Attivit`a In una palazzina abitata da 20 famiglie, 10 di esse hanno il

Attività
In una palazzina abitata da 20 famiglie, 10 di esse hanno il cane, 2 non
hanno n’è cane n’è gatto mentre 12 famiglie hanno il gatto.
È possibile che si realizzi la situazione descritta?
Motiviamo...
Attività
In una palazzina abitata da 20 famiglie, 10 di esse hanno il cane, 2 non
hanno n’è cane n’è gatto mentre 12 famiglie hanno il gatto.
È possibile che si realizzi la situazione descritta?
Motiviamo...
I
Quante famiglie hanno entrambi gli animali?
I
Come potresti rappresentare graficamente la situazione descritta per
renderla maggiormente comprensibile?
I
Quante famiglie hanno entrambi gli animali?
I
Come potresti rappresentare graficamente la situazione descritta per
renderla maggiormente comprensibile?
Rispondi alle seguenti domande:
I
Cos’è per te un insieme?
I
Fai un esempio di insieme
Per esercizio prova a cercare su qualche libro di scuola primaria o
secondaria come viene descritto tale concetto.
I
Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi
3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi
Obiettivi di apprendimento:
Relazioni, dati e previsioni 6T, 7T, 8T, 10Q.
Ecco i termini primitivi della teoria degli insiemi:
- insieme che indicheremo con A,B,C . . .
- elemento che indicheremo con a,b,c . . .
- appartenenza che indicheremo con il simbolo ∈.
Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi
Assiomi:
1. Esiste un insieme.
2. Dato un insieme A ed un elemento x, o x appartiene ad A, oppure x
non appartiene ad A:
˙ ∈
x ∈ A∨x
/A
3. Gli elementi di un insieme sono distinti.
Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi
Assiomi:
1. Esiste un insieme.
2. Dato un insieme A ed un elemento x, o x appartiene ad A, oppure x
non appartiene ad A:
˙ ∈
x ∈ A∨x
/A
3. Gli elementi di un insieme sono distinti.
Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi
Assiomi:
1. Esiste un insieme.
2. Dato un insieme A ed un elemento x, o x appartiene ad A, oppure x
non appartiene ad A:
˙ ∈
x ∈ A∨x
/A
3. Gli elementi di un insieme sono distinti.
Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi
Osservazioni:
I
L’ultimo assioma ci dice che se in un insieme due elementi si
ripetono, basta scriverli una volta sola.
I
Dagli assiomi 2 e 3 possiamo affermare che un insieme è definito dai
suoi elementi e quindi per descrivere un insieme basta elencarne i
suoi elementi.
Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi
Osservazioni:
I
L’ultimo assioma ci dice che se in un insieme due elementi si
ripetono, basta scriverli una volta sola.
I
Dagli assiomi 2 e 3 possiamo affermare che un insieme è definito dai
suoi elementi e quindi per descrivere un insieme basta elencarne i
suoi elementi.
Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi
3.2.1 Rappresentazione di un insieme
3.2.1 Rappresentazione di un insieme
Sono possibili due rappresentazioni per un insieme:
I
1.Rappresentazione per elencazione.
Si elencano gli elementi dell’insieme racchiudendoli fra parentesi
graffe e separandoli con la virgola.
Esempio
A = {1, 2, 3, 4}
B = {a, e, i, o, u}.
Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi
3.2.1 Rappresentazione di un insieme
Se gli elementi sono molti o in numero infinito si lasciano dei puntini di
sospensione che lasciano intuire quali altri elementi siano lasciati
sottintesi.
Esempio
A = {2, 4, 6, 8, . . . }
B = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }.
Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi
3.2.1 Rappresentazione di un insieme
I
2.Rappresentazione tramite i Diagrammi di Eulero-Venn
Si rappresenta una linea chiusa e semplice all’interno della quale si
posizionano dei punti in corrispondenza di ogni elemento
dell’insieme:
Se gli elementi dell’insieme sono molti, si colora l’intera superficie
interna alla linea chiusa:
Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi
3.2.1 Rappresentazione di un insieme
Scheda scuola primaria...
Osservazioni?
Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi
3.2.1 Rappresentazione di un insieme
Scheda scuola primaria...
Osservazioni?
Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi
3.2.1 Rappresentazione di un insieme
Definizione
Chiamiamo insieme vuoto l’insieme privo di elementi e lo indichiamo
con il simbolo ∅.
∅ = {}
Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi
3.2.1 Rappresentazione di un insieme
Scheda scuola primaria...
Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi
3.2.1 Rappresentazione di un insieme
Definizione
Diciamo che due insiemi A e B sono uguali se:
ogni elemento di A è elemento di B e ogni elemento di B è elemento di A.
Scriveremo quindi A = B.
Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi
3.2.1 Rappresentazione di un insieme
Esempi
1. Gli insiemi A = {3, 5, 7, 2} e B = {5, 2, 7, 3} hanno gli stessi
elementi, quindi A = B. L’ordine di elencazione degli elementi non è
rilevante.
2. Gli insiemi A = {3, 5} e B = {{3}, {5}} non hanno gli stessi
elementi, infatti gli elementi di B sono degli insiemi, mentre gli
elementi di A sono dei numeri. Avremo quindi A 6= B.
3. ∅ =
6 {∅} infatti prima del simbolo di uguale c’è un insieme privo di
elementi, mentre dopo l’uguale c’è un insieme con un elemento che
è proprio l’insieme vuoto.
Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi
3.2.1 Rappresentazione di un insieme
Esempi
1. Gli insiemi A = {3, 5, 7, 2} e B = {5, 2, 7, 3} hanno gli stessi
elementi, quindi A = B. L’ordine di elencazione degli elementi non è
rilevante.
2. Gli insiemi A = {3, 5} e B = {{3}, {5}} non hanno gli stessi
elementi, infatti gli elementi di B sono degli insiemi, mentre gli
elementi di A sono dei numeri. Avremo quindi A 6= B.
3. ∅ =
6 {∅} infatti prima del simbolo di uguale c’è un insieme privo di
elementi, mentre dopo l’uguale c’è un insieme con un elemento che
è proprio l’insieme vuoto.
Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi
3.2.1 Rappresentazione di un insieme
Esempi
1. Gli insiemi A = {3, 5, 7, 2} e B = {5, 2, 7, 3} hanno gli stessi
elementi, quindi A = B. L’ordine di elencazione degli elementi non è
rilevante.
2. Gli insiemi A = {3, 5} e B = {{3}, {5}} non hanno gli stessi
elementi, infatti gli elementi di B sono degli insiemi, mentre gli
elementi di A sono dei numeri. Avremo quindi A 6= B.
3. ∅ =
6 {∅} infatti prima del simbolo di uguale c’è un insieme privo di
elementi, mentre dopo l’uguale c’è un insieme con un elemento che
è proprio l’insieme vuoto.
Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi
3.2.1 Rappresentazione di un insieme
Definizione
Diciamo che un insieme A è sottoinsieme di B se ogni elemento di A è
anche elemento di B.
Scriveremo quindi
A ⊆ B.
Attraverso i grafici di Eulero-Venn:
Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi
3.2.1 Rappresentazione di un insieme
Definizione
Diciamo che un insieme A è sottoinsieme di B se ogni elemento di A è
anche elemento di B.
Scriveremo quindi
A ⊆ B.
Attraverso i grafici di Eulero-Venn:
Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi
3.2.1 Rappresentazione di un insieme
Definizione
Diciamo che un insieme A è sottoinsieme di B se ogni elemento di A è
anche elemento di B.
Scriveremo quindi
A ⊆ B.
Attraverso i grafici di Eulero-Venn:
Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi
3.2.1 Rappresentazione di un insieme
Osservazioni:
1. Quella rappresentata non è l’unica opzione possibile, infatti, come
caso particolare di sottoinsiemi potremmo avere A = B.
2. Se A = {2, 3} e B = {5, 3} non c’è alcuna inclusione fra gli insiemi
dati, quindi possiamo scrivere A * B ma anche B * A
Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi
3.2.1 Rappresentazione di un insieme
Osservazioni:
1. Quella rappresentata non è l’unica opzione possibile, infatti, come
caso particolare di sottoinsiemi potremmo avere A = B.
2. Se A = {2, 3} e B = {5, 3} non c’è alcuna inclusione fra gli insiemi
dati, quindi possiamo scrivere A * B ma anche B * A
Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi
3.2.1 Rappresentazione di un insieme
Osservazioni:
1. Ogni insieme A è sottoinsieme di se stesso.
2. Se A ⊆ B ∧ B ⊆ A, allora A = B. Vale anche il viceversa.
3. L’insieme vuoto è sottoinsieme di ogni insieme.
Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi
3.2.1 Rappresentazione di un insieme
Osservazioni:
1. Ogni insieme A è sottoinsieme di se stesso.
2. Se A ⊆ B ∧ B ⊆ A, allora A = B. Vale anche il viceversa.
3. L’insieme vuoto è sottoinsieme di ogni insieme.
Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi
3.2.1 Rappresentazione di un insieme
Osservazioni:
1. Ogni insieme A è sottoinsieme di se stesso.
2. Se A ⊆ B ∧ B ⊆ A, allora A = B. Vale anche il viceversa.
3. L’insieme vuoto è sottoinsieme di ogni insieme.
Capitolo 3.2 Primi cenni di teoria degli insiemi
3.2.1 Rappresentazione di un insieme
Definizione
Diciamo che un insieme A è sottoinsieme proprio di B se ogni
elemento di A è anche elemento di B e B è diverso da A.
Scriveremo quindi
A ⊂ B.
3.3 Logica dei predicati
3.3 Logica dei predicati
E se non ho a che fare con proposizioni logiche?
1. x è un numero pari
2. x + y = 3
3. x < 3
4. x è una città della Lombardia
Come fare per stabilire il valore di verità delle frasi in elenco?
3.3 Logica dei predicati
3.3 Logica dei predicati
E se non ho a che fare con proposizioni logiche?
1. x è un numero pari
2. x + y = 3
3. x < 3
4. x è una città della Lombardia
Come fare per stabilire il valore di verità delle frasi in elenco?
3.3 Logica dei predicati
3.3 Logica dei predicati
E se non ho a che fare con proposizioni logiche?
1. x è un numero pari
2. x + y = 3
3. x < 3
4. x è una città della Lombardia
Come fare per stabilire il valore di verità delle frasi in elenco?
3.3 Logica dei predicati
Definizione
Dato un insieme U diciamo che p(x) con x ∈ U è un enunciato aperto
o predicato ad una variabile x se è una frase che contiene la x e che
diventa una proposizione logica per ogni valore assunto dalla x in U.
L’insieme U è detto dominio.
La scrittura p(x) si legge ‘‘ p di x ”.
3.3 Logica dei predicati
Definizione
Dato p(x) enunciato aperto con x ∈ U, si dice che V è l’insieme di
verità per p(x) se è l’insieme formato da tutti gli elementi di U che
rendono vera p(x) ed indicheremo con
V = {x ∈ U : p(x)}.
Per come è stato definito si avrà che V ⊆ U.
3.3 Logica dei predicati
Esempio
Individuare qual è l’insieme di verità dell’enunciato aperto
p(x) =‘‘x è un nome da maschio”
all’interno del dominio
U = {Luca, Angela, Simone, Lia, Lara}.
Sarà V = {x ∈ U : p(x)} = {Luca, Simone}.
3.3 Logica dei predicati
Esempio
Individuare qual è l’insieme di verità dell’enunciato aperto
p(x) =‘‘x è un nome da maschio”
all’interno del dominio
U = {Luca, Angela, Simone, Lia, Lara}.
Sarà V = {x ∈ U : p(x)} = {Luca, Simone}.
3.3 Logica dei predicati
Esercizio
Individuare l’enunciato aperto e scriverlo a parole.
Indicare qual è il dominio e qual è l’insieme di verità.
3.3 Logica dei predicati
Attività
L’insegnante delimita due zone della palestra, l’una con una corda verde e
l’altra con una corda rossa...
I
‘‘Ho le calze tutte bianche”
I
‘‘Indosso gli occhiali da vista”
I
‘‘Ho tre occhi”
Osservazioni sul gioco...
Variante: primo/ultimo inventa il nuovo ‘Enunciato aperto’
3.3 Logica dei predicati
Attività
L’insegnante delimita due zone della palestra, l’una con una corda verde e
l’altra con una corda rossa...
I
‘‘Ho le calze tutte bianche”
I
‘‘Indosso gli occhiali da vista”
I
‘‘Ho tre occhi”
Osservazioni sul gioco...
Variante: primo/ultimo inventa il nuovo ‘Enunciato aperto’
3.3 Logica dei predicati
Definizione
Diciamo che un enunciato aperto è valido se l’insieme di verità coincide
con il dominio.
Esempio
L’enunciato aperto p(x) =‘‘x è un numero pari” all’interno del dominio
U = {2, 4, 6, 8, 14, 18} è valido.
3.3 Logica dei predicati
Definizione
Diciamo che un enunciato aperto è valido se l’insieme di verità coincide
con il dominio.
Esempio
L’enunciato aperto p(x) =‘‘x è un numero pari” all’interno del dominio
U = {2, 4, 6, 8, 14, 18} è valido.
3.3 Logica dei predicati
Definizione
Diciamo che un enunciato aperto p(x) è equivalente a q(x) con x ∈ U
se l’insieme di verità di p(x) è uguale a quello di q(x).
Esempio
Consideriamo:
p(x) =‘‘x è una città della Lombardia”
q(x) =‘‘x è una parola che inzia con la lettera B”
all’interno del dominio U = {Lecce, Brescia, Roma, Padova, Bergamo}.
Prendiamo i relativi insiemi di verità:
{x ∈ U : p(x)} = {Bergamo, Brescia}
{x ∈ U : q(x)} = {Bergamo, Brescia},
quindi
p(x) e q(x) sono equivalenti su U.
3.3 Logica dei predicati
Definizione
Diciamo che un enunciato aperto p(x) è equivalente a q(x) con x ∈ U
se l’insieme di verità di p(x) è uguale a quello di q(x).
Esempio
Consideriamo:
p(x) =‘‘x è una città della Lombardia”
q(x) =‘‘x è una parola che inzia con la lettera B”
all’interno del dominio U = {Lecce, Brescia, Roma, Padova, Bergamo}.
Prendiamo i relativi insiemi di verità:
{x ∈ U : p(x)} = {Bergamo, Brescia}
{x ∈ U : q(x)} = {Bergamo, Brescia},
quindi
p(x) e q(x) sono equivalenti su U.
3.3 Logica dei predicati
Osservazioni:
I
Per stabilire insieme di verità e validità di un enunciato aperto cosı̀
come l’equivalenza fra piú enunciati aperti è necessario assegnare il
dominio.
I
È possibile legare fra loro gli enunciati aperti con i connettivi logici
ottenendo degli enunciati composti.
Per stabilire l’insieme di verità dell’enunciato aperto composto s(x)
per un x1 ∈ U si sostituisce x1 in ciascuno degli enunciati che
compongono s(x) e si utilizzano le regole del calcolo proposizionale
già descritte.
3.3 Logica dei predicati
Osservazioni:
I
Per stabilire insieme di verità e validità di un enunciato aperto cosı̀
come l’equivalenza fra piú enunciati aperti è necessario assegnare il
dominio.
I
È possibile legare fra loro gli enunciati aperti con i connettivi logici
ottenendo degli enunciati composti.
Per stabilire l’insieme di verità dell’enunciato aperto composto s(x)
per un x1 ∈ U si sostituisce x1 in ciascuno degli enunciati che
compongono s(x) e si utilizzano le regole del calcolo proposizionale
già descritte.
3.3 Logica dei predicati
Esempio
In U = {Lecce, Brescia, Roma, Bari, Padova, Milano, Bergamo}
consideriamo:
p(x) =‘x è una città della Lombardia’
q(x) =‘x è una parola che inzia con la lettera B’.
Prendiamo i relativi insiemi di verità:
V1 = {x ∈ U : p(x)} = {Bergamo, Brescia, Milano}
V2 = {x ∈ U : q(x)} = {Bergamo, Brescia, Bari},
Consideriamo p(x) ∨ q(x).
V1 ∪ V2 = {x ∈ U : p(x) ∨ q(x)} = {Bergamo, Brescia, Milano, Bari}.
Se consideriamo invece : p(x) ∧ q(x) abbiamo:
V1 ∩ V2 = {x ∈ U : p(x) ∧ q(x)} = {Bergamo, Brescia}.
3.3 Logica dei predicati
Esempio
In U = {Lecce, Brescia, Roma, Bari, Padova, Milano, Bergamo}
consideriamo:
p(x) =‘x è una città della Lombardia’
q(x) =‘x è una parola che inzia con la lettera B’.
Prendiamo i relativi insiemi di verità:
V1 = {x ∈ U : p(x)} = {Bergamo, Brescia, Milano}
V2 = {x ∈ U : q(x)} = {Bergamo, Brescia, Bari},
Consideriamo p(x) ∨ q(x).
V1 ∪ V2 = {x ∈ U : p(x) ∨ q(x)} = {Bergamo, Brescia, Milano, Bari}.
Se consideriamo invece : p(x) ∧ q(x) abbiamo:
V1 ∩ V2 = {x ∈ U : p(x) ∧ q(x)} = {Bergamo, Brescia}.
3.3 Logica dei predicati
Esempio
In U = {Lecce, Brescia, Roma, Bari, Padova, Milano, Bergamo}
consideriamo:
p(x) =‘x è una città della Lombardia’
q(x) =‘x è una parola che inzia con la lettera B’.
Prendiamo i relativi insiemi di verità:
V1 = {x ∈ U : p(x)} = {Bergamo, Brescia, Milano}
V2 = {x ∈ U : q(x)} = {Bergamo, Brescia, Bari},
Consideriamo p(x) ∨ q(x).
V1 ∪ V2 = {x ∈ U : p(x) ∨ q(x)} = {Bergamo, Brescia, Milano, Bari}.
Se consideriamo invece : p(x) ∧ q(x) abbiamo:
V1 ∩ V2 = {x ∈ U : p(x) ∧ q(x)} = {Bergamo, Brescia}.
3.3 Logica dei predicati
Esempio
In U = {Lecce, Brescia, Roma, Bari, Padova, Milano, Bergamo}
consideriamo:
p(x) =‘x è una città della Lombardia’
q(x) =‘x è una parola che inzia con la lettera B’.
Prendiamo i relativi insiemi di verità:
V1 = {x ∈ U : p(x)} = {Bergamo, Brescia, Milano}
V2 = {x ∈ U : q(x)} = {Bergamo, Brescia, Bari},
Consideriamo p(x) ∨ q(x).
V1 ∪ V2 = {x ∈ U : p(x) ∨ q(x)} = {Bergamo, Brescia, Milano, Bari}.
Se consideriamo invece : p(x) ∧ q(x) abbiamo:
V1 ∩ V2 = {x ∈ U : p(x) ∧ q(x)} = {Bergamo, Brescia}.
3.3 Logica dei predicati
Esempio
In U = {Lecce, Brescia, Roma, Bari, Padova, Milano, Bergamo}
consideriamo:
p(x) =‘x è una città della Lombardia’
q(x) =‘x è una parola che inzia con la lettera B’.
Prendiamo i relativi insiemi di verità:
V1 = {x ∈ U : p(x)} = {Bergamo, Brescia, Milano}
V2 = {x ∈ U : q(x)} = {Bergamo, Brescia, Bari},
Consideriamo p(x) ∨ q(x).
V1 ∪ V2 = {x ∈ U : p(x) ∨ q(x)} = {Bergamo, Brescia, Milano, Bari}.
Se consideriamo invece : p(x) ∧ q(x) abbiamo:
V1 ∩ V2 = {x ∈ U : p(x) ∧ q(x)} = {Bergamo, Brescia}.
3.3 Logica dei predicati
Osservazioni:
In matematica ci sono dei simboli che nascondono degli enunciati aperti
composti.
In U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} consideriamo
I
x ≤ 4 che significa x < 4 ∨ x = 4
I
x ≥ 4 che significa x > 4 ∨ x = 4
I
2 < x ≤ 4 che significa x > 2 ∧ (x < 4 ∨ x = 4)
3.3 Logica dei predicati
3.3.1 I quantificatori
3.3.1 I quantificatori
Esaminiamo le seguenti affermazioni:
I
esiste almeno un pesce rosso;
I
alcuni uomini hanno i baffi non rasati;
I
tutti gli animali hanno due zampe;
I
ogni tavolo è alto 1m.
Riusciamo a dire se sono vere o false?
3.3 Logica dei predicati
3.3.1 I quantificatori
3.3.1 I quantificatori
Esaminiamo le seguenti affermazioni:
I
esiste almeno un pesce rosso;
I
alcuni uomini hanno i baffi non rasati;
I
tutti gli animali hanno due zampe;
I
ogni tavolo è alto 1m.
Riusciamo a dire se sono vere o false?
3.3 Logica dei predicati
3.3.1 I quantificatori
I QUANTIFICATORI
I
quantificatore universale che significa ‘‘per ogni, tutti,
ciascuno,...” e si indica con ∀
I
quantificatore esistenziale che significa ‘‘esiste almeno un, ...” e si
indica con ∃.
3.3 Logica dei predicati
3.3.1 I quantificatori
La notazione:
In simboli matematici
∀x ∈ U : p(x)
∃x ∈ U : p(x)
Traduzione
‘‘Per ogni x appartenente a U vale p(x)”
‘‘esiste un x appartenente a U per cui vale p(x)”
3.3 Logica dei predicati
3.3.1 I quantificatori
Scheda scuola primaria...
3.3 Logica dei predicati
3.3.1 I quantificatori
Osservazioni:
I
Nel linguaggio comune il termine ‘alcuni’ significa ‘Non tutti’ gli
oggetti di cui si sta parlando verificano una certa proprietà, mentre
in matematica ‘alcuni’ significa che almeno un oggetto verifica
la proprietà mentre non ci si preoccupa se gli altri la
verifichino o meno.
I
In alcune affermazioni non è esplicito il quantificatore utilizzato ma
si capisce dal contesto. Ad esempio se si afferma ‘16 è il quadrato di
un numero’ o ‘Il quadrato di un numero pari è un numero pari’ la
parola un nel primo caso è sostitutiva del quantificatore esistenziale,
mentre nel secondo caso di quello universale.
3.3 Logica dei predicati
3.3.1 I quantificatori
Esempio
In U = {tappo di sughero, sasso, gomma, pallina di polistirolo} siano:
I
p(x) =’‘x galleggia sull’acqua”, quindi
∀x ∈ U : p(x) si legge ‘‘ogni oggetto appartenente ad U galleggia
sull’acqua”
I
p(x) =’‘x galleggia sull’acqua”, quindi ∃x ∈ U : p(x) si legge ’‘esiste
almeno un oggetto appartenente ad U che galleggia sull’acqua”
Determinare il valore di verità delle proposizioni logiche soprastanti.
3.3 Logica dei predicati
3.3.1 I quantificatori
Esempio
In U = {tappo di sughero, sasso, gomma, pallina di polistirolo} siano:
I
p(x) =’‘x galleggia sull’acqua”, quindi
∀x ∈ U : p(x) si legge ‘‘ogni oggetto appartenente ad U galleggia
sull’acqua”
I
p(x) =’‘x galleggia sull’acqua”, quindi ∃x ∈ U : p(x) si legge ’‘esiste
almeno un oggetto appartenente ad U che galleggia sull’acqua”
Determinare il valore di verità delle proposizioni logiche soprastanti.
3.3 Logica dei predicati
3.3.1 I quantificatori
NEGAZIONE DEI QUANTIFICATORI
Resta valida la definizione di negazione della logica delle proposizioni per
cui:
negando una proposizione falsa se ne ottiene una vera
negando una proposizione vera se ne ottiene una falsa.
3.3 Logica dei predicati
3.3.1 I quantificatori
Esercizio
Negare la proposizione p(x):‘‘Tutte le rose sono rosse”.
- Stabiliamo il valore di verità di p(x) FALSA
- azzardiamo qualche ipotesi e stabiliamo il valore di verità delle
proposizioni ottenute
Quali fra queste potrebbero essere la negazione?
- Non è vero che tutte le rose sono rosse VERA
- Tutte le rose sono non rosse FALSA
- Nessuna rosa è rossa FALSA
- Esiste una rosa che è non rossa VERA
Le negazioni di p(x) possono quindi essere la prima o l’ultima.
3.3 Logica dei predicati
3.3.1 I quantificatori
Esercizio
Negare la proposizione p(x):‘‘Tutte le rose sono rosse”.
- Stabiliamo il valore di verità di p(x) FALSA
- azzardiamo qualche ipotesi e stabiliamo il valore di verità delle
proposizioni ottenute
Quali fra queste potrebbero essere la negazione?
- Non è vero che tutte le rose sono rosse VERA
- Tutte le rose sono non rosse FALSA
- Nessuna rosa è rossa FALSA
- Esiste una rosa che è non rossa VERA
Le negazioni di p(x) possono quindi essere la prima o l’ultima.
3.3 Logica dei predicati
3.3.1 I quantificatori
Esercizio
Negare la proposizione p(x):‘‘Tutte le rose sono rosse”.
- Stabiliamo il valore di verità di p(x) FALSA
- azzardiamo qualche ipotesi e stabiliamo il valore di verità delle
proposizioni ottenute
Quali fra queste potrebbero essere la negazione?
- Non è vero che tutte le rose sono rosse VERA
- Tutte le rose sono non rosse FALSA
- Nessuna rosa è rossa FALSA
- Esiste una rosa che è non rossa VERA
Le negazioni di p(x) possono quindi essere la prima o l’ultima.
3.3 Logica dei predicati
3.3.1 I quantificatori
Esercizio
Negare la proposizione p(x):‘‘Tutte le rose sono rosse”.
- Stabiliamo il valore di verità di p(x) FALSA
- azzardiamo qualche ipotesi e stabiliamo il valore di verità delle
proposizioni ottenute
Quali fra queste potrebbero essere la negazione?
- Non è vero che tutte le rose sono rosse VERA
- Tutte le rose sono non rosse FALSA
- Nessuna rosa è rossa FALSA
- Esiste una rosa che è non rossa VERA
Le negazioni di p(x) possono quindi essere la prima o l’ultima.
3.3 Logica dei predicati
3.3.1 I quantificatori
Esercizio
Negare la proposizione p(x):‘‘Tutte le rose sono rosse”.
- Stabiliamo il valore di verità di p(x) FALSA
- azzardiamo qualche ipotesi e stabiliamo il valore di verità delle
proposizioni ottenute
Quali fra queste potrebbero essere la negazione?
- Non è vero che tutte le rose sono rosse VERA
- Tutte le rose sono non rosse FALSA
- Nessuna rosa è rossa FALSA
- Esiste una rosa che è non rossa VERA
Le negazioni di p(x) possono quindi essere la prima o l’ultima.
3.3 Logica dei predicati
3.3.1 I quantificatori
Esercizio
Negare la proposizione p(x): ‘‘Esiste un numero naturale che è pari”.
- Stabiliamo il valore di verità di p(x) VERA
- azzardiamo qualche ipotesi e stabiliamo il valore di verità delle
proposizioni ottenute
Quali fra queste potrebbero essere la negazione?
- Non è vero che esiste un numero naturale pari
- Tutti i numeri naturali sono non pari
- Nessun numero naturale è pari
- Ogni numero naturale è non pari
- Esiste un numero naturale che non è pari
La negazione di p(x) puó essere una delle prime quattro. L’ultima invece,
essendo VERA non puó essere la negazione di p(x).
3.3 Logica dei predicati
3.3.1 I quantificatori
Esercizio
Negare la proposizione p(x): ‘‘Esiste un numero naturale che è pari”.
- Stabiliamo il valore di verità di p(x) VERA
- azzardiamo qualche ipotesi e stabiliamo il valore di verità delle
proposizioni ottenute
Quali fra queste potrebbero essere la negazione?
- Non è vero che esiste un numero naturale pari
- Tutti i numeri naturali sono non pari
- Nessun numero naturale è pari
- Ogni numero naturale è non pari
- Esiste un numero naturale che non è pari
La negazione di p(x) puó essere una delle prime quattro. L’ultima invece,
essendo VERA non puó essere la negazione di p(x).
3.3 Logica dei predicati
3.3.1 I quantificatori
Esercizio
Negare la proposizione p(x): ‘‘Esiste un numero naturale che è pari”.
- Stabiliamo il valore di verità di p(x) VERA
- azzardiamo qualche ipotesi e stabiliamo il valore di verità delle
proposizioni ottenute
Quali fra queste potrebbero essere la negazione?
- Non è vero che esiste un numero naturale pari
- Tutti i numeri naturali sono non pari
- Nessun numero naturale è pari
- Ogni numero naturale è non pari
- Esiste un numero naturale che non è pari
La negazione di p(x) puó essere una delle prime quattro. L’ultima invece,
essendo VERA non puó essere la negazione di p(x).
3.3 Logica dei predicati
3.3.1 I quantificatori
Esercizio
Negare la proposizione p(x): ‘‘Esiste un numero naturale che è pari”.
- Stabiliamo il valore di verità di p(x) VERA
- azzardiamo qualche ipotesi e stabiliamo il valore di verità delle
proposizioni ottenute
Quali fra queste potrebbero essere la negazione?
- Non è vero che esiste un numero naturale pari
- Tutti i numeri naturali sono non pari
- Nessun numero naturale è pari
- Ogni numero naturale è non pari
- Esiste un numero naturale che non è pari
La negazione di p(x) puó essere una delle prime quattro. L’ultima invece,
essendo VERA non puó essere la negazione di p(x).
3.3 Logica dei predicati
3.3.1 I quantificatori
Esercizio
Negare la proposizione p(x): ‘‘Esiste un numero naturale che è pari”.
- Stabiliamo il valore di verità di p(x) VERA
- azzardiamo qualche ipotesi e stabiliamo il valore di verità delle
proposizioni ottenute
Quali fra queste potrebbero essere la negazione?
- Non è vero che esiste un numero naturale pari
- Tutti i numeri naturali sono non pari
- Nessun numero naturale è pari
- Ogni numero naturale è non pari
- Esiste un numero naturale che non è pari
La negazione di p(x) puó essere una delle prime quattro. L’ultima invece,
essendo VERA non puó essere la negazione di p(x).
3.3 Logica dei predicati
3.3.1 I quantificatori
Come osservato nei due esercizi delle slide precedenti, si puó
generalizzare: TEOREMA
Preso un enunciato aperto p(x) con x ∈ U le seguenti proposizioni
logiche sono equiveridiche:
q[∀x ∈ U : p(x)] equivale a ∃x ∈ U :qp(x)
q[∃x ∈ U : p(x)] equivale a ∀x ∈ U :qp(x).
3.3 Logica dei predicati
3.3.1 I quantificatori
Come osservato nei due esercizi delle slide precedenti, si puó
generalizzare: TEOREMA
Preso un enunciato aperto p(x) con x ∈ U le seguenti proposizioni
logiche sono equiveridiche:
q[∀x ∈ U : p(x)] equivale a ∃x ∈ U :qp(x)
q[∃x ∈ U : p(x)] equivale a ∀x ∈ U :qp(x).
3.3 Logica dei predicati
3.3.1 I quantificatori
Attività: OSSERVA IL QUADRO (Escher)
Altra proposta: dai dipinti di Bosch...
3.4 Logica e insiemi
3.4 Logica e insiemi
Con gli enunciati aperti riusciamo ad introdurre un nuovo tipo di
rappresentazione per gli insiemi che sono sottoinsiemi di un insieme
dato che chiameremo U.
Rappresentazione di un sottoinsime A di U tramite proprietà
caratteristica
Si indica qual è l’insime U, qual è la proprietà caratteristica p(x) che
devono soddisfare gli elementi di A e poi
A = {x ∈ U : p(x)}
3.4 Logica e insiemi
3.4 Logica e insiemi
Con gli enunciati aperti riusciamo ad introdurre un nuovo tipo di
rappresentazione per gli insiemi che sono sottoinsiemi di un insieme
dato che chiameremo U.
Rappresentazione di un sottoinsime A di U tramite proprietà
caratteristica
Si indica qual è l’insime U, qual è la proprietà caratteristica p(x) che
devono soddisfare gli elementi di A e poi
A = {x ∈ U : p(x)}
3.4 Logica e insiemi
Osservazioni:
1. A coincide con l’insieme di verità dell’enunciato aperto p(x).
2. Due insiemi descritti da proprietà caratteristiche diverse possono
risultare comunque equivalenti. L’equivalenza fra insiemi infatti si
basa sull’avere gli stessi elementi.
3.4 Logica e insiemi
Esempio
I
Consideriamo l’insieme dei numeri pari P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, . . . } e
l’insieme A = {x ∈ P : x e multiplo di 4}. Avremo che
A = {0, 4, 8, . . . }.
I
Consideriamo l’insieme dei numeri naturali N = {0, 1, 2, 3, 4, . . . } e
l’insieme B = {x ∈ N : x < 3 ∨ x > 6}. Avremo che
B = {0, 1, 2, 7, 8, . . . }.
3.4 Logica e insiemi
3.4.2 Sottoinsiemi notevoli di U
3.4.2 Sottoinsiemi notevoli di U
Insieme complementare di A
Definizione
Sia A ⊆ U, diciamo che il complementare di A rispetto ad U è
formato da tutti gli elementi di U che non appartengono ad A.
Indicheremo tale insieme con CU (A) = {x ∈ U : x ∈
/ A}.
3.4 Logica e insiemi
3.4.2 Sottoinsiemi notevoli di U
Osservazione:
Se A è descritto da proprietà caratteristica, allora A = {x ∈ U : p(x)},
diciamo che il complementare di A rispetto ad U è formato da tutti gli
elementi di U che rendono falsa p(x). In simboli possiamo scrivere quindi
Cu (A) = {x ∈ U :qp(x)}
Esempio
Dato U = {gatto, cane, squalo} e A = {squalo} ,
si avrà che CU (A) = {gatto, cane}
3.4 Logica e insiemi
3.4.2 Sottoinsiemi notevoli di U
Osservazione:
Se A è descritto da proprietà caratteristica, allora A = {x ∈ U : p(x)},
diciamo che il complementare di A rispetto ad U è formato da tutti gli
elementi di U che rendono falsa p(x). In simboli possiamo scrivere quindi
Cu (A) = {x ∈ U :qp(x)}
Esempio
Dato U = {gatto, cane, squalo} e A = {squalo} ,
si avrà che CU (A) = {gatto, cane}
3.4 Logica e insiemi
3.4.2 Sottoinsiemi notevoli di U
Insieme intersezione di A con B
Definizione
Siano A ⊆ U e B ⊆ U, diciamo che l’l’intersezione di A con B è
formata da tutti gli elementi di U che appartengono sia ad A che a B.
Indicheremo tale insieme con A ∩ B = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ∈ B}.
3.4 Logica e insiemi
3.4.2 Sottoinsiemi notevoli di U
Osservazione:
Se A e B sono descritti da proprietà caratteristica, allora
A = {x ∈ U : p(x)} e B = {x ∈ U : q(x)}, diciamo che l’intersezione di
A con B è formato da tutti gli elementi di U che rendono vera sia p(x)
che q(x). In simboli possiamo scrivere quindi
A ∩ B = {x ∈ U : p(x) ∧ q(x)}
Definizione
Presi A ⊆ U e B ⊆ U e verificato che A ∩ B = ∅, si dice che A e B sono
disgiunti.
Esempio
Dato A = {gatto, cane, squalo, siluro} e B = {squalo, siluro, branzino} ,
si avrà che A ∩ B = {squalo, siluro}
3.4 Logica e insiemi
3.4.2 Sottoinsiemi notevoli di U
Osservazione:
Se A e B sono descritti da proprietà caratteristica, allora
A = {x ∈ U : p(x)} e B = {x ∈ U : q(x)}, diciamo che l’intersezione di
A con B è formato da tutti gli elementi di U che rendono vera sia p(x)
che q(x). In simboli possiamo scrivere quindi
A ∩ B = {x ∈ U : p(x) ∧ q(x)}
Definizione
Presi A ⊆ U e B ⊆ U e verificato che A ∩ B = ∅, si dice che A e B sono
disgiunti.
Esempio
Dato A = {gatto, cane, squalo, siluro} e B = {squalo, siluro, branzino} ,
si avrà che A ∩ B = {squalo, siluro}
3.4 Logica e insiemi
3.4.2 Sottoinsiemi notevoli di U
Osservazione:
Se A e B sono descritti da proprietà caratteristica, allora
A = {x ∈ U : p(x)} e B = {x ∈ U : q(x)}, diciamo che l’intersezione di
A con B è formato da tutti gli elementi di U che rendono vera sia p(x)
che q(x). In simboli possiamo scrivere quindi
A ∩ B = {x ∈ U : p(x) ∧ q(x)}
Definizione
Presi A ⊆ U e B ⊆ U e verificato che A ∩ B = ∅, si dice che A e B sono
disgiunti.
Esempio
Dato A = {gatto, cane, squalo, siluro} e B = {squalo, siluro, branzino} ,
si avrà che A ∩ B = {squalo, siluro}
3.4 Logica e insiemi
3.4.2 Sottoinsiemi notevoli di U
Insieme unione di A con B
Definizione
Siano A ⊆ U e B ⊆ U, diciamo che l’l’unione di A con B è formata da
tutti gli elementi di U che appartengono ad A o che appartengono a B.
Indicheremo tale insieme con A ∪ B = {x ∈ U : x ∈ A ∨ x ∈ B}.
3.4 Logica e insiemi
3.4.2 Sottoinsiemi notevoli di U
Osservazione:
Se A e B sono descritti da proprietà caratteristica, allora
A = {x ∈ U : p(x)} e B = {x ∈ U : q(x)}, diciamo che l’unione di A con
B è formata da tutti gli elementi di U che rendono vera p(x) o q(x). In
simboli possiamo scrivere quindi A ∪ B = {x ∈ U : p(x) ∨ q(x)}
Esempio
Dato A = {gatto, cane, squalo, siluro} e B = {squalo, siluro, branzino} ,
si avrà che A ∪ B = {gatto, cane, squalo, siluro, branzino}
3.4 Logica e insiemi
3.4.2 Sottoinsiemi notevoli di U
Osservazione:
Se A e B sono descritti da proprietà caratteristica, allora
A = {x ∈ U : p(x)} e B = {x ∈ U : q(x)}, diciamo che l’unione di A con
B è formata da tutti gli elementi di U che rendono vera p(x) o q(x). In
simboli possiamo scrivere quindi A ∪ B = {x ∈ U : p(x) ∨ q(x)}
Esempio
Dato A = {gatto, cane, squalo, siluro} e B = {squalo, siluro, branzino} ,
si avrà che A ∪ B = {gatto, cane, squalo, siluro, branzino}
3.4 Logica e insiemi
3.4.2 Sottoinsiemi notevoli di U
Insieme differenza di A con B
Definizione
Siano A ⊆ U e B ⊆ U, diciamo che l’insieme differenza di A con B è
formato da tutti gli elementi di U che appartengono ad A e non
appartengono a B.
Indicheremo tale insieme con A \ B = A − B = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ∈
/ B}.
3.4 Logica e insiemi
3.4.2 Sottoinsiemi notevoli di U
Osservazioni:
I
Se A e B sono descritti da proprietà caratteristica, allora
A = {x ∈ U : p(x)} e B = {x ∈ U : q(x)}, diciamo che la differnza
di A con B è formata da tutti gli elementi di U che rendono vera
p(x) e che rendono falsa q(x). In simboli possiamo scrivere quindi
A − B = {x ∈ U : p(x)∧qq(x)}
I
A ∩ B è sottoinsieme sia di A che di B, che di U
I
A ∪ B è sottoinsieme di U
I
A − B è sottoinsieme di A e di U
3.4 Logica e insiemi
3.4.2 Sottoinsiemi notevoli di U
Osservazioni:
I
Se A e B sono descritti da proprietà caratteristica, allora
A = {x ∈ U : p(x)} e B = {x ∈ U : q(x)}, diciamo che la differnza
di A con B è formata da tutti gli elementi di U che rendono vera
p(x) e che rendono falsa q(x). In simboli possiamo scrivere quindi
A − B = {x ∈ U : p(x)∧qq(x)}
I
A ∩ B è sottoinsieme sia di A che di B, che di U
I
A ∪ B è sottoinsieme di U
I
A − B è sottoinsieme di A e di U
3.4 Logica e insiemi
3.4.2 Sottoinsiemi notevoli di U
Osservazioni:
I
Se A e B sono descritti da proprietà caratteristica, allora
A = {x ∈ U : p(x)} e B = {x ∈ U : q(x)}, diciamo che la differnza
di A con B è formata da tutti gli elementi di U che rendono vera
p(x) e che rendono falsa q(x). In simboli possiamo scrivere quindi
A − B = {x ∈ U : p(x)∧qq(x)}
I
A ∩ B è sottoinsieme sia di A che di B, che di U
I
A ∪ B è sottoinsieme di U
I
A − B è sottoinsieme di A e di U
3.4 Logica e insiemi
3.4.2 Sottoinsiemi notevoli di U
Osservazioni:
I
Se A e B sono descritti da proprietà caratteristica, allora
A = {x ∈ U : p(x)} e B = {x ∈ U : q(x)}, diciamo che la differnza
di A con B è formata da tutti gli elementi di U che rendono vera
p(x) e che rendono falsa q(x). In simboli possiamo scrivere quindi
A − B = {x ∈ U : p(x)∧qq(x)}
I
A ∩ B è sottoinsieme sia di A che di B, che di U
I
A ∪ B è sottoinsieme di U
I
A − B è sottoinsieme di A e di U
3.4 Logica e insiemi
3.4.2 Sottoinsiemi notevoli di U
Osservazioni:
I
Se A e B sono descritti da proprietà caratteristica, allora
A = {x ∈ U : p(x)} e B = {x ∈ U : q(x)}, diciamo che la differnza
di A con B è formata da tutti gli elementi di U che rendono vera
p(x) e che rendono falsa q(x). In simboli possiamo scrivere quindi
A − B = {x ∈ U : p(x)∧qq(x)}
I
A ∩ B è sottoinsieme sia di A che di B, che di U
I
A ∪ B è sottoinsieme di U
I
A − B è sottoinsieme di A e di U
3.4 Logica e insiemi
3.4.2 Sottoinsiemi notevoli di U
Esempio
Dato A = {gatto, cane, squalo, siluro} e B = {squalo, siluro, branzino} ,
si avrà che A \ B = {gatto, cane} e
B \ A = {branzino}
3.5 Due nuovi insiemi: l’insieme potenza e il prodotto cartesiano
3.5 Due nuovi insiemi: l’insieme potenza e il prodotto cartesiano
L’INSIEME POTENZA
Definizione
Dato un insieme A e presi tutti i suoi sottoinsiemi, si chiama insieme
potenza di A l’insieme che ha come elementi tutti i sottoinsiemi di A.
L’insieme potenza di A si indica con P(A) = {X : X ⊆ A}.
Esempio
A
∅
{2}
{2, 5}
{a, b, c}
P(A)
{∅}
{∅, {2}}
{∅, {2}, {5}, {2, 5}}
{∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {c, b}, {a, b, c}}
num. elementi
di P(A)
1
2
4
8
3.5 Due nuovi insiemi: l’insieme potenza e il prodotto cartesiano
3.5 Due nuovi insiemi: l’insieme potenza e il prodotto cartesiano
L’INSIEME POTENZA
Definizione
Dato un insieme A e presi tutti i suoi sottoinsiemi, si chiama insieme
potenza di A l’insieme che ha come elementi tutti i sottoinsiemi di A.
L’insieme potenza di A si indica con P(A) = {X : X ⊆ A}.
Esempio
A
∅
{2}
{2, 5}
{a, b, c}
P(A)
{∅}
{∅, {2}}
{∅, {2}, {5}, {2, 5}}
{∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {c, b}, {a, b, c}}
num. elementi
di P(A)
1
2
4
8
3.5 Due nuovi insiemi: l’insieme potenza e il prodotto cartesiano
Osservazioni:
Qualsiasi sia l’insieme A, abbiamo che:
1. ∅ ∈ P(A)
2. A ∈ P(A).
3. Se l’insieme A ha n elementi, allora l’insieme P(A) ha 2n elementi.
3.5 Due nuovi insiemi: l’insieme potenza e il prodotto cartesiano
IL PRODOTTO CARTESIANO
Definizione
Dato un insieme A e un insieme B non vuoti, sia a un qualunque
elemento di A e b un qualunque elemento di B. Chiamiamo coppia
ordinata (a, b) un qualsiasi abbinamento di elemento di A con un
qualsiasi elemento di B. L’elemento di A occuperà la prima posizione
mentre l’elemento di B occuperà la seconda posizione.
Definizione
Due coppie ordinate (a, b) e (c, d) con a, c ∈ A e b, d ∈ B sono uguali
se a = c ∧ b = d
3.5 Due nuovi insiemi: l’insieme potenza e il prodotto cartesiano
IL PRODOTTO CARTESIANO
Definizione
Dato un insieme A e un insieme B non vuoti, sia a un qualunque
elemento di A e b un qualunque elemento di B. Chiamiamo coppia
ordinata (a, b) un qualsiasi abbinamento di elemento di A con un
qualsiasi elemento di B. L’elemento di A occuperà la prima posizione
mentre l’elemento di B occuperà la seconda posizione.
Definizione
Due coppie ordinate (a, b) e (c, d) con a, c ∈ A e b, d ∈ B sono uguali
se a = c ∧ b = d
3.5 Due nuovi insiemi: l’insieme potenza e il prodotto cartesiano
Osservazioni:
1. Notiamo che (a, b) 6= {a, b}, infatti la prima è una coppia con primo
elemento in A e secondo elemento in B, mentre la seconda scrittura
è un insieme con elementi a e b. Nella prima scrittura l’ordine è
rilevante, mentre nella seconda non lo è .
2. Se a 6= b, allora (a, b) 6= (b, a)
3.5 Due nuovi insiemi: l’insieme potenza e il prodotto cartesiano
Osservazioni:
1. Notiamo che (a, b) 6= {a, b}, infatti la prima è una coppia con primo
elemento in A e secondo elemento in B, mentre la seconda scrittura
è un insieme con elementi a e b. Nella prima scrittura l’ordine è
rilevante, mentre nella seconda non lo è .
2. Se a 6= b, allora (a, b) 6= (b, a)
3.5 Due nuovi insiemi: l’insieme potenza e il prodotto cartesiano
Definizione
Dato un insieme A e un insieme B, si chiama prodotto cartesiano di A
con B l’insieme che ha come elementi tutte le coppie ordinate aventi il
primo elemento appartenente ad A e il secondo elemento appartenente a
B. L’insieme prodotto cartesiano si indica con
A × B = {x : x = (a, b) ∧ a ∈ A ∧ b ∈ B}.
3.5 Due nuovi insiemi: l’insieme potenza e il prodotto cartesiano
Esempio
Dati A = {Camilla, Lia, Sara} e B = {Luca, Carlo} costruiamo:
A × B = {Camilla, Luca), (Camilla, Carlo), (Lia, Luca), (Lia, Carlo),
(Sara, Luca), (Sara, Carlo)}
B × A = {(Luca, Camilla), (Luca, Lia), (Luca, Sara), (Carlo, Camilla),
(Carlo, Lia), (Carlo, Sara)}
B × B = {Luca, Luca), (Luca, Carlo), (Carlo, Luca), (Carlo, Carlo)}
3.5 Due nuovi insiemi: l’insieme potenza e il prodotto cartesiano
Esempio
Dati A = {Camilla, Lia, Sara} e B = {Luca, Carlo} costruiamo:
A × B = {Camilla, Luca), (Camilla, Carlo), (Lia, Luca), (Lia, Carlo),
(Sara, Luca), (Sara, Carlo)}
B × A = {(Luca, Camilla), (Luca, Lia), (Luca, Sara), (Carlo, Camilla),
(Carlo, Lia), (Carlo, Sara)}
B × B = {Luca, Luca), (Luca, Carlo), (Carlo, Luca), (Carlo, Carlo)}
3.5 Due nuovi insiemi: l’insieme potenza e il prodotto cartesiano
Esempio
Dati A = {Camilla, Lia, Sara} e B = {Luca, Carlo} costruiamo:
A × B = {Camilla, Luca), (Camilla, Carlo), (Lia, Luca), (Lia, Carlo),
(Sara, Luca), (Sara, Carlo)}
B × A = {(Luca, Camilla), (Luca, Lia), (Luca, Sara), (Carlo, Camilla),
(Carlo, Lia), (Carlo, Sara)}
B × B = {Luca, Luca), (Luca, Carlo), (Carlo, Luca), (Carlo, Carlo)}
3.5 Due nuovi insiemi: l’insieme potenza e il prodotto cartesiano
Osservazioni:
Dati due insiemi A e B avremo che:
1. Se A 6= B allora A × B 6= B × A
2. Se A ha n elementi e B ha m elementi allora A × B ha n · m
elementi.
3. A × B = ∅ se e solo se A = ∅ ∨ B = ∅ .
3.5 Due nuovi insiemi: l’insieme potenza e il prodotto cartesiano
Osservazioni:
Dati due insiemi A e B avremo che:
1. Se A 6= B allora A × B 6= B × A
2. Se A ha n elementi e B ha m elementi allora A × B ha n · m
elementi.
3. A × B = ∅ se e solo se A = ∅ ∨ B = ∅ .
3.5 Due nuovi insiemi: l’insieme potenza e il prodotto cartesiano
Osservazioni:
Dati due insiemi A e B avremo che:
1. Se A 6= B allora A × B 6= B × A
2. Se A ha n elementi e B ha m elementi allora A × B ha n · m
elementi.
3. A × B = ∅ se e solo se A = ∅ ∨ B = ∅ .