Precorso di Matematica 2003/04
Esercizi di Geometria
1. In un triangolo due lati misurano rispettivamente a, b e l’angolo compreso tra essi misura 3/4 radianti. Calcolare la
lunghezza del terzo lato. Ci sono restrizioni sui valori di a, b ?
2. In un triangolo un lato misura c e i due angoli adiacenti misurano /3, /4 radianti. Calcolare la lunghezza degli altri
due lati.
3. Dato un triangolo rettangolo i cui cateti misurano a, b, calcolare le lunghezze delle proiezioni dei cateti
sull’ipotenusa.
4. Un gatto è seduto a metà di una scala appoggiata verticalmente a una parete. Descrivere la traiettoria del gatto quando
la base della scala scivola orizzontalmente fino a che la scala non giace sul pavimento.
Si tratta di:
A un segmento B un arco di circonferenza
C un arco di parabola
D nessuna delle precedenti
Il ‘primo’ contatto di Einstein con la matematica
All'età di dodici anni provai una nuova meraviglia di natura completamente diversa; e fu leggendo un libretto sulla
geometria piana euclidea, capitatomi tra le mani al principio dell'anno scolastico.
C'erano delle asserzioni, ad esempio quella che le tre altezze di un triangolo si intersecano in un sol punto, che - pur
non essendo affatto evidenti - potevano tuttavia esseer dimostrate con tanta certezza da eliminare qualsiasi dubbio.
Questa lucidità e certezza mi fecero un'indescrivibile impressione. Il fatto che l'assioma dovesse essere accettato senza
dimostrazione non mi dava fastidio. Per me era sufficiente, in ogni caso, poter basare le dimostrazioni su proposizioni
la cui validità non mi sembrava dubbia. Ricordo, ad esempio, che uno zio mi espose il teorema di Pitagora prima che il
sacro libretto di geometria mi fosse capitato tra le mani. Con molta fatica riuscii a "dimostrare" il teorema servendomi
della similitudine dei triangoli; e così facendo, mi sembrò "evidente" che il rapporto fra i lati dei triangoli rettangoli
dovesse essere determinato da un solo angolo acuto. Mi sembrava che ci fosse bisogno di qualche dimostrazione solo
per cose che non apparissero altrettanto "evidenti". Inoltre, mi sembrava che le cose di cui tratta la geometria non
fossero essenzialmente diverse da quelle che si percepiscono coi sensi, "che si possono vedere e toccare". Quest'idea
rudimentale, probabilmente la stessa che sta alla base della ben nota problematica kantiana sulla possibilità dei
giudizi sintetici a priori, si fonda ovviamente sul fatto che il rapporto esistente fra i concetti geometrici e gli oggetti
dell'esperienza sensibile (asta rigida, intervallo finito ecc.) mi era inconsciamente presente.
da A. Einstein, Autobiografia scientifica, Boringhieri
Precorso di Matematica 2003/04
Esercizi di Geometria
5. Trovare le coordinate polari r, dei seguenti punti del piano euclideo.
(1,0)
(0,2)
(2,2)
(-4,4)
(10,1)
( 2, - 2)
6. Disegnare i grafici delle seguenti funzioni
f(x)=cos(x+1) f(x)=cos(x-2) f(x)=5cos(x)
f(x)=cos(x)+5
f(x)=-2cos(x)+2
7. Trovare il modulo e scrivere il coniugato e l’inverso per i seguenti numeri complessi
z=4+i
z=i
z=5
z=- 2+3i
8. Dati i numeri complessi z1=0 z2=1+i z3=i, trovare z4 tale che i 4 punti corrispondenti nel piano
complesso formino un parallelogramma. Quante soluzioni ci sono ? (risposta: 3)
Ripetere l’esercizio con z1=2+3i z2=3+2i z3=10+10i. Si suggerisce di eseguire il disegno nel piano
complesso.
Sapresti determinare z4 in funzione di z1, z2 , z3 (in ciascuno dei 3 casi) usando soltanto le operazioni tra
numeri complessi ?
9. Scrivere una equazione di secondo grado che ammetta come radici z1=1+i, z2=1-i. Ripetere l’esercizio
con z1=1+i, z2=1-2i. Qual è la differenza principale tra i due casi? Si suggerisce di individuare le radici nel
piano complesso.
10. Eseguire le seguenti operazioni e rappresentare geometricamente il risultato.
(1+i)i= ? (1+i)2= ? (1+i)3= ?
(1+i)[(1/ 2)+i(1/ 2)]= ?
11. Descrivere le funzioni del piano complesso in sé che corrispondono alle seguenti operazioni:
a) traslare verso l’alto (cioè in direzione parallela all’asse delle ordinate) di 2 unità.
b) ruotare in senso antiorario di 3/4 di giro, cioè di 3/2 radianti.
12. Risolvere nel campo dei numeri complessi le equazioni di secondo grado
z2+2z+1-i=0
z2 -(1+i)=0
esprimendo le soluzioni mediante radici di soli numeri reali
