parte aurea di un segmento

PARTE AUREA DI UN SEGMENTO
Si definisce parte aurea AU (e come meglio chiamarla?) del segmento AB il segmento
AU medio proporzionale tra l’intero AB e la parte rimanente.
Sia AB  l e AU  x
Si trova che è x 
L’equazione risolvente è x 2  1  x
5 1
 0,61803398... Tale numero è indicato con la lettera greca  .
2
La sua proprietà è di soddisfare l’uguaglianza  2  1      1 
1

AB : AU = AU : UB
1

Da cui si deduce che
   1  1,61803398... Tale numero è indicato con  in onore di Fidia.

1
 1  1,61803398...

Ricapitoliamo:

1

   1  1,61803398... 
5 1
2
IL RETTANGOLO AUREO
Un rettangolo si definisce aureo se la sua altezza è la parte aurea della base. Si dimostri
(esercizio) che aggiungendo (o togliendo) a un rettangolo aureo un quadrato, [quello
costruito sul lato più lungo (corto)] si ottiene ancora un rettangolo aureo.
COSTRUZIONE GEOMETRICA DELLA PARTE AUREA
AU 
5 1
L  L
2
IL LATO DEL DECAGONO INSCRITTO
Il lato del decagono regolare inscritto è la parte aurea del
raggio
l10    r
Si tracci la bisettrice dell’angolo in A, si ottengono due triangoli
isosceli simili; si scriva la proporzione e si ricavi il teorema (Si
osservi che AB=AD=DO).
IL LATO DEL PENTAGONO INSCRITTO
Il pentagono inscritto si ottiene congiungendo un vertice sì e uno no del decagono.
Calcoliamo
l5
col teorema del coseno:
2
AC  r 2  r 2  2r 2 cos 72
Quanto vale il cos(72°) ? Osservando prima
CHO e poi CHB troviamo che è
HC  r sin 36  l10 sin 72
da cui
r sin 36    r sin 72  sin 36  2 sin 36 cos 36
da cui
cos 72  2 cos 2 36  1  2 
2
Dunque AC  2r 2  2r 2
cos 36 
1  1 
5 1
e

 
2
2
2
4
62 5
2 52
5 1 
1 


16
8
4
2

2
 r 2 (2   )
da cui
l5  AC  r 2   (1)
COSTRUZIONE DEL PENTAGONO CON RIGA E COMPASSO
Dalla costruzione del pentagono inscritto con riga e
compasso (appresa dalla Tomba) si ricava che è:
2
 5 1 2
 r  r 1   2 (2)
l5  AC  r  

 2 
2
Dimostrazione che le formule (1) e (2) coincidono:
l5  AC  r 2    r 1   2  2    1   2   2    1  0
IL PROBLEMA DI FIBONACCI…
e il numero

Una coppia di conigli diventa fertile dopo un mese e genera un’altra coppia di conigli, la
quale a sua volta diventerà fertile dopo un mese generando a sua volta una coppia di
conigli. Dal momento in cui diventa fertile, una coppia di conigli genera un’ulteriore
coppia di conigli ogni mese. Quante sono le coppie di conigli dopo n mesi?
f0  1


f1  1

f  f  f
n2
n 1
 n
La successione di Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
Che c’entrano i conigli col numero aureo  ?
Calcolando la successione dei rapporti
ottengono i seguenti valori: 1, 2,
3
 1,5
2
f n1
della successione di Finonacci si
fn
5
 1, 6
3
8
 1,6
5
13
 1,625 ..
8
Tali numeri oscillano attorno a  (uno sopra, uno sotto, una sopra, uno sotto…)
avvicinandosi sempre più a  . Vuoi vedere che è
lim
n
L
lim
n 
f n1

fn
? In effetti
f n1
f  fn
f
 lim n1
 lim n1  1 ossia, detto L il valore di quel limite, deve essere
n


n


fn
fn
fn
1
 1 . Questa equazione è soddisfatta proprio dal numero  .
L