La probabilità
Teoria della probabilità: eventi,
proprietà additiva e moltiplicativa
L’incertezza
Nella maggior parte delle situazioni la nostra
condizione è caratterizzata dall incertezza
Incertezza
relativa ad eventi che devono ancora
accadere:
Quali numeri usciranno alla prossima estrazione del Superenalotto?
Incertezza relativa ad eventi che sono già accaduti
Chi ha vinto il Campionato italiano di calcio di Serie A nella stagione
1972-73?
Incertezza relativa ad eventi che stanno accadendo
Qual è la prevalenza di infezione da HIV nella popolazione italiana?
Incertezza
generali
relativa all esistenza e alla natura di leggi
Di quanto aumenta il rischio di avere un infarto all aumentare dei
valori di PM10?
1
L’incertezza
All incertezza contribuiscono, in misura variabile:
La nostra ignoranza, ovvero la limitatezza delle informazioni di
cui disponiamo
La variabilità dei fenomeni di cui ci occupiamo
Mentre in alcuni casi l osservazione (misura) ci permette di passare
dall incertezza alla certezza (?)
Quali numeri usciranno alla prossima estrazione del
Superenalotto?
Chi ha vinto il Campionato italiano di calcio di Serie A nella
stagione 1973-74?
in altri casi, per diverse ragioni, la misurazione potrà solo ridurre
l incertezza
Qual è la prevalenza di infezione da HIV nella popolazione
italiana?
Di quanto aumenta il rischio di avere un infarto
all aumentare dei valori di PM10?
La probabilità
Che cos è la probabilità?
A che cosa serve, in generale?
A che cosa serve, per un epidemiologo?
Interpretazione
in termini probabilistici delle misure di
occorrenza e di associazione
Un fumatore ha una probabilità di ammalarsi di tumore
5 volte superiore a quella di un non fumatore
Interpretazione in termini probabilistici delle
caratteristiche di validità di un test diagnostico
La probabilità che una persona sana risulti positiva al
test mammografico è pari allo 0.5%
Quantificazione dell effetto dell errore casuale sulle
stime campionarie
La probabilità di osservare un rischio relativo ≥ 5 in
assenza di associazione è pari al 3.2%
2
La probabilità
La probabilità è ciò che ci aiuta (meglio, che ci
dovrebbe aiutare) a ragionare (a fare
affermazioni) in maniera corretta (o, quanto
meno, coerente) in condizioni di incertezza.
Ars conjectandi (Jacob Bernoulli)
Diversi aspetti:
Filosofico:
definizioni di probabilità
assiomi e regole
Applicativo: come usare le probabilità
Matematico:
EVENTO “ALEATORIO”
Definizione
L’ evento è l’ elemento di base al quale
può essere applicata la probabilità
è
il risultato di una osservazione o di un
esperimento
è la descrizione di un potenziale risultato
è lo “stato” preso da un “sistema”
L’ evento è una proposizione logica
suscettibile di essere verificata o no
a
seconda del risultato dell’ “esperimento”
3
Eventi aleatori
Un fenomeno aleatorio è un fenomeno che può
manifestarsi in vari modi e rispetto al quale siamo,
pertanto, in condizioni di incertezza.
Un fenomeno aleatorio deve essere, almeno
teoricamente, verificabile (L esito deve essere
conoscibile).
Una variabile aleatoria (numero aleatorio) è una
variabile che può assumere diversi valori.
A
ciascuno di questi valori (esaustivi
e mutuamente esclusivi) avrà senso
attribuire una probabilità
Un evento aleatorio è una variabile aleatoria che
può assumere solo due valori (V/F, 0/1)
Da
una variabile aleatoria si passa ad
un evento raggruppando i possibili esiti in
due classi
Probabilità
Teoria “classica”
La probabilità di un evento aleatorio è il rapporto tra il
numero di esiti favorevoli ad esso e quello di tutti gli esiti
possibili, purché questi ultimi siano equiprobabili.
???
Si adatta abbastanza bene a quelle situazioni in cui i
fenomeni aleatori presentano situazioni di simmetria, in
cui nessun particolare esito è favorito rispetto agli altri
due facce di una moneta
sei facce di un dado
estrazione di una carta da un mazzo
uscita di un numero alla roulette
4
Probabilità
Teoria “classica”
Dalla definizione classica deriva che la misura della
probabilità di un evento può variare da un minimo di 0
(nessun caso favorevole) come ad esempio l'uscita del 91 al
Lotto (0 su 90), fino ad un massimo di 1 (tutti i casi
favorevoli), come ad esempio pescare una pesciolino rosso
da una vasca che contiene solo pesci rossi (n su n). Diremo,
nel primo caso, che l'evento è impossibile e nel secondo
caso che l'evento è certo.
In tutti gli altri casi:
gli eventi hanno una probabilità 0 < p < 1, tanto più vicina a zero
quanto più è difficile che l'evento accada e tanto più vicina ad 1,
quanto più è facile che accada.
Un'altra importante proprietà è che:
la somma delle probabilità di tutti i possibili esiti di un fenomeno
aleatorio deve essere 1, poiché è certo che uno qualsiasi di essi
dovrà per forza verificarsi
La nascita della teoria frequentista
5
La nascita della teoria frequentista
La nascita della teoria frequentista
6
La nascita della teoria frequentista
La nascita della teoria frequentista
7
La nascita della teoria frequentista
La nascita della teoria frequentista
8
La nascita della teoria frequentista
La nascita della teoria frequentista
9
La nascita della teoria frequentista
La nascita della teoria
frequentista (e non solo…)
10
Probabilità
Teoria “frequentista”
Supponiamo di ripetere un esperimento n volte in
condizioni sostanzialmente identiche e di contare il
numero m di volte in cui l evento A si verifica
all aumentare di n la proporzione m/n si avvicina ad un
limite fisso che è la probabilità di A
P(A) = limn→∞ (m / n)
La probabilità di un evento è dunque definita come la
frequenza relativa con cui l evento si verifica in una lunga
serie di esperimenti indipendenti condotti in condizioni
virtualmente identiche
Anche in questo caso:
La probabilità di un evento è un numero compreso tra 0 e 1
La somma delle probabilità dei possibili esiti è uguale a 1
Un esercizio per capire
Un esercizio per capire la differenza tra
FREQUENZA ASSOLUTA e FREQUENZA
RELATIVA
In
Stata, la sequenza
clear
set obs 100
gen roll=1+int(6*uniform())
tab roll
Genera 100 lanci di un dado (simulati…)
Proviamo a fare 10 lanci e poi 100, 1 000,
10 000, 100 000
Come
Come
sono le differenze ASSOLUTE tra le uscite?
sono le differenze RELATIVE?
11
Probabilità
Teoria “frequentista”
Esempi:
Se un meteorologo ci dice che c è una probabilità del
30% che oggi piova, non fa riferimento ad un modello
simmetrico di eventi equiprobabili, ma si basa sulla
frequenza osservata di giorni con pioggia con
condizioni (di temperatura, umidità, pressione etc.)
simili a quelli di oggi
Se un medico ci dice che la probabilità di successo di
un intervento chirurgico su un dato paziente è
dell 87%, si basa (dovrebbe basarsi!) sulla frequenza
osservata di successi in un numero cospicuo di
interventi dello stesso tipo eseguiti su pazienti con
caratteristiche (età, genere, condizioni fisiche,
patologie concomitanti, etc.) simili a quelle del
paziente dato
Probabilità
Definizioni a confronto
Ma possiamo davvero considerare tutti
gli eventi “ripetibili”?
Qualche
Definizione
Classica
volta e’ necessario un’altro approccio:
Approccio
Tempo
Eventi
Stima
Esempi
teorico
a priori
equiprobabili
calcolo
gioco d' azzardo
oggettivo
a posteriori
ripetibili
frequenza relativa
morbosità in
mortalità e
Frequentista
valutazione individuale da
Bayesiana
soggettivo
a priori
irripetibili
parte di un soggetto
razionale e coerente
popolazioni
stima del rischio
individuale
12
Probabilità
Teoria “soggettiva”
Secondo questa teoria, la probabilità è
una misura del grado di fiducia
soggettiva (di chi parla) che un evento si
realizzi (o che una variabile aleatoria
assuma un determinato valore) su una
scala che va da 0 (completa sfiducia che
l evento si verifichi) a 1 (certezza che
l evento si verifichi)
Ovviamente, considerazioni di simmetria
e di frequenza relativa osservata sono
alla base della valutazione soggettiva
Probabilità
Teoria “soggettiva”
La probabilità assegnata ad un evento
corrisponde a quanto sono disposto a pagare
per vincere 1 nel caso che l evento si
verifichi
Secondo
la teoria soggettiva dire che la
probabilità di A è uguale a 0.75 significa dire che
sarei disposto a pagare 75c per vincere 1€ al
verificarsi di A
La teoria soggettiva è particolarmente adatta
nel caso di eventi che possono verificarsi una
sola volta e di eventi già verificatisi ma ignoti
13
Probabilità
ogni approccio ha i suoi aspetti critici
Non tutti i fenomeni presentano simmetrie
che li rendono riconducibili a combinazioni di
eventi equiprobabili
Il fatto che all aumentare del numero di
esperimenti la frequenza relativa tenda ad un
limite è un ipotesi (legge
empirica delle
medie) che non può essere dimostrata né
matematicamente né empiricamente
Per molti eventi non è possibile immaginare,
nemmeno teoricamente, la ripetizione
dell esperimento
Probabilità: ogni approccio ha i
suoi aspetti critici
Ci piacerebbe che la probabilità fosse
una proprietà dell evento,
non
La definizione soggettiva ipotizza una
rigidità rispetto al rischio
che
dello stato mentale di chi la esprime
in genere non c è
Tuttavia, l oggettività viene
recuperata nel definire le regole da
usare
per
modificare le probabilità a priori alla luce
delle osservazioni fatte
14
Probabilità
Per fortuna, le regole di calcolo delle
probabilità
che
riguardano il modo per quantificare la
probabilità di eventi complessi,
sono largamente indipendenti dalla
teoria sottostante…
Le proprietà della probabilità
15
Eventi e teoria degli insiemi
Insieme
collezione
di elementi aventi una proprietà in
comune
nel caso degli eventi e della probabilità, si
tratta realizzazioni dello stesso evento
A
Esempi:
1) Che un soggetto sia fumatore
2) Che un soggetto sia affetto
da tumore polmonare
Eventi e teoria degli insiemi
Spazio o universo
L’
insieme che comprende tutti i possibili
elementi
Viene rappresentato spesso da un rettangolo
che rappresenta lo spazio finito dell’
esperienza a cui si sta facendo riferimento
Esempio:
La popolazione
dei suscettibili ad una
specifica patologia
(coloro cioè che
possono ammalarsi)
A
U
16
Eventi e teoria degli insiemi
Sottoinsieme
Ogni
elemento di A è anche elemento di B
evento A si verifica solo se è verificato
anche l’ evento B
A ⊂ B
L’
Esempio:
I forti fumatori (A)
sono un sottoinsieme
dei fumatori (B)
A
B
U
Eventi e teoria degli insiemi
Insieme Unione
l’
insieme che contiene tutti gli elementi di A e
tutti gli elementi di B
Si esprime come A ∪ B
∪ = “OR” (operatore booleano)
Esempio:
L’ insieme dei soggetti che
fumano (A) sigari,
(B) sigarette
A∪B
17
Eventi e teoria degli insiemi
Insieme Intersezione
l’
insieme che contiene tutti gli elementi che
appartengono sia ad A che a B
Si esprime come A ∩ B
= “AND”
(operatore booleano)
Esempio:
L’ insieme dei soggetti
che fumano (B),
e sono affetti da
tumore pomonare (A)
A
A ∩ B
∩
B
Eventi e teoria degli insiemi
Insieme complementare
l’insieme
che contiene tutti gli elementi dell’
Universo U che non appartengono ad A
comprende tutti gli eventi che escludono A
c
A
= “NOT” (operatore booleano)
∩ Ac = φ (l’evento nullo)
Esempio:
L’ insieme dei soggetti
NON affetti da
tumore pomonare (Ac)
A
Ac
18
Eventi mutuamente esclusivi
Due eventi A e B che non possono
verificarsi contemporaneamente sono
definiti “mutuamente esclusivi”
esempio:
A
è l’evento che il tumore sia di stadio III
B è l’ evento che sia di stadio IV
A ∩ B = φ
⇒
P(A ∩ B ) = 0
A
B
A
B
19
La proprietà additiva
Quando due eventi sono mutuamente
esclusivi, la proprietà additiva della
probabilità afferma che:
la
probabilità del verificarsi dell’ uno oppure
dell’altro evento
è pari alla somma della probabilità di ciascuno
dei due eventi
OR
A
P(A ∪ B ) = P(A) + P(B)
P(A ∪ B ) > P(A)
B
A
B
P(A ∪ B ) > P(B)
La proprietà additiva
Quando due eventi NON sono
mutuamente esclusivi, la proprietà
additiva della probabilità afferma che:
la
probabilità del verificarsi dell’ uno oppure
dell’altro evento
è pari alla somma della probabilità di ciascuno
dei due eventi meno la probabilità dell’ evento
intersezione (che altrimenti sarebbe contata due volte)
P(A ∪ B ) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B )
A
A ∩ B
B
P(A ∪ B ) > P(A)
P(A ∪ B ) > P(B)
20
21
La proprietà moltiplicativa
Prendiamo in esame 1 evento aleatorio
esposizione ed 1 effetto: ad esempio
esposizione al fumo ed la presenza di BPCO
Se i due eventi non sono associati, si
combineranno casualmente, seguendo la
proprietà moltiplicativa della probabilità
10%
20%
50%
x
=
P(A AND B ) = P(A) x P(B)
P(A AND B ) < P(A); P(A AND B ) < P(B)
Eventi indipedenti e dipendenti
• L’ Epidemiologia costruttiva utilizza le misure di frequenza allo
scopo di stimare se i due eventi si associano solo casualmente, o
se l’esposizione aumenta il RISCHIO di malattia:
se l’ esposizione e la
malattia sono tra loro
indipendenti
(non esiste dunque alcuna
associazione)
La probabilità di essere
Fumatore AND Malato
è il prodotto delle
probabilità elementari
se l’ esposizione e la
malattia sono tra loro
dipendenti
(l’esposizione modifica la
probabilità di malattia)
La probabilità di essere
Fumatore AND Malato
è MAGGIORE del prodotto
delle probabilità elementari
22
La probabilità condizionata
L’ esposizione e la malattia potrebbero essere
distribuite nella popolazione come nel seguente
schema:
Malati
0,2
0,8
0,5
Non
malati
0,5
Esposti
Non
esposti
23
Eventi indipendenti
se l’ esposizione e la malattia sono tra loro
indipendenti la conoscenza dello stato di
malattia non influenza la probabilità che un
soggetto sia esposto
0,5
0,2
0,8
Malati
0,5
Non
malati
0,5
0,5
Esposti
Non esp.
0,1
0,5*0,2= 0,1
0,5*0,2=
Esposti
0,5*0,8=
0,4
Non esp.
0,5*0,8=
0,4
Eventi dipendenti
se l’ esposizione e la malattia sono tra loro
dipendenti la conoscenza dello stato di malattia
modifica la stima della probabilità che un
soggetto sia esposto
0,95
0,2
Malati
0,05
0,39
0,8
Esposti
Non esp.
Esposti
0,19
0,05*0,2= 0,01
0,95*0,2=
0,39*0,8=
0,31
Non
malati
0,61
Non esp.
0,61*0,8= 0,49
24
La probabilità condizionata
se l’ esposizione e la malattia sono tra loro
dipendenti la conoscenza dello stato di malattia
modifica la stima della probabilità che un
soggetto sia esposto
Malati
Esposti
Non esp.
Esposti
Non
malati
La conoscenza dello stato
assunto da uno dei due eventi
condiziona la stima della
probabilità che si verifichi
l’ALTRO evento:
PROBABILITA’
CONDIZIONATA
Non esp.
25
Il teorema di Bayes (1)
a partire dai prodotti marginali e dalle
probabilità nelle singole diramazioni, è possibile
“rovesciare” l’ albero delle probabilità
B
B
P(B∩A) ∪ P(B∩Ac) = P(BANDA) OR P(BANDAc) = P(B)
P(A)* P(B|A) + P(Ac)* P(B|Ac) = P(B)
(0,95*0,2) + (0,39*0,8 ) = 0,19
+ 0,31 = 0,50
Bc
P(Bc∩A) ∪ P(Bc∩Ac) = P(BcANDA) OR P(BcANDAc) = P(Bc)
Bc
P(A)* P(Bc|A) + P(Ac)* P(Bc |Ac) = P(Bc)
(0,05*0,2) + (0,61*0,8) = 0,01
+ 0,49 = 0,50
Il teorema di Bayes (2)
In questo modo è possibile modificare la stima
della probabilità che un soggetto sia malato
sulla base della conoscenza dello stato di
esposizione
0,19/0,5=
0,38
0,19+0,31=
0,5
Esposti
0,31/0,5=
0,62
0,01/0,5=
0,01+0,49=
0,5
Non
esposti
0,02
0,49/0,5=
0,19
Malati
0,5*0,38=
Non
malati
0,5*0,61= 0,31
Malati
0,5*0,02=
0,01
Non
malati
0,5*0,98=
0,49
0,98
26
Il teorema di Bayes ed i test
Il teorema di Bayes viene utilizzato
spesso nella valutazione di test
diagnostici o screening
Test
Diagnostici: hanno come obiettivo di
consentire una diagnosi di malattia
Test di Screening: utilizzati su soggetti che non
presentano alcuna sintomatologia clinica,
permettono di classificare tali individui sulla base
della probabilità di essere affetti da una
particolare patologia
Il teorema di Bayes consente di
utilizzare la probabilità per valutare le
incertezze associate ai risultati
Misure di qualità di un test
SENSIBILITA’:
la
percentuale di soggetti malati che il test
classifica come positivi
= Veri positivi / (Veri positivi + Falsi
negativi)
esprime la probabilità che il test sia positivo nei
soggetti malati
SPECIFICITA’:
la
percentuale di soggetti sani che il test
identifica come negativi
= Veri negativi / (Veri negativi + Falsi
positivi)
esprime la probabilità che il test sia negativo nei
soggetti sani
27
Qualità del test ed alberi di probabilità
Sensibilità
Prevalenza
Malati
P(A)
1- P(A)
P(B|A)
Test +
Test-
Non
malati
Test +
Test-
Specificità
Veri positivi
Falsi negativi
Falsi positivi
Veri negativi
P(Bc|Ac)
Misure di qualità di un test
VALORE PREDITTIVO DEL TEST
POSITIVO (VPP):
la
probabilità di essere malati dei soggetti risultati
positivi al test
= Veri positivi / (Veri positivi + Falsi positivi)
VALORE PREDITTIVO DEL TEST
NEGATIVO (VPN):
la
probabilità di essere sani dei soggetti risultati
negativi al test
= Veri negativi / (Veri negativi + Falsi negativi)
28
Qualità del test ed alberi di probabilità
Valore predittivo
test +
P(A|B)
Test +
P(B)
Malati
Veri positivi
Non
malati
Malati
Test-
Falsi positivi
Falsi negativi
Non
malati
Valore predittivo
test -
Veri negativi
P(Ac|Bc)
Qualità del test ed alberi di probabilità
P(A|B) =
P(A)* P(B|A)
P(A)* P(B|A) +
P(Ac)*
P(B|Ac)
Preval. * Sensib.
=
(Preval. * Sensib.) + (1-Preval.)*(1-Specif.)
Sensibilità
Prevalenza
Test
+
Veri positivi
Veri positivi
Malati
Test-
Falsi negativi
Falsi positivi
Non
malati
Test
+
Falsi positivi
Falsi negativi
Malati
Veri negativi
Non
malati
Malati
Non
malati
Test-
Test
+
TestVeri negativi
Specificità
P(Ac|Bc)=
Valore
predittivo
del test +
P(Ac)* P(Bc|Ac)
P(A)* P(Bc|A) + P(Ac)* P(Bc|Ac)
=
Valore
predittivo
del test -
(1-Preval. )* Specif.
Preval. * (1-Sensib.) + (1-Preval.)*Specif.
29
Sistema di
Classificazione citologica
Classificazione
Bethesda
Infezione
Reazioni
Lesione Intraepiteliale Squamosa (SIL)
ASCUS Basso Grado (LSIL)
Alto Grado (HSIL)
riparative
Richart
Condiloma
Reagan (OMS)
Normale
Atipia
Neoplasia Intraepitaeliale della Cervice
CIN I
CIN II
CIN III
Displasia lieve
Displasia
Moderata
Papanicolau
I
II
Displasia Carcinoma Carcinoma
grave
III
in situ
invasivo
IV
V
da: Nanda K, et al., Ann Intern Med 2000; 132:810-819
Il Pap-test
Stime di frequenza
10:1000 (p=0.01)
3:1000 (p=0.003)
da: CNR - Basi scientifiche per la definizione di linee guida
da: Loiudice et al, Eur J Cancer Prev, 1998; 7:295-304
Sensibilità
Specificità
80:1000
10:1000 (p=0.01)
(p=0.08)
0.40
0.96
0.75
0.93
10:100000
(p=0.0001)
Un esempio: il pap-test
Sensibilità
Prevalenza
Malati
P(B|A)
=0.75
P(A)=0.01
Test +
Veri positivi
Test-
Falsi negativi
1-0.75=0.25
1-0.01
=0.99
Non
malati
1-0.93=0.07
Specificità
=0.01*0.25
=0.0025
Test + Falsi positivi
=0.99*0.07
=0.0693
TestP(Bc|Ac)
=0.93
=0.01*0.75
=0.0075
Veri negativi
=0.99*0.93
=0.9207
30
Qualità del test ed alberi di probabilità
P(A|B) =
P(A)* P(B|A)
P(A)* P(B|A) + P(Ac)* P(B|Ac)
Preval. * Sensib.
=
(Preval. * Sensib.) + (1-Preval.)*(1-Specif.)
Valore predittivo
del test +
Sensibilità
0.75
Prevalenza
0.0075
Veri positivi
0.0025
0.0693
Test-
Falsi negativi
Falsi positivi
Test
+
Falsi positivi
Falsi negativi
0.0025
Malati
0.01
0.25
0.07
0,999917
Non
malati
0.93
0.0075
Veri positivi
Test
+
Test-
0.0693
Malati
Non
malati
Veri negativi
Veri negativi
0.9207
0.9207
P(A)*
+
P(Ac)*
0.0768
0.9023
0.0027
P(Ac)* P(Bc|Ac)
P(Bc|A)
Test
+
Malati
TestNon
malati
P(Bc|Ac)
=
0.9232
0.9973
Valore predittivo
del test -
Specificità
P(Ac|Bc)=
0.0976
(1-Preval. )* Specif.
Preval. * (1-Sensib.) + (1-Preval.)*Specif.
Qualità del test ed alberi di probabilità
Valore predittivo test +
0.0075/0.0768
0.0075
+0.0693
=0.0768
Malati
Test +
Veri positivi
=0.0075
=0.0976
Non
malati
Falsi positivi
Malati
Falsi negativi
0.0693/0.0768
=0.0693
=0.9023
0.0025/0.9232
=0.0027
0.0025
+0.9207
=0.0025
Test-
=0.9232
0.9207/0.9232
=0.9973
Non
malati
Veri negativi
=0.9207
Valore predittivo test -
31
32
33
