Impulso, quantità di moto, momento angolare e centro di massa, energia di
rotazione e dinamica rotazionale
Impulso
1)Un pallone da calcio (massa 0.45 kg) arriva con una velocità pari a 25 m / s direttamente
sulla testa di un difensore e, dopo la respinta, ha una velocità di 10 m / s nella stessa
direzione ma nel verso opposto. Qual è l'impulso che il difensore ha conferito al pallone?
Se il tempo del contatto è pari a 0.15 s, qual è la forza che il difensore ha impresso al
pallone?[105N]
2)Una forza di 100 N agisce per due millesecondi su un certo corpo. Qual è l'impulso
relativo a tale forza? [ 0,2 Ns ]
3)In un test d’urto, un’auto di massa m=1500 kg urta contro un muro. La velocità iniziale è
vi = -15.0m/s e quella finale è vf= 2.60 m/s. Se la durata dell’urto è 0.150 s, determinare
l’impulso dovuto all’urto e la forza media esercitata sull’auto. [2,64x104 Kg m /s; 1,76x105
N]
4)In un tipico tiro di golf, la mazza è a contatto con la palla per circa 0,0010 s. Se la
pallina di massa 45 g acquista una velocità di modulo 65 m/s, stima il modulo della forza
esercitata dalla mazza sulla palla.
(R: 2,9· 10 3 N)
5)Trova il modulo dell’impulso impresso su un pallone da calcio quando un giocatore lo
calcia con una forza di 1250 N. Assumi che il piede del giocatore resti a contatto con la
palla per 6,20x10 - 3 s.
(R: 7,75N)
6)Un giocatore di pallavolo effettua una schiacciata, cambiando così la velocità della palla
da 4,5 m/s a
– 23 m/s lungo un certo verso. Se l’impulso rilasciato sulla palla dal giocatore è pari a – 9
kg· m/s, quale sarà la massa del pallone? (R: 0,3kg)
7)Una palla di 0,50 kg è inizialmente ferma sull’erba. Quando la palla viene colpita da una
mazza, la forza media esercitata su di essa è di 230 N. Se il modulo della velocità della
palla dopo essere stata colpita è di 3,2 m/s, per quanto tempo la mozza è rimasta a
contatto con la palla? (R: 7x10-3 s)
Quantita’ di moto e principio di conservazione
8)Un carrello A di massa mA = 0,3 kg e velocità vA = 1,0 m/s urta un carrello B avente
massa mB = 0,5 kg, inizialmente fermo. Dopo l'urto il carrello A continua a muoversi a 0,2
m/s. Qual è la velocità assunta dal carrello B? [0,48m/s]:
9)Un corpo di massa m1 = 8 kg si muove con velocità v1 = 4 m/s ed urta un altro corpo di
massa m2 = 0,5 kg, inizialmente fermo. I due corpi rimangono attaccati e quindi formano
un unico corpo .Calcola la velocità Vf dei due corpi uniti assieme dopo l’urto.
10)Luciana Littizzetto e Giuliano Ferrara stanno pattinando sul ghiaccio, e si ritrovano
entrambi fermi, l’uno di fronte all’altra. La Littizzetto dà uno spintone a Ferrara, il quale
comincia a muoversi con una velocità vF = 0.50 m/s. Supponendo che Ferrara pesi M =
150 kg e che la Littizzetto pesi m = 45 kg:
a) quanto varrà, in modulo, la velocità di rinculo di quest’ultima dopo lo spintone?
b) quanto varrà la velocità di allontanamento (vel. Relativa, riguarda un problema sul libro
di testo) tra i due personaggi?
[1,7m/s; 2,2m/s]
11)Una palla da baseball di 0,144 kg vola verso la “casa base” con una velocità di modulo
43,0 m/s quando viene “smorzata” (colpita leggermente) con una mazza. Questa esercita
una forza media di 6,50x 103 N sulla palla per 1,30 ms. La forza media è verso il
lanciatore. Quale è il modulo della velocità finale della palla?[15,7m/s]
12)La quantità di moto di un oggetto di 1500 Kg aumenta di 9x103 Kg ms .Qual è il modulo
della forza che lo accelera, supponendo che sia costante? Di quanto è cresciuta la
velocità? [ 750 N, 6 m/s ]
13)Una stecca colpisce una palla da biliardo di 200 grammi, inizialmente ferma,
esercitando una forza media di 50 N per un tempo di 10 ms. Con quale velocità parte dopo
l'urto? [ 2,5 m/s ]
14)Un corpo in moto, con una massa di 10 Kg, investe ad una velocità di 20 m/s un corpo
fermo, per poi proseguire nella stessa direzione ad un quarto della velocità. Se il secondo
corpo ha una massa di 3 Kg, qual è la sua velocità finale? L'urto è elastico? [ 50 m/s, No ]
15)Su una slitta di 6 kg che sta correndo a 9 m/s si lascia cadere dall'alto un pacco da 12
kg. Quale sarà la nuova velocità della slitta? (oss: è un urto completamente anelastico).
[ 3 m/s ]
16)Una pallottola di 3,5 grammi viene sparata orizzontalmente verso un blocco di legno di
4 kg fermo su un pavimento liscio. La pallottola si conficca nel pezzo di legno, che inizia a
muoversi a 1,4 m/s. Qual era la velocità iniziale della pallottola? [ 1601,4 m/s ]
17)Un vagone merci di 32 tonnellate che viaggia a 1,5 m/s ne investe un altro di 24
tonnellate che stava viaggiando nella stessa direzione, a 0,9 m/s. Trovare la velocità dei
due vagoni dopo l'urto nel caso rimangano agganciati. Qual è stata la perdita di energia
cinetica?
[ 1,2 m/s, 2300 J ]
18)Due masse A e B, entrambe di due kilogrammi, si scontrano. Le velocità prima dell'urto
sono: vAi = (15 m/s)i+(30 m/s)j ; vBi = (-10 m/s)i+ (5 m/s)j. Dopo l'urto si ha che vAf = (-5
m/s)i + (20 m/s)j. Qual è la velocità finale di B? Quanta energia cinetica è perduta o
guadagnata nell'urto? [ vBf = (10 m/s)i + (15 m/s)j, 500 j ]
19)Un palla rigida di massa m=0.5 kg è agganciata ad una fune lunga
L=0.8 m., fissata all’altra estremità. La palla viene abbandonata quando
la fune è tesa e orizzontale. Giunta nel punto più basso della traiettoria,
la palla colpisce elasticamente e istantaneamente un blocco rigido di
massa M=3 kg, inizialmente fermo su una superficie scabra.
Si calcolino:
a) la velocità della palla immedi
mediatamente dopo l’urto.[ v1,f= -2.83 m/s]
b) la velocità del blocco immedi
mediatamente dopo l’urto [v2,f= 1.13 m/s]
Supponendo che il blocco si metta
me in moto con velocità v2f:
c) quanto deve valere il coefficie
efficiente di attrito dinamico tra piano e corpo
orpo affinché quest’
ultimo si arresti dopo aver perco
percorso una distanza d=74cm. [0.13]
20)Due palline si scontrano
o fron
frontalmente su una retta. Il loro urto è elastico.
elasti
La loro massa
m= 300 g, mentre le velocità
ità sono
so rispettivamente di V1= 2,5 m/s e V2= -1.8 m/s.
Determina le velocità successiv
essive all'urto [vf1=-1,8m/s; Vf2=2,5m/s]
21)Due carrelli scorrendo
o su di un binario, senza attrito apprez
pprezzabile, si urtano
frontalmente come indicato
o in figura
fig
schematicamente.
Essendo le loro masse: m1 = 500
5 Kg; m2 = 2.500 Kg e le loro velocità:
veloc
v1 = 1,2 m/s e
v2 = 0,89 m/s. Determinare
re le lloro velocità dopo l’urto, supponendo
o che questo sia di tipo
elastico. [Vf2=-0,193m/s; Vf1=-2,28m/s]
Vf1=
22)Due carrelli si muovo
uovono senza attrito
apprezzabile su di un binario
bin
secondo lo
schema di figura scontra
contrandosi e restando
attaccati ma continuando
uando a muoversi dopo
l'urto. Determinare la velocità
cità dopo
do l'urto in intensità e verso dell'insieme
sieme dei due carrelli.
[0,5m/s]
Dati: m1 = 100 Kg; m2 = 300
00 Kg;
Kg v1 = 5 m/s v2 = 1m/s
23)Due
Due blocchi
b
di massa Me 3M si trovano inizialm
nizialmente fermi su un
piano
no oriz
orizzontale senza attrito. Una molla di massa
mass trascurabile è
fissata
ata a uno di essi, e i due blocchi vengono
o spinti
spin l’uno contro
l’altro,
ro, con
co la molla in mezzo. La fune che li tiene u
uniti viene
bruciata,
ciata, ed il blocco di massa 3M si muove verso destra con
velocità
cità 2,00 m/s.
a) quale
uale è la velocità del blocco di massa M?
b) Trovar
rovare l’energia potenziale elastica originaria
naria della
d
molla se
M=0.350k
0.350kg. [-6,00m/s (verso sinistra); 8,40J]
24)Due sfere metalliche sono sospese a cavetti verticali e sono
inizialmente a contatto. La sfera 1, di massa m1= 30 g , viene
lasciata libera dopo essere stata tirata verso sinistra fino all’altezza
h1= 8.0 cm. Ritornata, cadendo, alla posizione iniziale subisce un
urto elastico contro la sfera 2, di massa m2= 75 g. Qual è la velocità
v1f della sfera 1 subito dopo l’urto ? 1,252m/s;-0,537m/s]
25)Un proiettile di massa m1=12.0g viene sparato su un blocco
di legno di m2=100 g, fermo su una superficie orizzontale. Dopo
l’urto il blocco scivola per L=7.50m prima di fermarsi. Se il
coefficiente di attrito tra blocco e superficie è μ=0.650, qual è la
velocità del proiettile prima dell’urto ? [v2=9,77m/s; V1=91,2m/s]
Centro di massa
26)Un sistema è formato da due sfere metalliche, rispettivamente di 1 e 4 kilogrammi,
distanti mezzo metro. Dove si trova il centro di massa? [ a 40 cm dalla sfera più leggera ]
27)Nel piano vi sono tre oggetti, di uno, due e tre kilogrammi, rispettivamente nei punti:(5;1); (4; 2); (2; 0). quali sono le coordinate del centro di massa? Fare un disegno. [ (3,17;
0,5) ]
28)Un sistema di 3 particelle, inizialmente a riposo, è soggetto
alle forze F1=6.0N, F2=12 N ed F3=14 N, come mostrato in
figura. Quale è l’accelerazione del CM ed in che direzione si
muove ? [acm=1,2m/s2] ; 27°]
29)Determinare il centro di massa del sistema in figura[x=0,38;
y=2,88]
30)Sull’asse x sono collocate tre masse: m1 = 200 g nell’origine , m2 = 500 g in x2 = 30 cm e
m3 = 400 g in x3 = 70 cm. Si determini il loro centro di massa. R.: 0,39 m ;
31)Una sfera di massa m, situata nell’origine di un sistema di coordinate, esplode in due
frammenti che partono lungo l’asse x in direzioni opposte. Quando uno dei frammenti
(avente una massa di 0,270·m si trova nel punto x = 70 cm, dove si trova l’altro frammento?
R.: – 26 cm
32)Una sfera di massa m, situata nell’origine di un sistema di coordinate, esplode in tre
frammenti equivalenti. Se in un certo istante un frammento si trova sull’asse x in x = 40 cm
ed un altro frammento nel punto x = 20 cm , y = – 60 cm, dove si troverà il terzo frammento.
R.: – 60 cm ; 60 cm ;
Momento angolare e conservazione
Problema svolto:
33)Una giostra è fatta da un disco circolare orizzontale di massa M = 90 Kg e raggio R =
1,5 m girevole liberamente attorno al suo centro per inerzia, senza attrito e senza motore,
compiendo un giro completo in T = 4 s. Due bambini di massa m1 = 38 Kg e m2 = 25 Kg
ciascuno, sono a d = 20 cm dal bordo esterno della giostra. Determinare:
a) quanti giri n al 1' compie la giostra;
b) il momento di inerzia Itot di tutto il sistema rispetto all’asse di rotazione;
c) il momento angolare Ltot di tutto il sistema rispetto all’asse di rotazione.
SOLUZIONE
Determiniamo innanzitutto il numero n di giri al minuto che fa questa giostra, ricordando
che la frequenza ν è l’inverso del periodo:
ν= 1/T = 1/4 = 0,25 Hz
la frequenza ν indica il numero di giri al secondo, mentre n indica il numero di giri al
minuto, quindi sarà:
a) n = 60 ν = 60 ·x 0,25 = 15 giri al minuto
Il momento d’inerzia di tutto il sistema Itot è dato dalla somma dei momento d’inerzia Ibase
del disco che costituisce la base della giostra più quelli, I1 e I2, dovuto alla presenza
singolarmente dei due bambini, secondo le formule date dalla meccanica:
Itot = Ibase + I1 + I2 = M R2/2 + m1(R – d)2 + m2 (R – d)2 =
= 0,5x90x1,52 + 38 x(1,5 – 0,2)2 + 25x (1,5 – 0,2)2 = 208 Kgx m2
Il momento angolare ha la forma:
Ltot = Itot ω
bisogna quindi ricavare ω dalla frequenza secondo la formula:
ω = 2 π ν = 2 ∙x 3,14 x 0,25 = 1,57 rad/s
Quindi il momento angolare richiesto è:
c) Ltot = Itot ω = 208 x 1,57 = 326 Kg x∙ m2/s
Adesso i due bambini si avvicinano al centro della giostra cambiando così il momento
d’inerzia I’tot di tutto il sistema, che quindi va ricalcolato considerando che, mentre il
momento della base della giostra Ibase rimane invariato, quello dovuto alla nuova posizione
dei bambini I1’ e I2’ si è ridotto:
Ibase = M R2/2 = 0,5x90 x 1,52 = 101,25 Kg x m2
I1’ = m1d’2 = 38 x 0,52 = 9,5 Kg x m2
I2’ = m2d’2 = 25 x 0,52 = 6,25 Kg x m2
Per un nuovo valore totale di:
I’tot = Ibase+ I1’ + I2’ = 101,25 + 9,5 + 6,25 = 117 Kg x m2
Osserviamo che, rispetto al valore precedente di 208 Kg z m2, si è quasi dimezzato.
Questo fatto lascia prevedere che ci debba essere adesso un aumento della velocità di
rotazione, in quanto essendo il sistema giostra, costituito dalla base più i due bambini
isolato, per la ipotesi iniziale di mancanza di attriti e contatti con l’esterno, a seguito del
principio della conservazione del momento angolare, il momento angolare del sistema,
prima e dopo lo spostamento dei due bambini, deve risultare invariato e quindi:
Itotω = I’totω’
Da cui:
ω’ = Itotω/I'tot = 208 x 1,57/117 = 2,79 rad/s
Per ottenere adesso il nuovo numero di giri al minuto n’ bisogna usare la formula:
d) n’ = 60 ω’/2 π = 60 ∙x 2,79/6,28 = 26,7 giri al minuto
Con riferimento all’ultima richiesta del testo, cioè della variazione dell’energia meccanica
del sistema, osserviamo che, mentre il momento angolare del sistema non è cambiato a
seguito dello spostamento dei bambini per il solo fatto che il sistema è isolato, l’energia
meccanica del sistema è aumentata perché le forze interne hanno compiuto lavoro. I I
bambini, infatti, andando verso il centro mentre la giostra gira, hanno faticato contro la
forza centrifuga che li spingeva verso l’esterno. Il lavoro fatto da loro corrisponde
all’aumento di energia meccanica. Calcoliamo infatti l’energia cinetica di rotazione del
sistema Erot prima e dopo E’rot lo spostamento dei bambini:
Erot = (1/2) Itot ω2 = 0,5 ∙x 208 x 1,572 = 256 J
E’rot = (1/2) I’tot ω’2 = 0,5 x∙ 117 x 2,792 = 455 J
La variazione di energia meccanica del sistema, cioè il lavoro fatto dai bambini contro la
forza centrifuga quindi è:
ΔE = E’rot - Erot = 455 – 256 = 199 J
Una giostra avente raggio di 2m e il momento di inerzia di 500 Kgm2, ruota senza attrito;
essa compie 1 giro ogni 5 s. Un bambino di 25Kg seduto nel centro si sposta fino al bordo.
Si trovi la nuova velocita’ angolare della giostra.[1/6 di giro al secondo]
34)Un uomo di massa 70Kg si trova sul bordo di una
piattaforma circolare di raggio R=2m e di massa
M=180Kg. Il sistema ruota con velocità di 20 giri/min. Ad
un certo punto l’uomo decide di avvicinarsi di 50cm al
centro della piattaforma. Determinare la nuova velocità
angolare del sistema rotante [24,73giri/minuto]
Dinamica rotazionale e energi
nergia cinetica e di rotazione
Problema svolto
35)Consideria
sideriamo una sfera ferma come nella figura:
ura: sappiamo
s
che la
sua energia
rgia iniziale è tutta potenziale e che l’energia
rgia è pari a mgh.
L’energia della sfera al termine
mine della discesa è completamente cinetica
etica e
ed è pari alla
somma dell’energia cinetica
ca di ttraslazione e dell’energia cinetica dii rotolamento
rotola
ed è
perciò pari a:
Applicando la conservazione
ne dell’energia
de
e trascurando forze dissipative
pative troviamo che
Per la sfera sappiamo che
ωr=v. Sostituendo troviamo
o che
che:
e dalle equazioni della cinematica
atica rotazionale che
mgh =
1 2 1 2mr 2 v 2
mv +
2
2 5 r 2
Semplificando m ed r (la velocit
elocità finale non dipende né dal raggio né dal
dalla massa della
sfera):
Ossia
e quind
quindi risolvendo rispetto a v :
36)Un disco di massa M=0,5Kg
0,5Kg, raggio R=20cm rotola su un pavimento
ento orizzontale ed il
suo centro di massa ha velocita’ v=2m/s. Determin
terminare l’energia
cinetica
tica del
d disco e la velocita’ angolare intorno
no all’asse
all
bari centrale
perpendic
endicolare al piano del disco
Ec = E traslazione + E rotazione =
[Ec=1,5J;
1,5J; 10rad/s]
1
1
MV 2 cm + Iω 2
2
2
37)Un disco omogeneo di massa M e raggio R è vincolato a ruotare
intorno ad un asse perpendicolare al piano del disco passante per il
centro. Determinare l’accelerazione tangenziale di un punto sul
bordo del disco quando allo stesso si applica una tensione T come
in figura.
38)Due sfere puntiformi collocate agli estremi di una barretta che ruota
senza attrito in un piano orizzontale. Conoscendo la velocità angolare ω
determinare il momento d’inerzia del sistema delle due masse e l’energia
cinetica.
39)Una massa m è appesa ad una funicella di massa trascurabile avvolta
intorno ad un disco di massa M come in figura. Determinare
l’accelerazione a con cui scende la massa m eil valore della tensione T.
