a−1

Principi di ingegneria elettrica
Lezione 6a
Analisi delle reti resistive
Analisi delle reti resistive
L’analisi di una rete elettrica (risoluzione della rete) consiste nel
determinare tutte le correnti incognite nei rami e tutti i potenziali
incogniti ai nodi allo scopo di descrivere istante per istante il
funzionamento della rete.
In linea generale una rete si risolve operativamente con un sistema
di equazioni che legano funzionalmente le variabili.
Le tecniche risolutive sono approntate per l’individuazione del più
piccolo insieme di equazioni (e/o alla loro più semplice formulazione)
sufficienti a ricavare tutte le variabili incognite.
Analisi delle reti resistive
Questa rete presenta 4 nodi e 5 lati .
Per risolvere la rete si può procedere:
con il calcolo dei valori equivalenti
delle resistenze (per combinazioni
serie-parallelo) per poi applicare la
regola del partitore di tensione e/o del
partitore di corrente
oppure
calcolare le cadute di tensione su
ciascun componente man mano che si
determinano le correnti nei rami.
Più in generale si possono fare le
considerazioni seguenti.
Analisi delle reti resistive
La rete presenta 5 lati e quindi una
corrente e una tensione incognite per
ciascuno di essi, per un totale di 10
variabili incognite.
Per 3 dei 4 nodi si può applicare la LKC.
Alle 2 maglie si può applicare la LKV.
Per ciascun lato si applica la relazione
costitutiva.
Si ottiene un sistema di 10 equazioni in
10 incognite che risolve la rete.
Le equazioni espresse dalle LKC e LKV
sono sempre lineari.
Le relazioni costitutive dipendono invece
dai componenti e sono lineari per le
resistenze ohmiche e in generale per i
parametri lineari.
Topologia dei circuiti elettrici
Un circuito elettrico è un insieme connesso di
bipoli generatori e utilizzatori.
La topologia del circuito è descritta dal
"grafo" e cioè da un disegno stilizzato in cui i
diversi bipoli del circuito sono rappresentati
da tratti che uniscono i nodi (punti di
connessione tra i morsetti dei bipoli).
Questi tratti, denominati lati del circuito,
vengono numerati in successione.
Anche i nodi vengono numerati a partire da
un nodo qualsiasi cui si assegna il numero
zero (nodo di massa).
I grafi “connessi” sono privi di parti separate.
Per studiare una rete occorre fissare le convenzioni di misura delle
correnti e delle tensioni nei lati.
Una volta scelta la convenzione di misura della corrente per ogni lato
si otterrà un "grafo orientato”.
Il teorema fondamentale delle reti elettriche
Il teorema fondamentale delle reti elettriche afferma che una rete di l
lati è risolubile:
è possibile individuare le 2l incognite, corrispondenti alle tensioni e
correnti di lato, avvalendosi delle equazioni linearmente indipendenti
relative alle LKC e LKT e ai legami costitutivi.
Se n sono i nodi della rete è possibile scrivere (n−1) equazioni
indipendenti ai nodi basate sulla LKC.
Considerando l'insieme di tutte le equazioni ai nodi si può osservare
che la corrente di ogni lato, essendo quest'ultimo inserito tra due
nodi, compare in due equazioni ma con segni opposti.
Poiché la sommatoria delle equazioni ai nodi risulta nulla, si deduce
che esse sono linearmente dipendenti.
Il teorema fondamentale delle reti elettriche
Escludiamo il nodo di massa e
mettiamo in evidenza i lati che lo
collegano con la parte restante
della rete.
Le (n−1) equazioni che si
deducono dalla LKC per i nodi 1,
2 e 3 non possono più dare
somma nulla, perché le correnti
dei lati 1, 7 e 8 connessi con il
nodo di massa compaiono una
sola volta nel sistema di
equazioni.
Si può dunque affermare che tali
(n−1) equazioni sono tra loro
indipendenti.
Il teorema fondamentale delle reti elettriche
Dimostriamo ora che se a sono gli anelli di una rete planare è
possibile scrivere (a−1) equazioni indipendenti agli anelli basate sulla
LKT.
Numeriamo gli anelli del grafo partendo da quello "esterno" cui
assegniamo il numero zero orientandolo in senso antiorario.
Orientiamo poi gli anelli interni in senso orario.
Il teorema fondamentale delle reti elettriche
Ogni lato del grafo fa parte di due anelli e viene percorso in senso
opposto (nei due anelli) per cui la tensione ai sui capi compare con
segni opposti nelle corrispondenti LKT dei due anelli.
Conseguentemente la somma delle tensioni che compaiono nelle
LKT di tutti gli anelli è nulla e questo indica che tali equazioni sono
linearmente dipendenti.
Il teorema fondamentale delle reti elettriche
Escludiamo ora l'anello esterno e mettiamo in evidenza i lati che
fanno parte contemporaneamente degli anelli interni e di quello
escluso.
Le tensioni di tali lati compariranno una sola volta nelle equazioni agli
anelli interni e pertanto esse non potranno più avere somma nulla: si
evince che (a−1) sono le equazioni agli anelli tra loro indipendenti.
Il teorema fondamentale delle reti elettriche
Albero: insieme di rami che unisce tutti i nodi senza formare maglie.
Se l sono i lati della rete allora (a−1) = l-(n-1).
Il teorema fondamentale delle reti elettriche
Complessivamente per una rete ad l lati e quindi con 2l incognite (la corrente
e la tensione di ogni lato) abbiamo a disposizione l equazioni corrispondenti ai
legami costitutivi di ogni lato, n-1 equazioni indipendenti corrispondenti alla
LKC ai nodi ed (a−1) = l-(n-1) equazioni indipendenti corrispondenti alla LKT
agli anelli: il numero delle equazioni indipendenti 2l è pari quindi al numero
delle incognite.
Il teorema fondamentale propone un metodo di calcolo del tutto generale per
la soluzione di una rete, ma risulta piuttosto oneroso perché richiede di
valutare contemporaneamente tutte le correnti e le tensioni.
rispetto ai metodi che consentono il calcolo di un numero più ridotto di
incognite
Esso comunque fornisce le indicazioni di base per tutti i metodi derivati (p.es.
potenziali ai nodi, correnti cicliche) e consente la soluzione "a vista" delle reti
più semplici.
Regola generale di risoluzione delle reti
Data una rete con n nodi e l lati si possono scrivere:
n-1
equazioni linearmente indipendenti ai nodi (LKC)
l-(n-1) equazioni linearmente indipendenti alle maglie (LKT)
l
relazioni costitutive relative ai lati
Con questo insieme di relazioni si compone un sistema di 2·l
equazioni in 2·l incognite che risolve la rete.
Metodo dei potenziali ai nodi
In una rete con n nodi, il potenziale elettrico di uno di essi viene
assunto come riferimento per i potenziali nodali dei rimanenti n-1 nodi
(di solito al riferimento viene assegnato arbitrariamente il valore zero).
Applicando la LKC a questi n-1 nodi si ottiene un sistema di n-1
equazioni linearmente indipendenti.
Se le correnti incognite (avendo presente che le correnti impresse dai
generatori sono termini noti) vengono espresse come prodotto
tensione×conduttanza, le equazioni presenteranno come incognite gli
n-1 potenziali nodali riferiti al nodo “0”.
Risolto il sistema, noti i potenziali nodali, la corrente di ciascun ramo
della rete si calcola come prodotto tra la d.d.p. tra i nodi ai quali il
ramo è connesso e la conduttanza del ramo stesso.
Metodo dei potenziali ai nodi
modalità operative
Si fissa un nodo di riferimento: normalmente quello cui afferiscono il
maggior numero di rami.
Per ogni i-esimo nodo degli n-1 nodi indipendenti, considerati i rami
ad esso afferenti, si applica la LKC.
Posto che il lato li-j sia connesso ai nodi i e j, si sostituisce alla
corrente il di ogni lato il prodotto vij·Gl (*) .
Si ottengono n-1 equazioni negli n-1 potenziali nodali incogniti.
(*)
vij è la d.d.p. tra i nodi i e j; Gl è la conduttanza del lato li-j
Metodo dei potenziali ai nodi
La corrente viene espressa in
funzione della tensione e della
resistenza del bipolo
i=
Per ogni nodo si applica la LKC
v a − vb
= G( va − vb )
R
− i1 + i2 + i3 = 0
− G1 ( va − vb ) + G2 ( vb − vc ) + G3 ( vb − vd ) = 0
Metodo dei potenziali ai nodi
Metodo dei potenziali ai nodi
Metodo dei potenziali ai nodi
Metodo dei potenziali ai nodi
Metodo dei potenziali ai nodi
− 2 + i1 + i2 = 0
i1 + i2 = 2
− i1 − 3 + i3 = 0
− i1 + i3 = 3
Gb ( v1 − v2 ) + Ga v1 = I a
− Gb ( v1 − v2 ) + Gc v2 = I b
(Ga + Gb )v1 − Gb v2 = I a
− Gb v1 + (Gb + Gc )v2 = I b
G11v1 − G12 v2 = I1
G21v1 + G22 v2 = I 2
Metodo dei potenziali ai nodi
Metodo dei potenziali ai nodi
ispezione visiva
Metodo dei potenziali ai nodi
Metodo dei potenziali ai nodi
La matrice dei coefficienti è sempre simmetrica
Metodo dei potenziali ai nodi
esempio
Metodo dei potenziali ai nodi
esempio
Metodo dei potenziali ai nodi
reti con generatori di tensione
Metodo dei potenziali ai nodi
reti con generatori di tensione
2 3
Metodo dei potenziali ai nodi
reti con generatori di tensione
Metodo dei potenziali ai nodi
esempio
4V
4V
Metodo dei potenziali ai nodi
esempio
Metodo dei potenziali ai nodi
esempio
v a − v c v a − vb
+
= iS
R1
R2
v − vb vb − vc
⇒ − a
+
=0
R2
R3
nodo a
− iS + i1 + i2 = 0 ⇒
nodo b
− i 2 + i3 = 0
Poiché vc=0 e iS è un termine noto, si ottiene un sistema di 2 equazioni
nelle due incognite va e vb, che in termini di conduttanze si scrive:
va ⋅ G1 + (va − vb ) ⋅ G2 = iS
− (va − vb ) ⋅ G2 + vb ⋅ G3 = 0
⇒ va ⋅ (G1 + G2 ) − vb ⋅ G2 = iS
⇒ − va ⋅ G2 + vb ⋅ (G2 + G3 ) = 0
Metodo dei potenziali ai nodi
esempio
I1 = 10 mA
I 2 = 50 mA
R 1 = 1 kΩ
R 2 = 2 kΩ
R 3 = 10 kΩ
R 4 = 2 kΩ
nodo 1
nodo 2
nodo 1
v1 − 0 v1 − v2 v1 − v2
+
+
=0
R3
R1
R2
v − v2 v1 − v2 v2 − 0
− 1
−
+
+ I2 = 0
R2
R3
R4
− I1 +
(G1 + G2 + G3 ) ⋅ v1 − (G2 + G3 ) ⋅ v2 = I1
nodo 2 − (G2 + G3 ) ⋅ v1 + (G2 + G3 + G4 ) ⋅ v2 = − I 2
1.6 ⋅ 10 −3 v1 − 0.6 ⋅ 10 −3 v2 = 10 ⋅ 10 −3
v1 = −13.57 V
− 0.6 ⋅ 10 − 3 v1 + 1.1 ⋅ 10 − 3 v2 = −50 ⋅ 10 − 3
v2 = −52.86 V
i 1 = v1 ⋅ G1 = −13.57 mA
Il segno “–” risultante per i1 indica che il verso
effettivo è opposto a quello attribuito inizialmente
in modo arbitrario.
Elettrotecnica - Principi e applicazioni
Giorgio Rizzoni
Analisi nodale con sorgenti di tensione
Elettrotecnica - Principi e applicazioni
Giorgio Rizzoni
In presenza di generatori di tensioni l’analisi nodale si svolge
tenendo presente che i potenziali dei nodi connessi ai generatori
sono variabili non più indipendenti, ma dipendenti.
nodo b
nodo c
v a − vb vb − 0 vb − vc
+
+
=0
R3
R1
R2
v − vc vc − 0
− iS = 0
− b
+
R3
R4
v a = vS
−
(G1 + G2 + G3 ) ⋅ vb − G3 ⋅ vc = G1 ⋅ vS
− G3 ⋅ vb + (G3 + G4 ) ⋅ vc = iS
Elettrotecnica - Principi e applicazioni
Giorgio Rizzoni