Cell Method
Repetto
M. Repetto
Application of cell method in multiphysics
analysis
Introduction and Formulation
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
M. Repetto
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Dipartimento Energia
Politecnico di Torino
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
December 2015
Where it all began...
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
and still running...
Journal of Computational Physics 257 (2014) 1260–1290
Cell Method
Repetto
Contents lists available at ScienceDirect
M. Repetto
Journal of Computational Physics
Introduzione
www.elsevier.com/locate/jcp
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Why starting from differential equations for computational
physics?
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Enzo Tonti
University of Trieste, Italy
Caso studio
a r t i c l e
Complesso
baricentrico
Article history:
Received 14 July 2012
Received in revised form 26 June 2013
Accepted 4 August 2013
Available online 29 August 2013
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
Keywords:
Discrete forms
Algebraic formulation
Cell Method
Finite formulation
1. Introduction
i n f o
a b s t r a c t
The computational methods currently used in physics are based on the discretization of
differential equations. This is because the computer can only perform algebraic operations.
The purpose of this paper is to critically review this practice, showing how to obtain
a purely algebraic formulation of physical laws starting directly from experimental
measurements. In other words, we can get an algebraic formulation avoiding any arbitrary
process of discretization of differential equations. This formulation has the great merit
of maintaining close contact between the mathematical description and the physical
phenomenon described.
© 2013 Elsevier Inc. All rights reserved.
the mantra...
Cell Method
Repetto
M. Repetto
E. Tonti / Journal of Computational Physics 257 (2014) 1260–1290
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
Fig. 1. (left) The tortuous path to obtain a numerical solution to a physical problem; (right) the direct procedure.
Since computers do not have the divine spark of intelligence, peculiar to human beings, they cannot conceive the no
of limit and are therefore confined to use algebra, not the infinitesimal calculus. Hence, to apply the numerical meth
we are forced to return to a discrete formulation using one of the many methods of discretization, such as FEM, BEM, F
FDM, etc.
If we explained this process to a person who is not familiar with physics, this person might ask: Why do we switch f
est modus in rebus...
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
On account of their physical meanings, physical variables
have a great information content that can and must be taken
into account doing computational physics. This forbids
some choices in the discretization process and, at the same
time, suggests other choices. To give an example, the
introduction of a pair of dual meshes into computational
physics is dictated by physical reasons (with which we will
deal later) and also physical reasons oblige to associate
each physical variable with a well defined space element,
i.e. vertex, or edge, or face or volume. Hence both choices
must not be made by trials and errors simply looking for a
more stable scheme or a more accurate result.
caso studio
E. Tonti, ibidem
a place for everything and everything in its
place
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
currents live on edges, potentials on nodes, etc.
Kirchhoff voltage law on meshes, Kirchhoff current law on
nodes, but nodes are...?
cell method, the recipe...
Cell Method
Repetto
1
the notion of global variable as opposed to that of field
variable;
2
the distinction between source, configuration and
energy variables;
3
the fundamental problem of a physical theory;
4
the notion of space element endowed with inner or
outer orientation;
5
the association of global variables with the oriented
space elements;
6
the need of a cell complex;
7
the need of the dual cell complex;
8
the problem formulation;
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
ok, but why multiphysics...?
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
a possible answer...
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
Introduzione
Metodi variazionali e metodi algebrici
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
La soluzione numerica di un problema alle derivate
parziali puo’ essere affrontata su base variazionale
come nel caso del metodo degli elementi finiti
un approccio alternativo risiede nella riformulazione
delle equazioni del problema considerando che il
dominio del problema non sia continuo ma
intrinsecamente discreto
questo approccio e’ legato alla fisica del problema in
quanto molte grandezze sono sperimentalmente
definite in maniera discreta (ad es. una tensione
definita lungo una linea, un flusso attraverso una
superficie, una carica contenuta in un volume etc.) e
vengono poi astratte a grandezze variabili in maniera
puntuale (un gradiente di potenziale, una densita’ di
flusso, una densita’ volumetrica di carica etc.)
Introduzione
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
metodi algebrici
La discretizzazione del dominio del problema consente
quindi di affrontare la soluzione numerica del problema
direttamente in maniera algebrica.
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Physical laws
Algebraic equations
always
Approximate solution
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Finite differences
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
Differential equations
rarely
Exact solution
Introduzione
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
metodi algebrici
La discretizzazione del dominio deve essere effettuata
in maniera opportuna in modo da tradurre in maniera
efficiente le leggi della fisica in equazioni algebriche
un approccio che si e’ diffuso in maniera spontanea
nell’ambito delle soluzioni numeriche di diversi problemi
fisici riguarda la discretizzazione del dominio in due
diversi sistemi di elementi spaziali strettamente
interconnessi
la teoria che sta alla base di questa discretizzazione e’
stata sviluppata principalmente dal Prof. Enzo Tonti
dell’Universita’ di Trieste
(http://discretephysics.dic.units.it/) e
porta all’implementazione diretta delle equazioni di
campo in equazioni algebriche.
Formulazione Finita
Operatori discreti
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Alla base della formulazione finita delle leggi della fisica
c’e’ la scrittura degli usuali operatori differenziali in
termini di grandezze vincolate a variare su di uno
spazio discreto
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
spazio continuo
spazio discreto
ϕ e u definiti pointwise
ϕ pointwise u su intervalli
Caso studio
Complesso
baricentrico
!(x)"
u(x) =
interpolazione locale
equazione costitutiva
d"
dx
"#
!"
uk = " # $ "%
caso studio
"#
!
!
x
!
x
Formulazione Finita
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Spazio discreto
Lo spazio a tre dimensioni puo’ essere suddiviso in
elementi connessi di dimensione variabile da 0 a 3:
0d
points
1d
edges
2d
faces
3d
volumes
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
Formulazione Finita
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Relazioni topologiche
le relazioni tra i vari elementi possono essere descritte
da legami topologici:
Introduzione
0d
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
edges - nodes
Equazioni
topologiche
1d
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
faces - edges
Complesso
baricentrico
2d
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
volumes - faces
3d
Formulazione Finita
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Complesso duale
Se lo spazio e’ stato discretizzato in elementi, e’
possibile definire un complesso duale in modo che ad
ogni elemento di dimensione n ne corrisponda uno di
dimensione d − n:
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
dualita’
point P
edge E
face E
volume V
⇔
⇔
⇔
⇔
volume Ṽ
face F̃
edge Ẽ
point P̃
Formulazione Finita
Relazioni duali
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Le reazioni di dualita’ possono essere descritte da un
diagramma con due colonne: a sinistra gli elementi
primali, a destra gli elementi duali
0d
3d
1d
2d
2d
1d
3d
0d
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
Formulazione Finita
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Discretizzazione del dominio
Mediante gli elementi primali e duali e’ possibile
costruire una discretizzazione del dominio del problema
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
y
caso studio
z
x
Matrici topologiche
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Matrici topologiche
Le reazioni tra gli elementi di un complesso sono
descritte da matrici di incidenza.
le matrici di incidenza legano ogni elemento di
dimensione n a quelli di dimensione n − 1
grazie alla dualita’ esiste una relazione semplice tra le
matrici del complesso primale e di quello duale
Complesso
baricentrico
Ṽj
Ṽi
Caso studio
Lk
Pi
Pj
d˜jk =
d˜ik = +1
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
gki =
1
gkj = +1
S̃k
T
1 d˜jk = gkj
Matrici topologiche
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
caso 2D
in un caso bidimensionale la struttura duale viene
considerata estesa su uno spessore fittizio.
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
dual face
primal edge
Matrici topologiche
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
P=9, E=12, matrice G (12 × 9)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
-1
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
+1
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
0
+1
0
-1
-1
0
0
0
0
0
0
0
4
0
0
+1
0
0
-1
0
-1
0
0
0
0
5
0
0
0
0
+1
+1
-1
0
-1
0
0
0
6
0
0
0
+1
0
0
+1
0
0
-1
0
0
7
0
0
0
0
0
0
0
+1
0
0
-1
0
8
0
0
0
0
0
0
0
0
+1
0
+1
-1
1 1
9
0
0
0
0
0
0
0
0
0
+1
0
+1
3
2 2
4
4 6
8
5
5 7
9
7 11
3
6
10
8 12
9
Matrici topologiche
Cell Method
Repetto
Matrici topologiche
M. Repetto
Introduzione
Lj
ckj = −1
Formulazione
Finita
Sk
Matrici topologiche
Variabili globali
S̃j
c̃jk = −1
Li
cki = +1
Equazioni
topologiche
c̃ik = +1
c̃kj = cT
jk
L̃k
S̃i
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Vk
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
dkj = −1
dki = +1
Si
Sj
P̃k
L̃i
g̃ik = +1
L̃j
g̃jk = −1
g̃jk = dT
kj
Matrici topologiche
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Nel diagramma degli elementi discreti le matrici
topologiche consentono di passare da una dimensione
alla successiva
primal
dual
Matrici topologiche
Variabili globali
0d
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
G
1d
Caso studio
Complesso
baricentrico
C
interpolazione locale
D̃ = −G
C̃ = C
D̃
2d
T
2d
equazione costitutiva
caso studio
3d
T
C̃
1d
G̃ = DT
D
3d
G̃
0d
Variabili globali
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
Variabili fisiche
La discretizzazione dello spazio in elementi primali e
duali diventa la naturale struttura su cui definire le
variabili del problema fisico
nella formulazione finita le grandezze fisiche non
variano da punto a punto ma sono definite sugli
elementi geometrici
in questo caso si parla di variabili globali contrapposte
alle variabili differenziali utilizzate nella formulazione
classica
Variabili globali
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
conduzione del calore in condizioni stazionarie
A differenza delle variabili differenziali funzioni del punto, le
2.3. CELL COMPLEXES
13
variabili globali sono definite in maniera discreta e sono
Table 2.2: Some
and globalspaziali
variables of stationary heat conduction
associate
aglilocal
elementi
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Global setting
Temperature: T (K)
Temperature: T (K)
�
� (K)
Temperature difference γ = �g · dl
�
� (W)
Heat current: Φ = �q · dS
�
Heat production p = σdV (W)
Temperature gradient: �g (K/m)
Caso studio
Complesso
baricentrico
Differential setting
Heat current density: �q (W/m2 )
Heat production density rate: σ (W/m3 )
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
2.3
Cell complexes
Differential formulations of physical laws are based on coordinate systems
in which local scalar or vector functions are defined. On the other hand,
formulations based on global variables or domain functions deal with cell
Equazioni topologiche
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
Variabili sorgente e variabili configurazione
Analizzando le varie teorie fisiche si puo’ vedere come
le grandezze siano sempre suddivise in due tipi:
variabili sorgente: descrivono le cause che agiscono sul
sistema
variabili configurazione: descrivono la reazione del
sistema alle sorgenti
i due tipi di variabili sono legate tra di loro da equazioni
topologiche che sono esattamente verificate sul
dominio discretizzato (equazioni di bilancio,
circolazione etc.)
le variabili sono associate agli elementi di un
complesso:
le variabili sorgente sono associate al complesso duale
le variabili configurazione sono associate al complesso
primale
Equazioni topologiche
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
campo di corrente statico
variabili sorgente: flusso di carica attraverso una
superficie j
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
variabili configurazione: potenziale sui punti ϕ,
differenza di potenziale o tensione lungo un edge e
equazioni topologiche:
bilancio di carica elettrica
differenza di potenziale lungo i lati
Equazioni topologiche
campo di corrente statico
Cell Method
Repetto
bilancio di carica
j1
M. Repetto
j2
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
j5
j3
Equazioni
topologiche
j4
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
j1 + j2 + j3 + j4 − j5 = 0
differenza di potenziale
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
(1)
ϕα
e
e = ϕβ − ϕα
ϕβ
(2)
Equazioni costitutive
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
caratteristiche dei materiali
Le equazioni topologiche non sono da sole sufficienti a
definire la soluzione del problema
e’ necessario legare tra di loro le variabili sorgente alle
variabili configurazione attraverso le caratteristiche dei
materiali
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
le equazioni di questo tipo sono dette equazioni
costitutive
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
le caratteristiche dei materiali sono definite in termini di
grandezze puntuali e quindi e’ necessaria una loro
elaborazione al fine di esprimerle in funzione di quelle
globali
Equazioni costitutive
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
characteristica corrente-tensione
L’equazione caratteristica del flusso di corrente lega la
tensione su un lato alla corrente sulla faccia duale ad
esso collegata
variabile sorgente: corrente su faccia duale
variabile configurazione: tensione su lato primale
le due entita’ topologiche sono legate da dualita’
l’equazione costitutiva in termini di variabili differenziali
e’ data da:
~ = ρ~J
E
(3)
al fine di far comparire le variabili globali e’ necessario
definire l’andamento dei campi intorno alla coppia
latoprimale/faccia duale
Equazioni costitutive
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Uniformita’ locale
Considerando che in prossimita’ della coppia lato
~ e ~J siano uniformi e che
primale/faccia duale i vettori E
il lato e la faccia siano ortogonali si puo’ ricondurre
l’equazione costitutiva al caso del resistore rettilineo
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
lato-faccia
resistore
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
L
Caso studio
Complesso
baricentrico
Et
interpolazione locale
j
S
J�
equazione costitutiva
caso studio
Jn
e
Equazioni costitutive
Uniformita’ local
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
relazione tensione-campo elettrico
Z
~ · dl
~
e= E
(4)
L
relazione corrente-densita’ di corrente
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
j
|~J| =
S
(5)
grazie all’ipotesi di uniformita’ locale ed ortogonalita’,
gli integrali possono essere espressi come:
~ = Lρ|~J| = Lρ j = ρ L j = Rj
e = L|E|
S
S
(6)
S
j = σ e = Ge
L
(7)
Formulazione Finita
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Equazione finale
assemblando le equazioni topologiche e costitutive e’
possibile ottenere l’equazione finale del problema
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
differenziale
~ = −∇ϕ
E
finita
(8)
(12)
~J = σ E
~
e = −Gϕ
(9)
j = Mσ e
(13)
∇ · ~J = 0
(10)
D̃j = 0
(14)
−∇ · (σ∇ϕ) = 0
(11)
−D̃ (Mσ Gϕ) = 0
(15)
Diagramma di Tonti
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Struttura delle equazioni
Le relazioni topologiche e costitutive del problema
possono essere riassunte nel diagramma di Tonti del
problema
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
P
0
ϕ"
Ṽ
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
e=
G'
0 = D̃j
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
L
e
j=M e
j
S̃
Caso studio
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso bidimensionale
il dominio del problema e’ costituito da un conduttore a
sezione variabile alimentato attraverso un potenziale
imposto in due sezioni
la geometria e’ discretizzata in volumi primali
quadrangolari
Caso studio
NN = 52, NE = 108
Complesso
baricentrico
le condizioni al contorno sono imposte sui nodi primali
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
Caso studio
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
mesh
Caso studio
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
potenziale elettrico
Caso studio
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
campo elettrico
Caso studio
Cell Method
Repetto
Matrice G
M. Repetto
0
Introduzione
10
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
G matrix
20
30
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
40
50
Diagramma di
Tonti
60
Caso studio
70
Complesso
baricentrico
80
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
90
100
0
20
40
nz = 216
Caso studio
Cell Method
Repetto
Matrice Mσ
M. Repetto
0
Introduzione
10
Formulazione
Finita
20
Matrici topologiche
M matrix
30
Variabili globali
Equazioni
topologiche
40
Equazioni costitutive
50
Diagramma di
Tonti
60
Caso studio
70
Complesso
baricentrico
80
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
90
100
0
20
40
60
nz = 108
80
100
Caso studio
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Matrice A
A = GT*M*G matrix
0
5
Formulazione
Finita
10
Matrici topologiche
15
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
20
25
30
35
40
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
45
50
0
10
20
30
nz = 268
40
50
Duale o ortogonale??
celle staggered
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
La base concettuale del metodo delle celle risiede nel
concetto di dualita’ geometrica che si accoppia in
maniera efficiente alla dualita’ delle variabili globali
Il concetto di dualita’ e’ spesso associato al concetto di
ortogonalita’ ed ai complessi di celle staggered:
complesso duale spostato di mezza cella rispetto al
primale.
L’ortogonalita’ e’ sufficiente ma non necessaria.
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
2
Complesso baricentrico
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
celle triangolari ortogonali
L’estensione del concetto di ortogonalita’ ai triangoli
non e’ efficiente ed e’ assolutamente inapplicabile al
caso tridimensionale laddove impone vincoli di
regolarita’ ai tetraedri che non sono realizzabili con i
comuni reticolatori
Complesso baricentrico
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
celle baricentriche
La dualita’ puo’ essere imposta sul complesso
baricentrico costruendo il complesso duale attraverso
l’unione dei baricentri degli elementi primali
Complesso baricentrico
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
celle baricentriche
La generazione del complesso baricentrico puo’ essere
realizzata anche in tre dimensioni
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
e3
e1
Diagramma di
Tonti
Caso studio
e5
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
e4
e2
e6
Complesso baricentrico
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
celle baricentriche
L’unione di tutte le porzioni di facce duali appartenenti
ai singoli tetraedri crea la faccia duale
Complesso baricentrico
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
celle baricentriche
L’unione di tutte le facce duali crea la superficie di
confine del volume duale che circonda il nodo primale
Complesso baricentrico
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
celle baricentriche
Il complesso duale e’ irregolare dal punto di vista
geometrico ma conserva le proprieta’ di dualita’ con il
complesso primale a tetraedri.
In particolare:
un lato duale appartiene all’unione di due tetraedri
separati dalla faccia primale ed e’ realizzato mediante
due segmenti rettilinei che collegano il baricentro di un
tetraedro al baricentro della faccia e quindi al baricentro
del tetraedro adiacente;
una faccia duale appartiene all’unione di tutti i tetraedri
incernierati sul lato primale ed e’ realizzato mediante
l’unione di tutte le porzioni quadrilatero di piano
(baricentro del tetraedro, baricentri delle facce che
hanno in comune il lato e punto medio del lato)
interpolazione locale
scomposizione contributi
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
La proprieta’ di ortogonalita’ era stata utilizzata per
calcolare l’equazione costitutiva nel caso della coppia
lato primale/faccia duale
Nel caso di complesso duale baricentrico gli elementi
duali non sono ortogonali e quindi va modificato il
metodo di calcolo della relazione costitutiva che lega le
variabili globali.
Sebbene le entita’ duali siano geometricamente
irregolari, esse sono realizzate mediante l’unione di
parti regolari, ad esempio una faccia duale e’ realizzata
mediante l’unione di porzioni quadrangolari di piano
equazione costitutiva
caso studio
Dato che l’operazione che lega le variabili differenziali a
quelle globali passa attraverso un’operazione di
integrazione si puo’ sfruttare l’additivita’ del dominio di
integrazione
interpolazione locale
scomposizione contributi
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Nel caso di equazione costitutiva tra tensione su lato
primale e corrente su faccia duale si puo’ scrivere:
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Z
Ω̃1
~ +
~J · d S
Z
Ω̃2
j = j1 + j2 + j3 + j4 = (16)
Z
~ +
~ +
~
~J · d S
~J · d S
~J · d S
Z
Ω̃3
Ω̃4
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
n
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
˜ (4)
⌦
n
equazione costitutiva
caso studio
˜ (1)
⌦
n
˜ (3)
⌦
n
˜ (2)
⌦
n
˜n = ⌦
˜ (1)
˜ (2) ˜ (3) ˜ (4)
⌦
n [ ⌦n [ ⌦n [ ⌦n
interpolazione locale
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
funzioni di forma nodali
I termini che costituiscono la corrente totale
appartengono ad un volume primale che puo’ essere
utilizzato come volume su cui definire un’interpolazione
locale che lega le variabili globali a quelle locali.
a questo scopo si possono utilizzare le funzioni di
forma proprie del metodo degli elementi finiti
le funzioni che interpolano le grandezze nodali hanno
la proprieta’ di valere 1 nel nodo e 0 negli altri
N1 = 1
Caso studio
Complesso
baricentrico
N1 = 0
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
N1 = 0
N1 = 0
interpolazione locale
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
funzioni di forma nodali
le funzioni sono affini sull’elemento
N1 = a1 x + b1 y + c1 z + d1
(17)
il loro gradiente e’ uniforme sull’elemento
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
∇N1 = (a1 , b1 , c1 )
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
rN1
(18)
interpolazione locale
funzioni di forma edge
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
mediante una combinazione dei gradienti delle funzioni
nodali si possono ottenere funzioni vettoriali che
interpolano le grandezze vettoriali
le funzioni dette funzioni edge di Whitney interpolano
una grandezza definita lungo un lato tra i nodi 1 e 2
come :
~ 1 = N1 ∇N2 − N2 ∇N1
w
(19)
rN2
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
N2
rN1
N1
equazione costitutiva
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
funzioni di forma edge
La funzione edge associata ad un lato interpola una
grandezza scalare che e’ l’integrale di linea del campo
vettoriale lungo il lato
equazione costitutiva
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
funzioni di forma edge
definendo le tensioni di lato come:
Z
~ · d~l
ek =
E
si puo’ ottenere il campo elettrico attraverso
l’interpolazione:
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
(20)
lk
~
E(x,
y , z) =
6
X
k =1
~ k (x, y , z)
ek w
(21)
equazione costitutiva
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
caratteristica del materiale
~ consente di
L’interpolazione del campo elettrico E
esprimere la densita’ di corrente all’interno
dell’elemento come:
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
~J = σ E
~ =σ
6
X
~ k (x, y , z)
ek w
(22)
k =1
il contributo alla corrente sulla porzione di faccia duale
n contenuta nel tetraedro α puo’ quindi essere
espressa come:
Z
(α)
~
~J · d S
jn =
(23)
(α)
Ωn
equazione costitutiva
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
caratteristica del materiale
~ k sulle superfici duali da
l’integrazione delle funzioni w
luogo a coefficienti che dipendono dalla geometria:
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
(α)
jn
=
Z
(α)
Ωn
σ
6
X
k =1
~ =
~ k · dS
ek w
6
X
(α)
mnk ek
(24)
k =1
(α)
i coefficienti mnk legano le sei tensioni sui lati del
tetraedro alla corrente dell’n-simo lato
a differenza del caso ortogonale in questo caso la
corrente associata al lato n non dipende quindi solo
dalla tensione en ma da tutte le tensioni che afferiscono
al tetraedro
equazione costitutiva
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
caratteristica del materiale
sommando i contributi delle porzioni di faccia duale
contribuiscono alla corrente tutte le tensioni dei lati
appartenenti a tutti i tetraedri incernierati sul lato
primale, nel caso in figura 16 lati primali
equazione costitutiva
Cell Method
Repetto
M. Repetto
assemblaggio matrice costitutiva Mσ
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Algorithm 1 Matrix set-up algorithm
1:
Variabili globali
2:
Equazioni
topologiche
3:
Equazioni costitutive
4:
Diagramma di
Tonti
5:
Caso studio
7:
Complesso
baricentrico
8:
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
6:
9:
procedure AssembleMatrix(geometry,material properties)
for all primal volumes do
build local interpolation
. local orientation
build local matrix
for all geometric entities do
. edges/faces
store local matrix in global matrix
. global orientation
end for
end for
end procedure
caso studio
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
campo di corrente
Si considera un caso di campo di corrente su di un
dominio cubico con potenziale imposto su due facce
opposte
il dominio e’ discretizzato mediante un complesso
primale a tetraedri ed un complesso duale baricentrico
l’equazione del problema e:
D̃ (Mσ Gϕ) = 0
(25)
lo scopo dell’esempio e’ di mettere in evidenza come,
nonostante la mancanza di ortogonalita’ tra i due
complessi di celle, la soluzione rappresenti in maniera
esatta un campo uniforme
caso studio
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
campo di corrente
caso studio
struttura dati
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
obj:
node:
node_num:
cell3d_node:
cell3d_num:
face_node:
cell3d_face:
face_num:
edge_node:
cell3d_edge:
edge_num:
face_edge:
ExN:
FxE:
VxF:
[6000x1 int32]
[1331x3 double]
1331
[6000x4 int32]
6000
[12600x3 int32]
[6000x4 int32]
12600
[7930x2 int32]
[6000x6 int32]
7930
[12600x3 int32]
[7930x1331 double]
[12600x7930 double]
[6000x12600 double]
caso studio
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
campo di corrente
caso studio
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Variabili globali
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
campo di corrente
caso studio
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Introduzione
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
Matrice gradiente G
G matrix
0
1000
2000
Variabili globali
Equazioni
topologiche
3000
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
4000
Caso studio
5000
Complesso
baricentrico
6000
interpolazione locale
equazione costitutiva
caso studio
7000
0500
1000
nz = 15860
caso studio
Cell Method
Repetto
Matrice costitutiva Mσ
M. Repetto
0
Introduzione
1000
Formulazione
Finita
Matrici topologiche
M matrix
2000
Variabili globali
Equazioni
topologiche
3000
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
4000
Caso studio
5000
Complesso
baricentrico
6000
interpolazione locale
equazione costitutiva
7000
caso studio
0
2000
4000
nz = 118107
6000
caso studio
Cell Method
Repetto
M. Repetto
Matrice risolutiva A = GT Mσ G
A = GT*M*G matrix
0
Introduzione
Formulazione
Finita
200
Matrici topologiche
Variabili globali
400
Equazioni
topologiche
Equazioni costitutive
Diagramma di
Tonti
Caso studio
Complesso
baricentrico
interpolazione locale
600
800
1000
equazione costitutiva
caso studio
1200
0
200
400
600 800
nz = 17191
1000 1200
