PERCORSO DI RECUPERO E POTENZIAMENTO DI MATEMATICA - CLASSE II C
a.s. 2015/16
I NUMERI RAZIONALI E LE FRAZIONI 1
I NUMERI RAZIONALI
I numeri con la virgola si chiamano NUMERI DECIMALI
Es. 2,4 è un numero decimale
Esistono 3 tipi di numeri decimali:
1. Decimali finiti: dopo la virgola ci sono un numero finito di cifre decimali.
Esempi
2,4
3,41
12,893
1,25
0,34
ecc
Dopo l’ultima cifra decimale è sottinteso zero, cioè 2,4 = 2,40
2. Decimali periodici: dopo la virgola ci sono una o più cifre uguali che si ripetono all’infinito; le cifre che
si ripetono all’infinito vengono evidenziate con una linea in alto
Esempi:
2, 43
significa 2,4343434343434343434343434343434343……
3. Decimali infiniti non periodici: dopo la virgola ci sono infinite cifre che si succedono senza che sia
possibile riconoscere alcuna serie di numeri uguali che si ripete.
I numeri decimali di questo tipo si chiamano NUMERI IRRAZIONALI. Li studierai l’anno prossimo,
quindi per il momento non ce ne occupiamo!
I numeri decimali finiti e i numeri decimali periodici si chiamano NUMERI RAZIONALI
Consideriamo i numeri 2,4 e 2,4
Qual è più grande?
Per stabilirlo si fa un po' come quando si cerca una parola sul vocabolario. Poiché la prima cifra è uguale si
guarda la seconda, se anche questa è uguale si guarda la terza, se anche la terza è uguale si guarda la quarta
ecc.
Quindi 2,4 è più grande di 2,4 perché 2,44 è più grande di 2,40
Come si rappresentano sulla retta dei numeri?
La retta dei numeri è come un lungo metro disegnato sul foglio.
I cm corrispondono ai numeri interi (senza virgola, ad es. 2); i mm ai numeri con una sola cifra decimale (ad
esempio 2,4). Se devi rappresentare in modo esatto un numero con più cifre decimali, ad es. 2,45
devi ingrandire il tuo “metro”, in modo da poter dividere lo spazio compreso tra 2,4 e 2,5 in dieci parti
uguali..
2,5
PRIMA DI ABBANDONARE I NUMERI DECIMALI E PASSARE ALLE FRAZIONI DEVI RICORDARTI COME SI
SVOLGONO LE MOLTIPLICAZIONI E LE DIVISIONI PER 10, 100, 1000, 10000 ecc
Es. 12 x 10 = 120
1,2 x 10 = 12
12 x 100 = 1200
1,2 x 100 = 120
120 : 10 = 12
12 : 10 = 1,2
120 : 100 = 1,2
12 : 100 = 0,12
2,44 x 10 =
74,3 x 100 =
62,354 x 10 =
678: 10 =
670: 100 =
4,5: 10 =
PROVA TU
Inserisci il segno corretto tra le seguenti coppie di numeri (=, > , <)
2,4
2,4
3,43
3,44
Ordina dal più piccolo al più grande:
3,5 3,24 3,46 3,8 4,62 4,7 6,45
3,2
3,19
211,22
211,22
LE FRAZIONI
La frazione ha molti significati, solo apparentemente diversi: parte di un intero, quoziente, operatore,
rapporto ..
1.La frazione come parte di un intero
Il significato più noto delle frazioni è quello di parte di un intero. Generalmente si ricorre all’esempio di una
torta:
es. 1/4 rappresenta una delle quattro parti uguali in cui è stata divisa la
torta
Ovviamente 2/4 rappresentano mezza torta e 4/4 la torta intera!
Se il numero delle parti considerate è minore dell’intero la frazione si chiama propria (es. 1/4 2/4 3/4)
Se il numero delle parti considerate è maggiore dell’intero la frazione si chiama impropria (es. 5/4 6/4 7/4)
Se il numero delle parti considerate è uguale all’intero la frazione si chiama apparente (es. 4/4)
ALLE ORIGINI DEI TERMINI
Il termine frazione deriva dal latino fractus, che significa spezzato, diviso
Numeratore deriva da enumerare, che vuol dire contare; quindi il numeratore indica quante parte frazionarie
si devono considerare
Denominatore deriva da denominare, che vuol dire dare un nome; quindi il denominatore indica quale tipo
di parti sono state fatte (mezzi, terzi, quarti, quinti …)
2.La frazione come quoziente
La frazione rappresenta una divisione tra il numeratore e il denominatore
es. 3/2 = 3: 2
Il risultato di tale divisione può essere:
un numero compreso tra 0 e 1; ciò avviene ogni volta che il numeratore è più piccolo del
denominatore (frazione propria)
es. 2/5 = 2 : 5 = 0,4
un numero maggiore di 1; ciò avviene ogni volta che il numeratore è maggiore del denominatore
(frazione impropria)
es. 5/2 = 5 : 2 = 2,5
un numero intero; ciò avviene ogni volta che il numeratore è uguale al denominatore oppure il
numeratore è un multiplo del denominatore (frazione apparente)
es. 4/4 = 4 : 4 = 1
4/2 = 4 : 2 = 2
Un’importante implicazione del significato della frazione come quoziente è che per ogni frazione esistono
infinite altre frazioni ad essa equivalenti
Equivalente vuol dire che ha lo stesso valore
Per comprendere questo concetto basta ricordare la proprietà invariantiva della divisione: moltiplicando o
dividendo entrambi i termini di una divisione per uno stesso numero (diverso da zero) il risultato non cambia
Es. Abbiamo visto che 2/5 = 0,4
Se moltiplichiamo sia il Numeratore che il Denominatore per 2 otteniamo 4/10
4/10 = 4:10 = 0,4
Se moltiplichiamo sia il Numeratore che il Denominatore per 3 otteniamo 6/15
6/15 = 6:15 = 0,4
Se moltiplichiamo sia il Numeratore che il Denominatore per 3000000 otteniamo 6000000/15000000
6000000/15000000 = 0,4
Possiamo continuare così all’infinito! Quindi 2/5 è solo una delle infinite frazioni che rappresentano il
numero 0,4. Più precisamente 2/5 è la frazione equivalente a 0,4 scritta con il numeratore e il denominatore
più piccolo possibile. In termini matematici si dice che 2/5 è ridotta ai minimi termini
3.La frazione come operatore
La frazione indica due operazione successive da applicare ad una grandezza: una divisione (per il
denominatore) e una moltiplicazione (per il numeratore). L’ordine in cui vengono effettuate le due
operazioni non importa:
Es. calcoliamo i 5/6 di 42
Per prima cosa occorre ricordarsi che per ottenere 5/6 di 42 dobbiamo dividere 42 in 6 parti uguali e
prenderne 5
Invece di scrivere “5/6 di 42” scriviamo 5/6 x 42 oppure 42 x 5/6 (proprietà commutativa della
moltiplicazione)
42 x 5/6 = 42 x 5 : 6
L’ordine in cui effettui le due operazioni non ha importanza, infatti
(42 x 5): 6 = 210: 6 = 35
(42: 6) x 5 = 7 x 5 = 35
Se, invece di un numero puro (42) hai a che fare con una misura (es. 42 cm), il procedimento resta invariato
Es. calcoliamo quanto misura un segmento che è 5/6 di un altro, lungo 42 cm
Dati
AB = 42 cm
A
CD = 5/6 di AB
C
Soluzione
CD = 42 x 5: 6 = 35 cm
B
D
POTENZIAMENTO
Ovviamente, nell’esempio precedente: AB è 6/6. AB supera CD di 1/6. Ogni sesto vale 7 cm.
Facciamo un altro esempio
Calcola la misura di un segmento che è 2/5 di un altro, lungo 20 cm
Dati
AB = 20 cm
CD = 2/5 x AB
Soluzione
CD = 20 x 2:5 = 8 cm
Se invece di usare la frazione avessimo usato il corrispondente numero razionale (2/5 = 0,4) avremmo detto
Calcola la misura di un segmento che è 0,4 volte un altro, lungo 20 cm
Dati
AB = 20 cm
CD = 0,4 x AB
Soluzione
CD = 0,4 x 20 = 8 cm
Perché allora usare la frazione invece del corrispondente numero razionale?
In alcuni casi, come nel secondo esempio, usare la frazione invece del corrispondente numero razionale non
comporta alcun vantaggio.
Ma torniamo al caso precedente (5/6 di 42 cm)
5/6 = 5:6 = 0,83
Se, invece della frazione, avessimo usato questo numero saremmo pervenuti ad un risultato approssimato
per eccesso, se facevamo 0,84 x 42 = 35,28
per difetto, se facevamo 0,83 x 42 = 34,86
Aumentando il numero delle cifre decimali considerate, ci saremmo avvicinati sempre di più al risultato
esatto, ma non lo avremmo raggiunto mai!
0,833 x 42 = 34,986
0,8333 x 42 =34,9986
0,83333 x 42 = 34,99986
…….
