7 Tecnologia e profitto

CdL: EGST - MICROECONOMIA - Docente: Stefano Matta
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Tecnologia e profitto
• L’impresa impiega input per produrre output
• L’insieme di produzione rappresenta tutte le combinazioni di input/output
tecnicamente realizzabili
• La funzione di produzione y = f (x1 , x2 ) rappresenta la frontiera di questo
insieme, ovvero il massimo livello di output che può ottenersi impiegando un
dato livello input.
• Un isoquanto di produzione rappresenta tutte le combinazioni di input che
consentono di produrre una data quantità di output (analogia con le curve
di indifferenza e i casi perfetti sostituti, complementi, Cobb-Douglas)
• Ipotizziamo che la tecnologia sia monotona (la quantità prodotta non diminuisce
aumentando la quantità impiegata di almeno un input ) e convessa (dati due
modi diversi di produrre la stessa quantità di output, la loro combinazione
lineare consente di produrre almeno la stessa quantità)
• Definiamo P Mi il prodotto marginale del fattore i, la quantità di output
addizionale ottenibile da un’unità addizionale di xi ; per variazioni infinitesimali
P M1 =
∂f (·)
∂xi
(analogia con l’utilità marginale)
• il saggio tecnico di sostituzione rappresenta il saggio al quale sostituire un input con l’altro per ottenere lo stesso livello di output; è dato
dall’inclinazione dell’isoquanto
ST S = −
P M1
P M2
(analogia con SMS)
• legge della produttività marginale decrescente: il prodotto marginale
di un input diminuisce quando se ne impiegano quantità via via crescenti
(mantenendo fissi tutti gli altri input)
• Breve periodo: alcuni fattori sono fissi
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• Lungo periodo: tutti i fattori produttivi possono variare
• Rendimenti di scala: ci dicono come varia l’output quando variamo gli
input nella stessa proporzione
costanti:
f (tx1 , tx2 ) = tf (x1 , x2 )
crescenti:
f (tx1 , tx2 ) > tf (x1 , x2 )
decrescenti:
f (tx1 , tx2 ) < tf (x1 , x2 )
• Il fine dell’impresa è la massimizzazione del profitto π:
π = py − w1 x1 − w2 x2
• supponiamo che l’impresa sia price-taker, ossia i prezzi dell’output e dell’input
sono dati
• se siamo nel breve periodo e x1 è il fattore variabile, l’impresa sceglie la
quantità di x1 che massimizza π; la condizione di massimizzazione è
pP M1 = w1
il valore del prodotto marginale di un fattore deve essere uguale al suo prezzo
• graficamente possiamo rappresentare la scelta ottima del fattore x1 con la
condizione di tangenza
P M1 =
w1
p
tra la funzione di produzione y = f (x1 , x¯2 ) e la retta di isoprofitto
y=
w1
π w2
+
x¯2 +
x1
p
p
p
che esprime tutte le combinazioni (x1 , y) associate allo stesso livello del profitto π
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• Nel lungo periodo la condizione di massimizzazione sarà
pP M1 = w1
pP M2 = w2
ESERCIZI
1) Che rendimenti di scala presentano le seguenti funzioni di produzione?
1/2 1/3
x x2
f (x1 , x2 ) = x21 x22 ; f (x1 , x2 ) = 4x1 x2 ; y = x1 + x2 ; y = x11+x22 ; y =
18x1 + 0.5x2 + 6x3 ;
2) Dimostrare che il tipo di rendimenti di scala della funzione di produzione
y = Axa1 xb2 dipendono dal valore di a + b.
3) Il STS tra x2 e x1 è −4. Per produrre lo stesso output impiegando 3 unità
in meno di x1 , quante unità in più di x2 devono essere utilizzate?
4) Se pP M1 > w1 , l’impresa deve aumentare o diminuire la quantità impiegata di x1 per aumentare il profitto?
5) Se il prezzo del fattore fisso x2 diminuisse, come varierebbero la quantità impiegata di x1 e il profitto dell’impresa? E se aumentasse il prezzo
dell’output?
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Costi
• La massimizzazione del profitto implica la minimizzazione dei costi
• la funzione di costo c(y) esprime i costi minimi necessari per produrre il
livello di output desiderato, ovvero
min w1 x1 + w2 x2
x1 ,x2
t.c.
f (x1 , x2 ) = y
• la soluzione al problema di minimizzazione (x∗1 , x∗2 ) viene rappresentata graficamente dalla condizione di tangenza
ST S = −
w1
w2
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tra la curva di isoquanto e la retta di isocosto
x2 =
C
w1
−
x1
w2 w2
che rappresenta le combinazioni (x1 , x2 ) il cui costo è C
• c(1) rappresenta il costo necessario per produrre una unità di output. Se i
rendimenti di scala sono costanti allora c(y) = c(1)y
• Definiamo il costo medio, c(y)
, il costo per unità di output; se i rendimenti
y
sono costanti il costo medio risulta costante; se sono crescenti esso risulta
decrescente; se sono decrescenti esso risulta crescente
• I costi totali sono dati dalla somma dei costi variabili e costi fissi: c(y) =
cv(y) + CF ; i costi medi totali sono dati dalla somma dei costi medi variabili
e costi medi fissi
• la curva del costo medio totale di breve periodo ha un andamento a U: il
tratto decrescente dipende dalla diminuzione dei costi fissi, il tratto crescente
dall’aumento dei costi variabili dovuto alla rigidità dei fattori fissi
• la curva del costo marginale misura la variazione dei costi corrispondente
=
ad una variazione dell’output; per variazioni infinitesimali è data da dc(y)
dy
"
c (y)
• Osservazione:
se c" (y) < c(y)/y =⇒ c(y)/y decresce
se c" (y) > c(y)/y =⇒ c(y)/y cresce
pertanto c" (y) = c(y)/y nel punto di minimo di c(y)/y (stesso ragionamento
per cv(y)/y).
ESERCIZI
1) Sia y = 4LT una funzione di produzione.
a) Determinare (L∗ , T ∗ ) se il budget dell’impresa è di 6400 e wL = 80 e
wT = 100;
b) Determinare y ∗
c) Si supponga di voler produrre y = 10240. Determinare (L∗ , T ∗ );
d) Determinare i costi sostenuti per produrre y = 10240 e verificare se il
costo medio è aumentato o diminuito;
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2) Sia y = 3S + N una funzione di produzione.
a) Tracciare gli isoquanti per y = 30 e per y = 60;
b) Verificare che tipo di rendimenti presenta;
c) Se wS = 2 e wN = 1 qual’è la scelta ottima di fattori? Se wS < 3wN
converrebbe impiegare N?
d) Se i i prezzi fossero wS , wN quale sarebbe il costo necessario per produrre y = 60?
3) Data la funzione di produzione y = 4K 1/2 L1/2 e i prezzi wK = 4 e wL = 8,
determinare la funzione di costo di lungo periodo e di breve periodo se K =
49.
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Offerta in concorrenza perfetta
• La concorrenza perfetta è una forma di mercato in cui le imprese sono pricetaker; un’ipotesi ragionevole è quella di pensare ad un gran numero di imprese che offrono un prodotto omogeneo: ciascuna impresa deve soltanto
decidere quanto produrre e può vendere qualsiasi quantità al prezzo di mercato (la curva di domanda dell’impresa è orizzontale in corrispondenza del
prezzo di mercato)
• L’impresa massimizza il profitto segliendo l’output
max py − c(y)
y
il livello di output ottimale y ∗ è tale che (condizione di massimizzazione
del profitto)
p = c" (y ∗)
• la curva di offerta dell’impresa di breve periodo è data dalla curva
del costo marginale al di sopra della curva del costo medio variabile: infatti
l’impresa produrrà soltanto se π > −CF ovvero py−cv(y)−CF ≥ −CF =⇒
py − cv(y) ≥ 0 =⇒ p ≥ cv(y)/y
• la curva di offerta dell’impresa di lungo periodo è data dalla curva del
costo marginale al di sopra della curva del costo medio totale