Le equazioni e le disequazioni esponenziali con i moduli

A
Le equazioni e le disequazioni esponenziali con i moduli
Per risolvere equazioni e disequazioni che contengono dei moduli si applicano gli stessi criteri che abbiamo
imparato ad usare per le equazioni e le disequazioni algebriche; risolvi gli esercizi che ti proponiamo di seguito
dopo aver osservato con attenzione gli esempi svolti.
Le equazioni
1
j2xþ1 1j ¼ 3
L’equazione è equivalente a:
2xþ1 1 ¼ 3
Risolviamo la prima:
2xþ1 ¼ 4
xþ1
Risolviamo la seconda:
In definitiva
2
_
2xþ1 1 ¼ 3
2xþ1 ¼ 22
¼ 2
xþ1¼2
!
x¼1
l’equazione è impossibile
S ¼ f1g.
2 j72x 8 7x 1j ¼ 8
j2x 1j ¼ 3
3 j3xþ1 9j ¼ 10
j3 22x 2j ¼ 1
2log 3
S1 ¼ 0, 1,
; S2 ¼ f2g
log 7
log 19
log 3
S1 ¼
1 ; S2 ¼ 0, log 3
2log 2
4
3x þ 2 3jx1j ¼ 5
In questa equazione la variabile compare nell’argomento di un valore assoluto; per poterla risolvere
dobbiamo studiare il segno di x 1:
x1
è positivo se x > 1,
è negativo se x < 1,
è nullo se x ¼ 1
L’equazione è quindi equivalente ai due sistemi:
x1
x<1
_
x
x1
3 þ 2 3 ¼ 5 ðAÞ
3x þ 2 31x ¼ 5
l
Risolviamo l’equazione (A):
3x þ
2 3x
¼5
3
!
3 3x þ 2 3x ¼ 15
!
5 3x ¼ 15
La soluzioni è accettabile.
l
ðBÞ
Risolviamo l’equazione (B):
3x þ
6
5¼0
3x
!
32x 5 3x þ 6 ¼ 0
Posto 3x ¼ t, l’equazione diventa:
ed ha soluzioni:
t ¼3
_
t 2 5t þ 6 ¼ 0
t ¼2
La funzione logaritmica, le equazioni e le disequazioni
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!
3x ¼ 3
!
x¼1
Operando la sostituzione inversa abbiamo infine:
l
3x ¼ 3
!
x¼1
log 3
1,6
log 2
Dovendo essere x < 1, nessuna delle soluzioni trovate è accettabile.
l
x
3 ¼2
!
x log 3 ¼ log 2
!
x¼
In definitiva, la sola soluzione è x ¼ 1 ottenuta dall’equazione (A):
5
1jx 2 x j
1
¼2
2
6 3j2x1j ¼
25 5jx2j ¼ 1
1
9
½S1 ¼ f1, 2g; S2 ¼ 1
21þjx j 4 ¼ 0
7 3jxþ2j þ 36 ¼ 3jxþ2jþ1
½S1 ¼ 1; S2 ¼ f1, 1g
log 2
log 162
S1 ¼
,
; S2 ¼ f0g
log 3
log 3
log 2 log 3
S¼
log 12
3log 2 log 17
S ¼ 2,
log 2
S ¼ 0, 1
2
32þjxj 9 ¼ 0
8 2 3jx j ¼ 3 22x
9 2jx j þ 2x ¼
S ¼ f1g.
17
4
10 3 2j2xj ¼ 42x þ 2
Le disequazioni
11
j2x 5j > 1
La disequazione è equivalente alle seguenti:
(A)
2x 5 < 1
(B)
2x 5 > 1
Risolviamole:
(A)
2x < 4
2x < 22
(B)
2x > 6
x log 2 > log 6
La disequazione è verificata se:
!
x<2
x<2
!
x>
log 6
log 2
_
x>
log 6
log 2
12
j3x 1j 2
La disequazione è equivalente al sistema:
3x 1 2
3x 1 2
ðAÞ
ðBÞ
La funzione logaritmica, le equazioni e le disequazioni
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Risolviamo le due disequazioni:
(A)
(B)
3x 1
x
3 3
!
8x 2 R
!
x1
Tabella del sistema:
Soluzione:
x1
x < 1 _ x > ln 5
2
2ln 3
ln 2 ln 11 < x < 1
ln 2
13 j32x 4j > 1
x
1
3
14 1 3 > 2
2
3xþ1
2 7 < 0
15 9
½x < 3
16 5 j2x1 3j
1
< 2 þ j3x 1j
2
x1
2
8
4
18
2
3
3
½x 4
½R 17
La funzione logaritmica, le equazioni e le disequazioni
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x ln 20 ln 9 _ x 2
ln 2 ln 3