Operazioni sui Limiti
Se
lim f (x) = α ∈ R e
x→x0
• somma:
• prodotto:
lim g(x) = β ∈ R, allora si ha:
x→x0
h
i
lim f (x) + g(x) = α + β
x→x0
h
i
lim f (x) · g(x) = α · β
x→x0
• quoziente: se β 6= 0,
α
f (x)
=
x→x0 g(x)
β
lim
Le stesse proprietà valgono nei casi x → +∞ , x → −∞ oppure
−
x → x+
,
x
→
x
0
0.
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Operazioni sui Limiti
Se
lim f (x) = α ∈ R e
x→x0
• somma:
lim g(x) = +∞, allora si ha:
x→x0
h
i
lim f (x) + g(x) = +∞
x→x0
• prodotto: se α 6= 0,
h
i
lim f (x) · g(x) =
x→x0
f (x)
• quoziente: lim
=0
x→x0 g(x)
+∞
−∞
se α > 0
se α < 0
1
=0
In particolare, si ha che lim
x→x0 g(x)
Le stesse proprietà valgono nei casi x → +∞ , x → −∞ oppure
−
x → x+
0 , x → x0 .
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Ampliamento di R
Per c ∈ R definiamo le seguenti operazioni:
• +∞ + c = +∞ ,
−∞ + c = −∞
Questo significa che qualunque sia la funzione f che per x → x0 tende a +∞,
e qualunque sia la funzione g che per x → x0 tende a c, allora f + g per x → x0
tende a +∞. Analogamente per −∞.
• +∞ + ∞ = +∞ ,
−∞ − ∞ = −∞
• (+∞)·(+∞) = +∞ ,
c
=0
•
±∞
• se inoltre c 6= 0,
(+∞) · c =
+∞
−∞
(+∞)·(−∞) = −∞ ,
se c > 0
se c < 0
(−∞) · c =
(−∞)·(−∞) = +∞
−∞
+∞
se c > 0
se c < 0
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Esercizio
Calcolare i seguenti limiti:
1
•
lim −2 3 +
= −6
x→+∞
x
•
•
•
•
lim
x→+∞
2 − e−x
=2
2 − e−x
2
=
x→+∞ 3 + 1
3
x
lim
lim
x→+∞
lim
x→+∞
1 x
−1+
e = −∞
x
1+1
x
ex
=0
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Operazioni sui Limiti
Il limite della somma, differenza, prodotto, quoziente di due funzioni
risulta rispettivamente uguale alla somma, differenza, prodotto, quoziente (se il denominatore è diverso da zero) dei due limiti, purché
non sia una delle forme indeterminate.
Se
lim f (x) = α ∈ R ∪ {±∞} e
x→x0
• somma:
• prodotto:
h
lim g(x) = β ∈ R ∪ {±∞}, allora:
x→x0
i
lim f (x) + g(x) = α + β
x→x0
lim f (x) · g(x) = α · β
x→x0
α
f (x)
=
• quoziente: lim
x→x0 g(x)
β
(tranne nel caso +∞ − ∞)
(tranne nel caso ±∞ · 0)
0
±∞ tranne nei casi
e
0
±∞
Le stesse proprietà valgono nei casi x → +∞ , x → −∞ oppure
−
x → x+
,
x
→
x
0
0.
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Forme Indeterminate
Restano indeterminate le operazioni:
+∞ − ∞ ,
±∞
,
±∞
0 · (±∞) ,
0
0
0
è una forma indeterminata?
0
Significa che se f (x) e g(x) tendono a 0 per x → x0, da questa unica
(x)
informazione NON si può dedurre qual è il comportamento di fg(x)
al
tendere di x a x0.
Cosa significa per esempio che
Esempio: consideriamo f (x) = x , g(x) = x3 , h(x) = 2x .
Si ha lim f (x) = lim g(x) = lim h(x) = 0.
x→0
Tuttavia,
x→0
lim
x→0
f (x)
= +∞ ,
g(x)
x→0
lim
x→0
g(x)
= 0,
f (x)
lim
x→0
h(x)
= 2.
f (x)
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Limite di un Polinomio all’Infinito
Il comportamento all’infinito di un polinomio è determinato dal termine di grado massimo.
Esempi:
1
1
3
3
lim (2x − x + 1) = lim 2x · 1 − 2 + 3
x→+∞
x→+∞
2x
2x
=
1
1
lim (−x4 + x3 − x2) = lim −x4 · 1 − + 2
x→−∞
x→−∞
x x
=
lim
2x3 = +∞
lim
−x4 = −∞
x→+∞
x→−∞
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Limite di una Funzione Razionale all’Infinito
Dati due polinomi di grado m e n
P (x) = amxm + am−1xm−1 + · · · a1x + a0
Q(x) = bnxn + bn−1xn−1 + · · · b1x + b0
si ha:
P (x)
amxm
lim
= lim
x→+∞ Q(x)
x→+∞ bn xn
e
P (x)
amxm
lim
= lim
x→−∞ Q(x)
x→−∞ bn xn
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Esercizio
Calcolare i seguenti limiti:
4x3 + 5x + 3
4
•
lim
=
x→+∞ 7x3 − x2 + 11
7
2x3 + 5x2 + 3
•
lim
=0
x→−∞ x5 − 3x4 + 2x2
x7 + 10x − 8
•
lim
= +∞
2
x→+∞ x + 3x + 8
e3x + 5ex
1
•
lim
=
x→+∞ 2e3x − e2x + 4
2
(si può risolvere ponendo t = ex)
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Altri Limiti Fondamentali
ln(x + 1)
=1
• lim
x→0
x
ex − 1
=1
• lim
x→0
x
sin x
=1
• lim
x→0 x
xn
=0
• lim
x
x→+∞ a
(ln x)p
=0
• lim
n
x→+∞
x
∀ p, n ∈ N −{0}
∀ n ∈ N, a > 1
• lim xn (ln x)p = 0
x→0+
∀ p, n ∈ N −{0}
Esercizio. Calcolare i seguenti limiti:
sin x
1 tan x
lim x 2 = +∞
·
=1
lim x log x = 0
lim
= lim
x→0
x→0
x→+∞
x→0+
x
x
cos x
ln(x + 1) 1 e2x − 1
et − 1
ln(x + 1)
=2
·
= +∞
lim
= lim 2 ·
lim
= lim+
x→0
t→0
x→0+
x→0
x
t
x2
x
x
5 x
9
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Il Teorema dei Due Carabinieri
Teorema. Sono date tre funzioni f, g, h definite in un intorno di un
punto x0 ∈ R e tali che
• f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) per ogni x,
•
lim f (x) = lim h(x) = L.
x→x0
x→x0
Allora, si ha che
lim g(x) = L.
x→x0
Esempio: si vuole calcolare lim
x→+∞
Poiché lim −
x→+∞
1
cos x
1
cos x
. Si ha che − ≤
≤ .
x
x
x
x
1
1
= lim
= 0, concludiamo che
x→+∞ x
x
cos x
lim
= 0.
x→+∞
x
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