Scomposizione di un polinomio

METODI DI SCOMPOSIZIONE DI POLINOMI
1) Raccoglimento totale a fattor comune
Da provare sempre, su polinomio di qualunque grado, con qualunque numero di monomi
Si raccoglie il MCD dei monomi ( prodotto dei soli fattori comuni, presi col min esponente )
15 a2c3 –25 a3c4 d +75a4c2
Es.:
3x5
52
=
3x52
MCD = 5 a2 c2
5 a2 c2 ( 3c -5ac2d +15 a2 )
2) Raccoglimenti parziali e ripetuti a fattor comune
Da provare solo se il polinomio è scomponibile in gruppi di ugual numero di monomi ( 4= 2+2 ; 6
= 2+2+2 oppure 3+3 etc…)
Es.: 3 a2c2 –15 a3c4 + 7 pd2- 35apc2d2
1° raccogl.:
3 a2c2 ( 1- 5ac2 ) + 7 pd2 ( 1- 5ac2 )
2° raccogl.:
( 1- 5ac2 ) (3 a2c2 + 7 pd2)
3) Differenza di quadrati
Se il polinomio è un binomio ed i suoi due monomi sono due quadrati perfetti, si individuano le
due basi e si scompone il binomio nel prodotto ( somma basi ) x ( differenza basi )
N.B. : la base sempre positiva è quella col quadrato positivo; quella con segno alternato è quella
con quadrato negativo.
Es.:
- 81 a2c6 +16 p2d8
9ac3
4pd4
(4pd4 + 9ac3 ) (4pd4 - 9ac3 )
4) Quadrato di binomio
Se si ha un Trinomio, e due suoi termini sono quadrati perfetti dello stesso segno, trovane le
basi e verifica che il 3° termine sia effettivamente uguale a 2x (1° base) x ( 2° base). Il segno di
questo 3° termine dirà se è quadrato di somma o di differenza tra le basi.
Es.:
9 a2c6
- 24ac3pd4+ 16 p2d8
3
4pd4
3ac
2 x 3ac3 x 4pd4 = 24ac3pd4
( 3ac3 - 4pd4 )2
5) Quadrato di trinomio
Se si ha un Esanomio ( 6 termini ), e tre termini sono quadrati perfetti dello stesso segno,
trovane le basi e verifica che: un 4° termine sia effettivamente uguale a 2x (1° base) x ( 2° base)
un 5° termine sia effettivamente uguale a 2x (1° base) x ( 3° base).
un 6° termine sia effettivamente uguale a 2x (2° base) x ( 3° base).
Se i doppi prodotti non saranno tutti positivi, quello di segno diverso dagli altri due indicherà le basi
da prendere col segno +
6) Trinomio di 2° grado ( con 1° coefficiente = 1)
Dato un trinomio di 2° grado in una variabile qualunque, di tipo : x2 + ax + b
Trovare due numeri tali che : la loro somma sia a
Il loro prodotto sia b
La scomposizione sarà : ( x + 1° num.) ( x + 2° num.)
Es.: x2 -7 x + 6 (Prodotto positivo  stesso segno per i due numeri) (Somma neg.  magg. neg.)
Prodotto = +6 : Possibili coppie : (-1,-6 );
(-2,-3) ;
(+1,+6 );
(+2,+3)
Somma corrispondente:
- 7 ( si )
- 5 (no)
+7(no)
+5 (no)
I numeri sono :
-1 -6
la scomposizione è : (x – 1 ) ( x – 6 )
7) Trinomio di 2° grado ( con 1° coefficiente diverso da 1)
Dato un trinomio di 2° grado in una variabile qualunque, di tipo : ax2 + bx + c
1° Fase:
Trovare due numeri tali che :
la loro somma sia
b
Il loro prodotto sia a  c
2° Fase :
Scomporre il 2° termine secondo coefficienti uguali ai numeri trovati
3° Fase :
Eseguire raggruppamenti parziali ripetuti
Es.: -2x2 –5 x + 3
1°)
Prod. = (+3)  (-2) = -6
Somma = -5
(Prodotto negativo : segno opposto per i due numeri) (Somma neg. : segno del maggiore = neg.)
Prodotto = -6 : Possibili coppie:
(-6,1);
(-3,2)
Somma corrispondente:
- 5 ( si )
( -1 ) no
I numeri sono :
-6, 1
2°)
Sostituiamo (-6x + x ) a ( -5x ) , ottenendo :
3°)
Raggruppando a coppie:
-2x ( x+3 ) + (x+3)
=
-2x2 – 6 x + x + 3
( x+3 ) ( -2x+1 )
8) Cubo di binomio:
Se il polinomio è un quadrinomio e due monomi sono due cubi perfetti, si individuano le due
basi b1 e b2 e si verifica che gli altri due termini siano rispettivamente uguali a:
3 x b12 x b2
e
3 x b1 x b22
Es.:
8p3 –36b2p2 – 27b6 + 54b4p
2p
-3b2
3 x (2p)2 x (-3b2) = 3 x 4p2 x (-3b2) = –36b2p2
3 x (2p) x (-3b2) 2 = 3 x 2p x 9b4 = 54b4p
Si può scomporre in :
(2p-3b2)3
9) Somma o differenza di due potenze di uguale grado:
Si distingue a seconda che si tratti di:
GRADO PARI
GRADO DISPARI
A)
B)
Se l’ esponente ( il grado) è una
potenza di 2 (2, 4, 8, 16 etc.) , ad
es.:
x4 + y4
non si può scomporre
SOMMA 
Se l’ esponente ( il grado) è multiplo
anche di un numero dispari (6, 10,
12, 14 etc.) ,tipo :
x6 + y6
5
(a+b)
b) Un polin. di grado inferiore di 1 a
quello dato, con potenze crescenti
da 0 al max per la prima variabile e
potenze decrescenti dal max a 0
per la seconda
(e con segni alternati : +, -, +, -….)
(a4 -a3b +a2b2 -ab3 +b4)
si considerano potenze di potenze:
(x2)3 + (y2)3
5
Tipo:
a +b
Si scompone nel prodotto di:
a) Un binomio di 1° grado ( come le
basi)
Quindi la scomposizione sarà:
e ci si riconduce al caso B)
a5+b5 = ( a + b)(a4 -a3b +a2b2 -ab3 +b4))
C)
D)
a4 - b4
Tipo:
a2
b2
6
6
oppure a – b
a3
b3
Si individuano le basi ( radici quadrate ) e si
scompone come differenza di quadrati,
salvo riscomporre i binomi ottenuti:
4
4
2
2
2
oppure:
6
6
a – b = (a3 + b3 )(a3 – b3) =
2
2
2
5
(a-b)
2
a - b = (a + b )(a – b ) =
(a2 + b2 ) (a + b ) (a – b)
DIFFER. 
5
Tipo:
a -b
Si scompone nel prodotto di:
a)Un binomio di 1° grado ( come le basi)
2
(a+b)(a -ab+b ) (a-b)(a +ab+b )
c)
Un polinomio di grado inferiore di 1 a
quello dato, con potenze crescenti da
0 al max per la prima variabile e
potenze decrescenti dal max a 0 per
la seconda
(e con segni tutti positivi )
(a4 +a3b +a2b2 +ab3 +b4)
Quindi la scomposizione sarà:
a5-b5 = ( a - b) (a4 +a3b +a2b2 +ab3 +b4)
11) Metodo di Ruffini : ( da utilizzare come ultima risorsa)
Ordinare il polinomio secondo le potenze decrescenti della variabile X , e procedere a
seconda dei casi con uno dei seguenti metodi:
A) Caso col 1° coeff. = 1
Individuare tutti i possibili divisori
a
del termine noto;
B) Caso col 1° coeff.  1
Individuare tutti i divisori possibili del termine noto e del coefficiente del termine di
max grado; calcolare tutti i possibili rapporti a tra di essi.
Procedere poi , come segue:
Calcolare il valore assunto dal polinomio sostituendo alla variabile ciascuno dei valori provati . Se il
polinomio si annulla, esso sarà divisibile per ( X – a ). Eseguire la divisione applicando la regola
di Ruffini .
Es. : x 2  3x  10
Possibili divisori : ±1 ; ±2 ; ±5 ; ±10
P(+1) = 1 - 3 – 10 = 12  0
P(-1) = 1+ 3 – 10 = - 6  0
P(+2) = 4 – 6 – 10 = - 12  0
P(-2) = 4 + 6 – 10 = 0 !! Il polinomio è divisibile per [ x – ( -2)] e cioè per ( x + 2 )
Applichiamo la regola di Ruffini :
1
-3
-10
1
-2
-5
+10
0
-2
Il quoziente è :
x2 – 3x + 10 == ( x + 2 ) x ( x – 5 )
( x – 5 ), quindi: