabilità di copertura p può essere determinata per ogni valore
dell’incertezza estesa di misura U dalla relazione integrale:
p(U ) = ∫
y +U
y −U
ϕ ( y ' dy '
(S9.5)
L’inversione di questa relazione per una data probabilità di copertura risulta nella
relazione tra l’incertezza estesa di misura e la probabilità di copertura U = U(p) per
Dicembre 1999
pag. 55 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
la data distribuzione ϕ(y). Usando questa relazione, il fattore di copertura può
essere alla fine espresso come:
k ( p) =
U ( p)
u( y)
(S9.6)
Nel caso del voltmetro numerale di tipo palmare il contributo prevalente
d’incertezza che risulta dalla risoluzione dell’indicazione è uδVx(EX) = 0,029 V
mentre l’incertezza totale dei termini non dominanti è uR(EX) = = 0,0064 V. Il
corrispondente rapporto è uR(EX) / uδVx(EX) = 0,22. Così la distribuzione risultante
dei valori che possono essere ragionevolmente attribuiti come errori di indicazione
è sostanzialmente rettangolare. La probabilità di copertura per una distribuzione
rettangolare è linearmente correlata all’incertezza estesa di misura (essendo a la
semi-ampiezza della distribuzione).
p=
U
a
(S9.7)
Risolvendo questa relazione per l’incertezza estesa U e inserendo il risultato
insieme all’espressione dell’incertezza tipo di misura relativa ad una distribuzione
rettangolare è data dall’eq. (3.8) del documento EA-4/02 alla fine si ha la
relazione:
k(p) = p 3
(S9.8)
Per una probabilità di copertura p = 95% applicata in ambito EA, il fattore di
copertura pertinente è così k = 1,65.
S10
TARATURA DI UN CALIBRO A NONIO
S10.1 Un calibro a nonio fatto d’acciaio è tarato contro dei blocchetti piano paralleli di
misura in acciaio, di grado I, usati come campioni di lavoro. Il campo di misura del
calibro è 150 mm. L’intervallo di lettura del calibro è 0,05 mm (la scala principale
è 1 mm mentre l’intervallo di scala del nonio è 1/20 mm). Si usano nella taratura
parecchi blocchetti di misura con lunghezze nominali nel campo 0,5 – 150 mm.
Sono scelti in modo che i punti di misura siano spaziati pressappoco a distanze
uguali (es. 0,0 mm, 50 mm, 100 mm, 150 mm) ma diano valori diversi sulla scala
del nonio(es. 0,0 mm, 0,3 mm, 0,6 mm, 0,9 mm). L’esempio riguarda il punto di
taratura a 150 mm per misure di dimensioni esterne. Prima della taratura vengono
eseguite parecchie prove della condizione del calibro. Queste includono la
dipendenza del risultato di misura dalla distanza dell’oggetto misurato dall’asse
dello strumento (errore di Abbe), qualità delle facce di misura delle ganasce
(piattezza, parallelismo, quadratura), e funzione del meccanismo di blocco.
S10.2 L’errore di indicazione EX del calibro alla temperatura di riferimento t0 = 20°C si
ottiene dalla relazione:
EX = liX - lS +LS⋅ α ⋅∆t + δliX + δlM
dove:
liX - indicazione del calibro;
Dicembre 1999
pag. 56 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
lS - lunghezza dell’attuale blocchetto di misura;
LS - lunghezza nominale dell’attuale blocchetto di misura;
α
- coefficiente medio di espansione termica del calibro e del blocchetto di
misura;
∆t - differenza di temperatura tra il calibro e il blocchetto di misura;
δliX - correzione dovuta alla risoluzione finita del calibro;
δlM - correzione dovuta ad effetti meccanici, come la forza di misura applicata, gli
errori di Abbe, gli errori di piattezza e parallelismo delle facce di misura.
S10.3 Campioni di lavoro (lS, LS): Le lunghezze dei blocchetti di misura di riferimento
usati come campioni di lavoro, con le loro incertezze estese di misura associate
sono date nel certificato di taratura. Questo certificato conferma che i blocchetti di
misura soddisfano i requisiti per i blocchetti di grado I previsti dalla ISO 3650,
vale a dire che la lunghezza centrale dei blocchetti di misura coincide entro ± 0,8
µm con la lunghezza nominale. Per le effettive lunghezze dei blocchetti si usano le
loro lunghezze nominali senza correzione, assumendo i limiti di tolleranza come
limiti superiore ed inferiore di variabilità.
S10.4 Temperatura ( α , ∆t): Dopo un opportuno tempo di stabilizzazione, le
temperature del calibro e del blocchetto sono uguali entro ± 2 °C. Il coefficiente
medio di espansione termica è 11,5⋅10-6°C-1. (l’incertezza nel coefficiente medio di
espansione termica e nella differenza dei coefficienti di espansione termica non è
stata presa in considerazione; la sua influenza è considerata trascurabile per il caso
presente. (Cf. EA-4/02-S1, esempio S4.)
S10.5 Risoluzione del calibro (δliX): L’intervallo della scala del nonio è 0,05 mm. Così
si stima che le variazioni dovute alla risoluzione abbiano limiti rettangolari di
± 25 µm.
S10.6 Effetti meccanici (δlM): Questi effetti includono la forza di misura applicata,
l’errore di Abbe e il gioco tra il braccio orizzontale e le ganasce di scorrimento.
Effetti addizionali possono essere causati dal fatto che le facce di misura delle
ganasce non sono perfettamente piatte, non parallele l’un l’altra e non
perpendicolari al braccio. Per minimizzare lo sforzo, si considera solo il campo
della variazione totale pari a ± 50 µm.
S10.7 Correlazione: Le grandezze d’ingresso sono scorrelate.
S10.8 Misure (liX): La misura viene ripetuta parecchie volte senza rilevare dispersione
nelle osservazioni. Così l’incertezza dovuta alla limitata ripetibilità non fornisce
contributo. Il risultato di misura per il blocchetto da 150 mm è 150,10 mm.
Dicembre 1999
pag. 57 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
S10.9 Bilancio delle incertezze (EX):
Grandezza
Xi
Stima
xi
Incertezza
tipo u(xi)
Distrib. di
probabilità
liX
lS
150,10 mm
150,00 mm
-
rettangolare
∆t
0
0,46 µm
1,15 K
δliX
0
15 µm
δlM
EX
0
29 µm
S10.10
Coeffic. di
sensibilità
ci
- 1,0
-1
Contributo
d’incertezza
ui(y)
-0,46 µm
2,0 µm
rettangolare
1,7 µm K
1,0
rettangolare
1,0
29 µm
rettangolare
0,10 mm
15 µm
33 µm
Incertezza estesa
L’incertezza di misura associata con il risultato è chiaramente dominata
dall’effetto combinato della forza di misura e della risoluzione del nonio. La
distribuzione finale non è normale ma essenzialmente trapezoidale con un
rapporto β = 0,33 della semi-ampiezza della zona di plateau rispetto la semiampiezza dell’intervallo di variabilità. Quindi il metodo dei gradi di libertà
effettivi descritto in EA-4/02, Allegato E, non è applicabile. Il fattore di copertura
k = 1,83 appropriato per questa distribuzione trapezoidale di valori si calcola
dall’eq. (S10.10) della nota matematica S10.13. Così:
U = k × u(EX) = 1,83 × 0,033 mm ≅ 0,06 mm
S10.11
Risultato di misura
A 150 mm l’errore di indicazione misurato del calibro è (0,10 ± 0,06) mm.
L’incertezza estesa riportata è stata determinata come incertezza tipo composta
moltiplicata per il fattore di copertura k = 1,83 che è stato derivato dalla supposta
distribuzione trapezoidale per un livello di fiducia di circa il
95 %.
S10.12
Considerazione addizionale
Il metodo usato per calcolare il fattore di copertura è chiaramente legato al fatto
che l’incertezza di misura associata con il risultato è dominato da due influenze:
gli effetti meccanici e la risoluzione della scala del nonio. Per cui l’assunzione di
una distribuzione normale per la grandezza d’uscita non è giustificata e si
applicano le condizioni di EA-4/02, paragrafo 5.6. Nel senso che le probabilità e
le densità di probabilità in pratica possono essere determinate entro il 3 %÷ 5%,
la distribuzione è essenzialmente trapezoidale, ottenuta dalla composizione di due
distribuzioni rettangolari associate ai contributi dominanti. Le semi-ampiezze
della base e della sommità del trapezoide simmetrico risultante sono 75 µm e 25
µm, rispettivamente. Il 95% dell’area del trapezoide è attorniata da un intervallo
di ± 60 µm attorno al suo asse di simmetria, corrispondente a k = 1,83.
Dicembre 1999
pag. 58 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
S10.13
Nota matematica
Se la situazione di misura è tale che due dei contributi d’incertezza nel bilancio
possono essere identificati come termini dominanti, si può applicare il metodo
presentato in S9.14 quando i due contributi prevalenti, per esempio i termini con
indici 1 e 2, sono combinati in un unico termine dominante. L’incertezza tipo da
associare al risultato di misura y può essere scritta in questo caso come
u ( y ) = u 02 ( y ) + u R2 ( y )
(S10.2)
dove: u 0 ( y ) = u12 ( y ) + u 22 ( y )
(S10.3)
indica il contributo composto di queste due termini prevalenti e
N
∑u
u R ( y) =
i =3
2
i
( y)
(S10.4)
il contributo totale d’incertezza dei termini rimanenti non prevalenti. Se i due
contributi prevalenti originano da distribuzioni rettangolari di valori con semiampiezze a1 e a2, la distribuzione che risulta componendole è una distribuzione
simmetrica trapezoidale con semi-ampiezze:
a = a1 + a 2
e
b = a1 − a 2
(S10.5)
della base e della sommità, rispettivamente (vedi esempio in fig. 1). La
distribuzione può essere convenientemente espressa nella forma unificata:

1
y < β⋅a

y
1
 1
ϕ( y ) =
×
(1 − ) β ⋅ a ≤ y ≤ a
a(1 + β) 1 − β
a
0
a< y

(S10.6)
con il parametro di margine
β=
b a1 − a 2
=
a a1 + a 2
(S10.7)
La radice quadrata dell’incertezza tipo di misura dedotta dalla distribuzione
trapezoidale di eq. (S10.6) è
u 2 ( y) =
a2
(1 + β 2 )
6
(S10.8)
Usando la distribuzione eq. (S10.6) la dipendenza del fattore di copertura sulla
probabilità di copertura si deriva secondo il metodo abbozzato in S9.14.
Dicembre 1999
pag. 59 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
Fig.1: Distribuzione di probabilità unificata simmetrica trapezoidale con il valore
β = 0,33 del parametro di margine risultante dalla composizione di due
distribuzioni rettangolari
k ( p) =
1
1+ β 2
6
p (1 + β)


2
⋅ ×
1 − (1 − p)(1 − β 2

p
<β
2− p
p
β≤
2− p
(S10.9)
La fig. 2 mostra la dipendenza del fattore di copertura k nel valore del parametro
di margine β per un livello di fiducia del 95%.
Fig.2: dipendenza del fattore di copertura k sul valore del parametro di margine β
di una distribuzione trapezoidale per un livello di fiducia del 95%.
Il fattore di copertura per un livello di fiducia del 95% appropriato per una
distribuzione trapezoidale con un parametro di margine β < 0,95 si calcola dalla
Dicembre 1999
pag. 60 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
relazione:
k=
1 − (1 − p)(1 − β 2 )
(S10.10)
1+ β 2
6
S11
TARATURA DI UN BLOCCO CALIBRATORE DI TEMPERATURA
ALLA TEMPERATURA DI 180°C 2
S11.1
Come parte della taratura, si misura la temperatura, che deve essere assegnata alla
taratura del tubo interno di un blocco calibratore di temperatura. Ciò viene
eseguito quando l’indicatore di temperatura si è stabilizzato a 180,0°C. La
temperatura del tubo interno di taratura viene determinata inserendo un
termometro a resistenza di platino, usato come campione di lavoro, misurando la
resistenza del termometro con un ponte in corrente alternata. La temperatura tX,
che deve essere assegnata come temperatura del tubo interno quando la lettura
dell’indicatore interno di temperatura è 180,0°C, è data da:
tX = tS
(S11.1)
+
δtS
+
δtD
-
δtiX
+
δtR
+
δtA
+
δtH
+
δtV
dove:
tS
δtS
- temperatura del campione di lavoro derivata dalle misure di resistenza in
corrente alternata;
-
correzione di temperatura dovuta alle misure di resistenza in corrente
alternata;
δtD - correzione di temperatura dovuta alla deriva del campione di lavoro
dall’ultima taratura;
δtiX - correzione di temperatura dovuta alle limitazioni d’impostazione del blocco
calibratore di temperatura;
δtR - correzione di temperatura dovuta alla differenza radiale di temperatura tra il
termometro interno e il campione di lavoro;
δtA - correzione di temperatura dovuta alla disomogeneità assiale di temperatura
nel tubo interno;
δtH - correzione di temperatura dovuta all’isteresi nei tratti di aumento e
diminuzione del ciclo di misura;
δtV - correzione di temperatura entro il tempo della misura.
2 Un esempio simile si può trovare nella guida EA-10/13 Calibration of temperature block calibrators, Esso
è stato incluso qui, in forma semplificata, per indicare si assegni un valore all’indicazione di uno strumento
di misura in un processo di taratura. Questo processo è basilare per le tarature in settori metrologici differenti
e, quindi, di interesse generale. L’esempio, inoltre, dimostra che ci sono due modi equivalenti per trattare
questo problema: assegnare direttamente il valore all’indicazione dello strumento e associare una correzione
all’indicazione, normalmente chiamata errore di indicazione.
Dicembre 1999
pag. 61 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
Correzioni di temperature dovute alla conduzione dello stagno non sono
considerate, siccome il termometro a resistenza di platino usato come campione
di lavoro ha un diametro esterno d ≤ 6 mm. Prove precedenti hanno mostrato che
gli effetti della conduzione dello stagno possono essere trascurati in questo caso.
S11.2
Campione di lavoro (tS): Il certificato di taratura del termometro a resistenza
usato come campione di lavoro fornisce la relazione tra la resistenza e la
temperatura. Il valore di resistenza misurato corrisponde a una temperatura di
180,1°C con un’incertezza estesa associata di U = 30mK (fattore di copertura
k = 2).
S11.3
Determinazione della temperatura mediante misure di resistenza (δtS): La
temperatura del termometro a resistenza usato come campione di lavoro è
determinata pari a 180,1°C. L’incertezza tipo associata con la misura di
resistenza convertita in temperatura corrisponde a u(δtS) = 10 mK.
S11.4
Deriva di temperatura del campione di lavoro (δtD): Dall’esperienza generale
coi termometri a resistenza di platino del tipo usato come campione di lavoro
nella misura, il cambiamento di temperatura dovuto all’invecchiamento di
resistenza dall’ultima taratura del campione si stima essere compreso nei limiti
± 40mK.
S11.5
Impostazione del calibratore a blocco (δtiX): Il termometro di controllo posto
all’interno del calibratore di temperatura a blocco ha un intervallo di scala di
0,1 K. Questo fornisce dei limiti di risoluzione di ± 50mK entro il quale lo stato
termodinamico del blocco di temperatura può essere unicamente impostato. 3
S11.6
Disomogeneità radiale di temperatura (δtR): La differenza radiale di
temperatura tra il tubo interno e il termometro interno è stata stimata entro
± 100 mK.
S11.7
Disomogeneità assiale di temperatura (δtA): Gli scostamenti di temperatura
dovuti alla disomogeneità assiale di temperatura nel tubo interno di taratura sono
stati stimati dalle letture per diverse profondità d’immersione essere pari a
± 250 mK.
S11.8
Effetti di isteresi (δtH): Dalle letture del termometro di riferimento durante i
periodi di salita e discesa della temperatura, lo scostamento di temperatura del
tubo interno di temperatura dovuto all’effetto di isteresi è stato stimato pari a
± 50 mK.
S11.9
Instabilità di temperatura (δtV): Le variazioni di temperatura durante il ciclo di
misura di 30 minuti si stimano pari a ± 30mK.
S11.10
Correlazioni: Le grandezze d’ingresso sono scorrelate
S11.11
Osservazioni ripetute: A causa della limitata risoluzione dell’indicazione del
termometro interno non si è osservata e presa in considerazione alcuna
3 Se l’indicazione dell’indicatore interno non è dato in unità di temperatura i limiti di risoluzione possono
essere convertiti in valori di temperatura equivalenti moltiplicando l’indicazione con la pertinente costante
dello strumento.
Dicembre 1999
pag. 62 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
dispersione dei valori indicati.
S11.12
Bilancio delle incertezze (tX):
Grandezza
Xi
Stima
xi
Incertezza
tipo u(xi)
Distrib. di
probabilità
normale
normale
Coeffic. di
sensibilità
ci
1,0
1,0
Contributo
d’incertezza
ui(y)
15 mK
10 mK
tS
δ tS
180,1 °C
0,0 °C
15 mK
10 mK
δ tD
0,0 °C
23 mK
rettangolare
1,0
23 mK
δtiX
0,0 °C
29 mK
rettangolare
-1,0
-29 mK
δtR
0,0 °C
58 mK
rettangolare
1,0
58 mK
δtA
0,0 °C
144 mK
rettangolare
1,0
144 mK
δtH
0,0 °C
29 mK
rettangolare
1,0
29 mK
δtV
tX
0,0 °C
17 mK
rettangolare
1,0
17 mK
S11.13
180,1 °C
164 mK
Incertezza estesa
L’incertezza tipo di misura associata con il risultato è chiaramente dominata
dall’effetto della correzione incognita di temperatura dovuta alla disomogeneità
assiale di temperatura nel tubo interno di misura e la differenza radiale di
temperatura tra il termometro interno e il campione di lavoro. La distribuzione
finale non è normale ma essenzialmente trapezoidale. Secondo S10.13, il fattore
di copertura corrispondente al parametro margine β = 0,43 è k =1,81.
U = k × u(tX) = 1,81 × 164 mK ≅ 0,3 K.
S11.14
Risultato di misura
La temperatura del tubo interno di taratura che deve essere assegnata a
un’indicazione di 180,0 °C del termometro interno è 180,1 °C ± 0,3 °C.
L’incertezza estesa riportata è stata determinata come incertezza tipo composta
moltiplicata per il fattore di copertura k = 1,81 che è stato derivato dalla supposta
distribuzione trapezoidale per un livello di fiducia di circa il
95 %.
S11.15
Nota matematica riguardante il modello.
Alcuni metrologi sono confusi dal fatto che l’indicazione del termometro di
controllo non appare esplicitamente nella funzione modello di eq. (S11.1). Per
venire incontro alle loro esigenze, il problema può essere alternativamente
formulato con l’errore di indicazione
EX = tX - ti
(S11.2)
del misuratore interno di temperatura
EX = tS - ti + δtS + δtD - δtiX + δtR + δtA + δtH + δtV
(S11.3)
Il valore indicato ti è un valore nominale. Il suo effetto è di spostare la scala del
Dicembre 1999
pag. 63 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
misurando. Comunque non contribuisce all’incertezza di misura associata con
l’errore di indicazione.
u(EX) = u(tX)
(S11.4)
La funzione modello di eq. (S11.1) può essere riottenuta dall’eq. (S11.3) usando
la definizione di errore di indicazione di eq. (S11.2). Questa nota mostra che non
c’è necessariamente un’unica via per scegliere il modello di valutazione della
misura. Il metrologo sceglie il modello che si adatta alle sue abitudini ed il suo
approccio al problema. I modelli che possono essere trasformati
matematicamente da uno all’altro rappresentano lo stesso processo di misura. Nei
casi in cui dove è coinvolta una scala continua di valori, come nel caso della
taratura del calibratore di temperatura a blocco citato, i modelli che sono connessi
da trasformazioni in scala lineare possono servire come espressioni equivalenti
del problema di misura.
S12
TARATURA DI UN CONTATORE DI ACQUA DOMESTICO
S12.1
La taratura di un contatore di acqua consiste nella determinazione dell’errore
relativo di indicazione entro il campo di portata applicabile del contatore . La
misura viene fatta usando un dispositivo di prova che eroga il necessario flusso
d’acqua con una pressione di circa 500 kPa, valore tipico al rubinetto per gli
acquedotti municipali . L’acqua viene immessa in un serbatoio aperto che è
stato tarato che consente di determinare il volume di riferimento dell’acqua. Esso
è vuoto ma bagnato all’inizio della misura. Il serbatoio ha un’imboccatura stretta
(collo) su cui è montata una scala con cui può essere misurato il livello di
riempimento. Il contatore in taratura è installato fra il sistema di alimentazione
ed il serbatoio di misura. Ha un contatore meccanico con lancette . La misura
viene fatta ad una portata di 2500 l/h con inizio e fine della misura a portata nulla,
cioè senza flusso d’acqua sia all’inizio sia alla fine della misura. L’indicazione
del contatore viene registrata ad inizio ed a fine misura. Il livello nel serbatoio di
raccolta e misura dell’acqua viene registrato alla fine della misura. La
temperatura e la pressione dell’acqua al contatore, e la temperatura dell’acqua nel
serbatoio di misura sono anch’esse registrate.
S12.2
L’errore relativo di indicazione eX in una singola misura è definito come:
eX =
∆ViX + δViX 2 − δViX 1
−1
VX
(S12.1)
con:
V X = (ViS + δViS )(1 + α S (t S − t 0 ))(1 + α W (t X − t S ))(1 − κ W ( p X − p S ))
(S12.2)
dove:
∆ViX = ViX 2 − δViX 1 - differenza nell’indicazione del contatore ;
ViX1, ViX2
- indicazione del contatore all’inizio e alla fine della misura;
δViX1, δViX2
- correzioni dovute alla risoluzione del contatore;
VX
- volume che attraversa il contatore nelle condizioni prevalenti
vale a dire pressione pX e temperatura tX all’ingresso del
Dicembre 1999
pag. 64 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
contatore ;
ViS
- volume indicato dalla scala applicata al collo del serbatoio di
misura alla fine della misura;
δViS
- correzione del volume indicato dalla scala applicata al collo del
serbatoio di misura dovuta alla risoluzione della scala;
αS
tS
t0
tarato;
αW
– coefficiente cubico di espansione termica del materiale del serbatoio
di misura ;
- temperatura del serbatoio di misura;
– temperatura di riferimento a cui il serbatoio di misura è stato
– coefficiente cubico di espansione termica dell’acqua;
tX
- temperatura dell’acqua all’ingresso del contatore;
κW
- compressibilità dell’acqua;
pS
pX
– pressione dell’acqua nel serbatoio di misura (è zero se si considera
la pressione relativa all’atmosfera)
- pressione dell’acqua all’ingresso del contatore .
S12.3
Serbatoio di misura (ViS, t0): Il certificato di taratura definisce che la scala
applicata al collo indica il volume di 200 l alla temperatura di riferimento t0 =
20°C con associata un’incertezza estesa relativa di 0,1 % (k = 2). L’incertezza
estesa di misura associata al valore di lettura è 0,2 l (k = 2).
S12.4
Risoluzione della scala del serbatoio di misura (δViS): Il livello d’acqua nel
serbatoio può essere determinato entro ± 1 mm. Con il fattore di scala del
serbatoio di 0,02 l/mm il massimo scostamento del volume d’acqua nel serbatoio
rispetto al valore indicato si stima essere entro ± 0,02 l
S12.5
Temperatura dell’acqua e della cisterna (αS, tS): La temperatura dell’acqua nel
serbatoio di misura viene determinata pari a 15 °C entro ± 2 K. I limiti definiti
coprono tutte le possibili sorgenti d’incertezza, come la taratura dei sensori di
temperatura, la risoluzione di lettura e i gradienti di temperatura nel serbatoio . Il
coefficiente cubico di espansione termica del materiale del serbatoio (acciaio) è
desunto da un manuale dei materiali come costante e pari a αS = 51 × 10-6 K-1
nell’intervallo di temperatura considerato. Siccome non esiste una dichiarazione
d’incertezza relativa a questo valore si assume essere noto entro la sua cifra meno
significativa. Scostamenti ignoti si considerano essere entro i limiti di
arrotondamento di ± 0,5 × 10-6 K-1.
S12.6
Temperatura dell’acqua all’ingresso del contatore (αW, tX): La temperatura
dell’acqua all’ingresso del misuratore viene determinata pari a 16°C entro ± 2K. .
I limiti definiti coprono tutte le possibili sorgenti d’incertezza, come i contributi
dovuti alla taratura dei sensori, risoluzione di lettura e piccole variazioni di
temperatura durante un singolo ciclo di misura. Il coefficiente cubico di
espansione termica dell’acqua è desunto da un manuale dei materiali come
costante e pari a αW = 0,15 × 10-3 K-1 nell’intervallo di temperatura considerato.
Dicembre 1999
pag. 65 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
Siccome non esiste una dichiarazione d’incertezza relativa a questo valore si
assume essere noto entro la sua cifra meno significativa. Scostamenti ignoti si
considerano essere entro i limiti di arrotondamento di ± 0,5 × 10-6 K-1.
S12.7
Differenza di pressione dell’acqua tra il contatore ed il serbatoio di
misura( κ W , p X , p S ):
La pressione relativa all’atmosfera dell’acqua fornita all’ingresso del contatore è
di 500 kPa con scostamenti relativi non superiori a ± 10 %. Nel percorso tra
l’imboccatura del contatore ed il serbatoio di misura l’acqua si espande fino ad
una pressione relativa pari a 0 kPa (condizione di pressione atmosferica). La
compressibilità dell’acqua è desunta da un manuale dei materiali come costante e
pari a κ W = 0,46⋅10-6 kPa-1 nell’intervallo di temperatura considerato. Siccome
non esiste una dichiarazione d’incertezza relativa a questo valore si assume
essere noto entro la sua cifra meno significativa. Scostamenti ignoti si
considerano essere entro i limiti di arrotondamento di ± 0,005⋅10-6 kPa-1.
S12.8
Correlazione: Nessuna delle grandezze di ingresso è considerata correlata in
modo significativo ad alcuna altra.
S12.9
Bilancio delle incertezze (VX):
Grandezza
Xi
Stima
xi
Incertezza
tipo u(xi)
Distrib. di
probabilità
ViS
δViS
200,02 l
0,0 l
0,10 l
0,0115 l
αS
tS
51⋅10-6K-1
15 °C
αW
tX
0,15⋅10-3K-1
16 °C
κW
normale
rettangolare
Coeffic. di
sensibilità
ci
1,0
1,0
Contributo
d’incertezza
ui(y)
0,10 l
0,0115 l
0,29⋅10-6K-1
1,15 K
rettangolare
-1000 l⋅K
rettangolare
-0,0198 l⋅K-1
-0,29⋅10-3l
-0,0228 l
0,29⋅10-6K-1
1,15 K
rettangolare
200 l⋅K
rettangolare
-0,0300 l⋅K-1
0,58⋅10-3l
-0,0346 l
0,46⋅10-6kPa-1 2,9⋅10-6 kPa-1
rettangolare
-100 l⋅kPa
-0,29⋅10-3l
rettangolare
-9,2⋅10-6 l⋅kPa-1
-
-0,0027 l
pX
500 kPa
pS
VX
0,0 Pa
199,95 l
29 kPa
-
0,109 l
L’incertezza tipo associata al risultato della misura è chiaramente dominata
dall’indicazione di volume data dalla scala all’imboccatura del serbatoio di
misura. La distribuzione finale non è normale ma essenzialmente rettangolare.
Ciò deve essere tenuto presente nel prosieguo della valutazione dell’incertezza.
S12.10
Indicazione del contatore ( ∆ViX , δViX 2 − δViX 1 ): il contatore d’acqua in taratura
ha una risoluzione di 0,2 l che dà luogo ad uno scostamento massimo non
superiore a ± 0,1 l in entrambe le letture.
Dicembre 1999
pag. 66 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
Bilancio delle incertezze (eX):
S12.11
Grandezza
Xi
Stima
xi
Incertezza
tipo u(xi)
Distrib. di
probabilità
∆ViX
200,0 l
-
δViX1
0,0 l
δViX2
VX
eX
0,000 3
S12.12
nominale
Coeffic. di
sensibilità
ci
-
Contributo
d’incertezza
ui(y)
-
0,058 l
rettangolare
-5,0⋅10-3
-0,29⋅10-3 l
0,0 l
0,058 l
rettangolare
5,0⋅10-3
0,29⋅10-3 l
199,95 l
0,109 l
rettangolare
-5,0⋅10-3
-0,55⋅10-3l
0,68⋅10-3
Ripetibilità del contatore
L’errore relativo di indicazione del contatore di acqua in taratura, determinato ad
una medesima portata di 2500 l/h, mostra una dispersione considerevole. Per
questa ragione l’errore di indicazione viene determinato tre volte. I risultati di
queste tre misure sono trattati come singole osservazioni eXJ nel modello che
determina l’errore medio di indicazione eXav:
indicazione eXav = eX + δeX
(S12.3)
dove:
eX - errore relativo di una singola misura;
δeX- correzione dell’errore relativo di indicazione ottenuta nelle diverse misure
dovuta alla mancanza di ripetibilità del misuratore.
S12.13
Misure (eX)
n.
Errore relativo
di indicazione osservato
1
0,000 3
2
0,000 5
3
0,002 2
Media aritmetica
e X = 0,001
scarto tipo sperimentale:
s(eXJ) = 0,001
Incertezza tipo:
Dicembre 1999
u( e X )=s( e X )=
0,001
3
= 0,00060
pag. 67 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
S12.14
Bilancio delle incertezze (eXav):
Grandezza Stima
xi
Xi
Incertezza tipo u(xi)
eX
0,00 l
0,60⋅10-3
δeX
0
0,68⋅10-3
eXav
0,00 l
S12.15
Gradi
Libertà
νeff
2
∞
10
Distrib. di
probabilità
Coeffic. di
sensibilità
ci
Contributo
d’incert.
ui(y)
normale
1,0
0,60⋅10-3
normale
1,0
0,68⋅10-3
0,91⋅10-3
Incertezza estesa
A causa del basso numero di gradi di libertà dell’incertezza tipo associata
all’errore medio relativo dell’indicazione il fattore di copertura deve essere
modificato secondo la tabella E1.
U = k × u(eXav) = 2,28 × 0,91⋅10-3 ≅ 2⋅10-3
S12.16
Risultato della misura
L’errore medio di indicazione del contatore d’acqua determinato ad un flusso di
2500 l/h è 0,001 ± 0,002
L’incertezza estesa riportata è stata determinata come incertezza tipo composta
moltiplicata per il fattore di copertura k = 2,28 che per una distribuzione t di
Student con un numero effettivo di gradi di libertà νeff = 10 corrispondente ad
un livello di fiducia di circa il 95 %.
S13
TARATURA DI UN ANELLO CAMPIONE CON UN DIAMETRO
NOMINALE 90 mm
S13.1
Un anello di acciaio di diametro interno nominale Di = 90 mm viene tarato
applicando la procedura introdotta in EA-10/06 Extent of Calibration for
Cylindrical Diameter Standards (ex EAL-G29). Si utilizzano un comparatore di
lunghezza del tipo Abbe e un anello di riferimento in acciaio, il cui diametro
interno (DS = 40 mm) differisce in modo significativo dall’anello in taratura. In
questo caso il comparatore di lunghezza e l’anello di riferimento in acciaio
svolgono entrambi il ruolo di campioni di lavoro. Gli anelli sono delicatamente
posti in successione su una tavola a quattro gradi di libertà, che include tutti gli
elementi di posizione per allineare i pezzi in prova. Gli anelli sono toccati in
parecchi punti opposti diametralmente con due bracci a forma di C, fissati
rispettivamente sul mandrino fermo e su quello di misura. I bracci a C sono
muniti di estremità di contatto sferiche. La forza di misura viene generata dalla
tensione di un peso che assicura una forza costante di 1,5 N nominale nell’intero
campo di misura. Il mandrino di misura è rigidamente connesso con l’estremità di
Dicembre 1999
pag. 68 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
una scala lineare in acciaio di risoluzione 0,1 µm. La scala lineare del
comparatore è stata verificata periodicamente per verificare la specifica del
costruttore riguardante il massimo errore permesso.
La temperatura ambiente viene monitorata per mantenere le condizioni
ambientali definite nella procedura di taratura. La temperatura nel volume di
lavoro del comparatore viene mantenuta a 20 °C entro ± 0,5 K. Ci si assicura che
gli anelli e la scala lineare (righello) siano mantenuti nella temperatura
controllata nel corso della taratura.
S13.2
Il diametro dX dell’anello in taratura alla temperatura di riferimento t0 = 20°C si
ottiene dalla relazione:
dX=dS+∆l + δli + δlT + δlP + δlE + δlA
(S13.1)
dove:
dS – diametro dell’anello di riferimento alla temperatura di riferimento;
∆l – differenza osservata nello spostamento del mandrino di misura quando le
estremità di contatto toccano la faccia interna degli anelli in due punti opposti
diametralmente;
δli – correzione per gli errori di indicazione del comparatore;
δlT - correzione dovuta agli effetti di temperatura dell’anello in taratura,
dell’anello di riferimento e della scala lineare del comparatore;
δlP - correzione dovuta al disallineamento assiale delle sonde rispetto alla linea di
misura;
δlE - correzione dovuta alla differenza di deformazione elastica dell’anello in
taratura e quello di riferimento;
δlA - correzione dovuta alla differenza degli errori di Abbe del comparatore
quando si misurano i diametri dell’anello in taratura e di quello di riferimento.
S13.3
Campione di lavoro (dS): il diametro interno dell’anello usato come campione di
lavoro insieme all’incertezza estesa di misura è dato nel certificato di taratura
come 40,0007 mm ± 0,2 µm (fattore di copertura k = 2).
S13.4
Comparatore (δli): le correzioni per gli errori d’indicazione della scala lineare
(righello) sono state determinate dal costruttore e pre-registrate elettronicamente.
I residui sono compresi nelle specifiche del costruttore ± (0,3 µm + 1,5⋅10-6⋅li)
essendo li la lunghezza indicata. Le verifica delle specifiche sono assicurate da
verifiche periodiche. Per l’attuale differenza DX - DS = 50 mm residui incogniti si
stimano entro ± (0,375) µm
Dicembre 1999
pag. 69 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
S13.5
Correzioni di temperatura (δlT): durante la misura si pone attenzione ad
assicurare che l’anello in taratura, quello di riferimento e la scala lineare del
comparatore mantengano la temperatura controllata. Da misure precedenti e
dall’esperienza generale con il sistema di misura si può assicurare che gli
scostamenti di temperatura si mantengono entro ± 0,2 K. La temperatura
ambiente della stanza di misura, comunque, si stima essere entro ± 0,5 K. La
conoscenza sulla misura, tuttavia, è descritta nel modo migliore dallo
scostamento della temperatura ambiente dalla temperatura di riferimento e dagli
scostamenti della temperatura dell’anello in taratura, di quello di riferimento e
della cala lineare del comparatore dalla temperatura ambiente. La correzione δlT
dovuta alle influenze di temperatura è determinata dal modello:
δlT = (DS ⋅(αS-αR) - (DX ⋅(αX-αR))⋅∆tA + DS ⋅αS⋅δtS - DX ⋅αX⋅δtX – (DS - DX)⋅ ⋅αR⋅δtR
(S13.2)
dove:
DX , DS
- diametri nominali dell’anello in taratura e di quello di riferimento;
αX,αR , αS – coefficienti di espansione termica lineare dell’anello in taratura, di
quello di riferimento e della scala lineare (righello) del comparatore;
∆tA = tA⋅- t0 - scostamento della temperatura ambiente della camera di misura
dalla temperatura di riferimento t0 = 20°C;
δtX⋅ δtS⋅, δtR – scostamenti di temperatura dell’anello in taratura, di quello di
riferimento e della scala del comparatore dalla temperatura ambiente;
Poiché i valori attesi delle quattro differenze di temperatura che entrano nell’eq.
(S13.2) sono nulli, la normale versione linearizzata non includerà gli effetti
dell’incertezza di misura associata ai valori dei tre coefficienti di espansione
termica lineare. Come descritto in sez. S4.13 la versione non lineare deve essere
usata per determinare l’incertezza tipo associata ai quattro termini di prodotto:
δlTA = (DS ⋅(αS-αR)- (DX ⋅(αX-αR))⋅∆tA
δlTS = DS ⋅αS⋅δtS
δlTX = DX ⋅αX⋅δtX
(S13.3)
δlTR = (DS - DX) ⋅αR⋅δtR
Si assume che i coefficienti di espansione termica lineare, basati sul certificato di
taratura dell’anello campione, sui dati del costruttore per l’anello in taratura e
della scala del comparatore, siano nell’intervallo (11,5 ± 1,0)⋅10-6 K-1. Usando
questo valore e i limiti di variazione di temperatura definiti all’inizio, le
incertezze tipo associate ai quattro termini di prodotto sono: u(δlTA) = 0,012 µm,
u(δlTS) = 0,053 µm, u(δlTX) = 0,12 µm, u(δlTR) = 0,066 µm. L’incertezza tipo
associata alle correzioni di temperatura composte si ottiene da questi valori con
l’uso del seguente sotto-bilancio delle incertezze:
Dicembre 1999
pag. 70 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
Contributo
d’incert.
ui(y)
Grandezza
Xi
Stima
xi
Incertezza tipo u(xi)
δlTA
0,0 µm
0,012 µm
δlTS
0,0 µm
0,053 µm
-
1,0
0,053 µm
δlTX
0,0 µm
0,12 µm
-
1,0
0,12 µm
δlTR
0,0 µm
0,066 µm
-
1,0
0,066 µm
δlT
0,0 µm
S13.6
Distrib. di Coeffic. di
probabilità sensibilità
ci
1,0
0,012 µm
0,15 µm
Correzione per la coassialità ((δlP): Si assume che lo scostamento dalla
coassialità delle due sonde sferiche e la linea di misura sia entro ± 20 µm. Usando
le equazioni definite nella nota matematica (S13.13) la correzione dovuta alla
possibile non-coassialità e l’incertezza tipo associata è data da:
δ lp = 2⋅(
1
1
−
) ⋅ u 2 (δ C )
D X DS
(S13.4)
u 2 (δ l p ) =
16 1
1
(
+ 2 )u 4 (δ C )
5 D X2
DS
(S13.5)
dove δC è la piccola distanza della corda dal centro dell’anello. I valori risultanti
per la correzione e l’associata incertezza tipo di misura sono δlP ≅ -0,004 µm e
u(δlP) ≅ 0,0065 µm. Come si può vedere dal bilancio delle incertezze (S13.10),
questi valori sono di due ordini di grandezza inferiori dei rimanenti contributi
d’incertezza in modo che la loro influenza può non essere considerata nelle attuali
condizioni di misura.
S13.7
Correzione per la deformazione elastica (δlE): La deformazione elastica
dell’anello in taratura e di quello campione non viene determinata durante la
corrente misura. Dall’esperienza precedente, comunque, gli effetti risultanti da
deformazioni elastiche si stimano essere compresi entro ± 0,03 µm.
S13.8
Correzione per l’errore di Abbe (δlA): Gli attuali valori dell’errore di Abbe del
comparatore non sono determinati durante la corrente misura. Dall’esperienza
precedente e da periodiche verifiche del comparatore, comunque, gli effetti dovuti
all’errore di Abbe si stimano essere compresi entro ± 0,02 µm.
S13.9
Misure (∆l): si compiono le seguenti osservazioni del diametro interno
dell’anello in taratura e di quello di riferimento:
Dicembre 1999
pag. 71 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
n.
oggetto
osservazione
misurando
1
Anello di riferimento
Diametro nella direzione nominale del
piano di simmetria ortogonale all’asse
del cilindro
2
Anello in taratura
0
in questa fase il
display del
comparatore è
azzerato
49,99935 mm
3
Anello in taratura
49,99911 mm
4
Anello in taratura
49,99972 mm
5
Anello in taratura
49,99954 mm
6
Anello in taratura
49,99996 mm
Diametro nella direzione nominale del
piano di simmetria ortogonale all’asse
del cilindro
Diametro nel piano di simmetria
ortogonale all’asse del cilindro ruotato
attorno all’asse rispetto alla direzione
nominale di
+ 1 mm sulla
circonferenza
Diametro nel piano di simmetria
ortogonale all’asse del cilindro ruotato
attorno all’asse rispetto alla direzione
nominale di - 1mm sulla circonferenza
Diametro nella direzione nominale
traslata al piano parallelo al piano di
simmetria ortogonale all’asse del
cilindro di 1 mm all’ingiù.
Diametro nella direzione nominale
traslata al piano parallelo al piano di
simmetria ortogonale all’asse del
cilindro di 1 mm all’insù.
Le osservazioni possono essere divise in due gruppi: la misura del diametro
dell’anello di riferimento (osservazione n.1) che viene usata per impostare il
display del comparatore a zero e la misura del diametro dell’anello in taratura
(osservazioni da n.2 a n. 6) che danno la differenza nei diametri:
media aritmetica:
∆l = 49,99954 mm
singola s(∆l) = 0,33 µm
scarto
tipo
di
una
osservazione:
deviazione standard della media:
s( ∆l )=
s (∆l)
5
= 0,15 µm
La deviazione standard di una singola osservazione s(∆l) = 0,18 µm tiene conto
degli effetti dovuti alla deviazione di forma dell’anello in taratura e della
ripetibilità del comparatore. Per ottenere l’incertezza tipo di misura associata
alla differenza media dei diametri, bisogna anche tener conto dell’incertezza
risultante dall’azzeramento del display del comparatore. Questa si deduce dalla
stima della deviazione standard sP(0) = 0,25 µm ottenuta in una precedente
misura nelle stesse condizioni di misura. L’incertezza tipo di misura risultante
da associare con la differenza di diametro osservata è:
Dicembre 1999
pag. 72 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
( )
u (∆l ) = s 2 ∆l + s 2p (0)
S13.10
= 0,30 µm
Bilancio delle incertezze (dX)
Grandezza
Xi
Stima
xi
Incertezza tipo
u(xi)
Distrib. di
probabilità
Coeffic. di
sensibilità ci
Contributo
d’incert.
ui(y)
dS
40,000 7mm
0,10 µm
normale
1,0
0,10 µm
(∆l
49,999 55 mm
0,30 µm
normale
1,0
0,30 µm
δli
0,0 mm
0,22 µm
rettangol.
1,0
0,22 µm
δlT
0,0 mm
0,15 µm
normale
1,0
0,15 µm
δlP
0,000 004 mm
0,00065 µm
rettangol.
1,0
0,0065 µm
δlE
0,0 mm
0,018 µm
rettangol.
1,0
0,018 µm
δlA
dX
0,0 mm
0,012 µm
rettangol.
1,0
0,012 µm
90,000 25 mm
S13.11
Incertezza estesa
0,433 µm
U = k × u(dX) = 2 × 0,433 µm ≅ 0,9 µm
S13.12
Risultato di misura
Il diametro del campione ad anello in taratura è (90,000 3 ± 0,000 9) mm.
L’incertezza estesa riportata è stata determinata come l’incertezza tipo
composta moltiplicata per il fattore di copertura k = 2 che per una distribuzione
normale corrisponde ad un livello di fiducia di circa il 95 %.
S13.13
Nota matematica sulla non-coassialità
Siccome non è possibile fare un’esatta messa a punto degli anelli rispetto l’asse
di misura del comparatore, la quantità determinata nella misura è una corda del
rispettivo anello in prossimità del diametro. La lunghezza d’ della corda che si
osserva nella misura è correlata alla lunghezza d del diametro dell’anello da:
1
d ' = d ⋅ cos(δϕ ) ≅ d ⋅ (1 − (δϕ ) 2 )
2
(S13.6)
dove δϕ è il piccolo angolo che complementa la metà dell’angolo centrale della
corda a π /2. Questo angolo è d’altra parte legato alla piccola distanza δC del
segmento forma con il centro dell’anello da:
δc =
1
1
⋅ d ⋅ sin(δϕ ) ≅ ⋅ d ⋅ δϕ
2
2
(S13.7)
così che l’eq. S13.6 può essere riscritta come:
d'≅ d − 2 ⋅
Dicembre 1999
(δ C ) 2
D
(S13.8)
pag. 73 di 74
TRADUZIONE DI EA-4/02 ’ Espressione dell’incertezza di misura nelle tarature
dove il diametro d dell’anello nel rapporto è stato sostituito dal suo valore
nominale D siccome il numeratore del rapporto è già una piccola quantità. La
miglior stima del diametro si ottiene assumendo che il valore atteso dell’ultima
relazione sia:
d = d '+2
u 2 (δ C )
D
(S13.9)
Qui si è considerato che la piccola distanza δC abbia valore atteso nullo.
Bisogna anche considerare che il significato di d, d’ e δC nell’eq. (S13.8) e
nell’eq. (S13.9) non è identico: mentre in eq. (S13.8) questi simboli
rappresentano le quantità non esattamente note o casuali, in (S13.9) esse stanno
per i valori attesi di queste grandezze. Siccome la varianza di una variabile
casuale è uguale al valore atteso del quadrato della sua deviazione dal rispettivo
valore atteso, il quadrato dell’incertezza tipo associata al diametro dell’anello è,
secondo l’eq. (S13.8),
u 2 (d ) = u 2 (d ' ) + 4 ⋅ (α − 1)
con α =
u 4 (δ C )
m 4 (δ c )
m 22 (δ c)
D2
(S13.10)
(S13.11)
essendo α il rapporto del momento centrato di quarto ordine della piccola
distanza δC diviso per il quadrato del suo momento centrato del secondo ordine.
Questo rapporto dipende dalla distribuzione che si assume per δC. Si prende il
valore α = 9/5 se δC si assume abbia una distribuzione rettangolare, così che in
questo caso l’incertezza tipo da associare al diametro è espressa da:
u 2 (d ) = u 2 (d ' ) +
Dicembre 1999
16 u 4 (δ C )
⋅
5
D2
(S13.12)
pag. 74 di 74