PARTE AUREA DI UN SEGMENTO Si definisce parte aurea AU (e come meglio chiamarla?) del segmento AB il segmento AU medio proporzionale tra l’intero AB e la parte rimanente. Sia AB l e AU x Si trova che è x L’equazione risolvente è x 2 1 x 5 1 0,61803398... Tale numero è indicato con la lettera greca . 2 La sua proprietà è di soddisfare l’uguaglianza 2 1 1 1 AB : AU = AU : UB 1 Da cui si deduce che 1 1,61803398... Tale numero è indicato con in onore di Fidia. 1 1 1,61803398... Ricapitoliamo: 1 1 1,61803398... 5 1 2 IL RETTANGOLO AUREO Un rettangolo si definisce aureo se la sua altezza è la parte aurea della base. Si dimostri (esercizio) che aggiungendo (o togliendo) a un rettangolo aureo un quadrato, [quello costruito sul lato più lungo (corto)] si ottiene ancora un rettangolo aureo. COSTRUZIONE GEOMETRICA DELLA PARTE AUREA AU 5 1 L L 2 IL LATO DEL DECAGONO INSCRITTO Il lato del decagono regolare inscritto è la parte aurea del raggio l10 r Si tracci la bisettrice dell’angolo in A, si ottengono due triangoli isosceli simili; si scriva la proporzione e si ricavi il teorema (Si osservi che AB=AD=DO). IL LATO DEL PENTAGONO INSCRITTO Il pentagono inscritto si ottiene congiungendo un vertice sì e uno no del decagono. Calcoliamo l5 col teorema del coseno: 2 AC r 2 r 2 2r 2 cos 72 Quanto vale il cos(72°) ? Osservando prima CHO e poi CHB troviamo che è HC r sin 36 l10 sin 72 da cui r sin 36 r sin 72 sin 36 2 sin 36 cos 36 da cui cos 72 2 cos 2 36 1 2 2 Dunque AC 2r 2 2r 2 cos 36 1 1 5 1 e 2 2 2 4 62 5 2 52 5 1 1 16 8 4 2 2 r 2 (2 ) da cui l5 AC r 2 (1) COSTRUZIONE DEL PENTAGONO CON RIGA E COMPASSO Dalla costruzione del pentagono inscritto con riga e compasso (appresa dalla Tomba) si ricava che è: 2 5 1 2 r r 1 2 (2) l5 AC r 2 2 Dimostrazione che le formule (1) e (2) coincidono: l5 AC r 2 r 1 2 2 1 2 2 1 0 IL PROBLEMA DI FIBONACCI… e il numero Una coppia di conigli diventa fertile dopo un mese e genera un’altra coppia di conigli, la quale a sua volta diventerà fertile dopo un mese generando a sua volta una coppia di conigli. Dal momento in cui diventa fertile, una coppia di conigli genera un’ulteriore coppia di conigli ogni mese. Quante sono le coppie di conigli dopo n mesi? f0 1 f1 1 f f f n2 n 1 n La successione di Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … Che c’entrano i conigli col numero aureo ? Calcolando la successione dei rapporti ottengono i seguenti valori: 1, 2, 3 1,5 2 f n1 della successione di Finonacci si fn 5 1, 6 3 8 1,6 5 13 1,625 .. 8 Tali numeri oscillano attorno a (uno sopra, uno sotto, una sopra, uno sotto…) avvicinandosi sempre più a . Vuoi vedere che è lim n L lim n f n1 fn ? In effetti f n1 f fn f lim n1 lim n1 1 ossia, detto L il valore di quel limite, deve essere n n fn fn fn 1 1 . Questa equazione è soddisfatta proprio dal numero . L