1. Spazi di misura In questo paragrafo accenneremo alla nozione di

1. Spazi di misura
In questo paragrafo accenneremo alla nozione di spazio di misura.
Definizione 1. Sia X un insieme non vuoto. Una famiglia A di sottoinsiemi di X è una σ-algebra se :
(1) ∅ ∈ A;
(2) se A ∈ A, allora Ac ∈SA;
(3) se {An } ⊂ A, allora +∞
n=1 An ∈ A, cioè la famiglia A è chiusa
rispetto alle unioni numerabili.
La coppia (X, A) è chiamata spazio misurabile, e gli elementi di A sono
chiamati insiemi misurabili. Si noti che (1) e (2) implicano che X ∈ A.
Inoltre, per le leggi di De Morgan, la famiglia A è chiusa rispetto alle
intersezioni numerabili.
Nel seguito denoteremo con 2X o P(X) la famiglia dei sottoisiemi di
X.
Esempio 1. Sia X 6= ∅ e A = 2X . A è una σ-algebra su X. Anche la
famiglia A = {∅, X} è una σ-algebra su X.
Esercizio 1. Siano X 6= ∅ e {Aα :Tα ∈ I} una famiglia di σ-algebre su
X. Verificare che la famiglia A = α∈I Aα è una σ-algebra su X.
Definizione 2. Siano X 6= ∅ e G ⊂ 2X . L’intersezione di tutte le
σ-algebre che contengono G è nota come la σ-algebra generata da G.
Denotiamo tale σ-algebra con σ(G).
Esercizio 2. La definizione precedente è ben posta?
risposta.
Motivare la
Definizione 3. Se X 6= ∅ è uno spazio topologico, la σ-algebra B(X)
generata dagli insiemi aperti è chiamata σ-algebra di Borel.
Esercizio 3. Siano X = R e G = {]a, b[: a, b ∈ R e a < b}. Verificare
che σ(G) = B(R).
Definizione 4. Sia (X, A) uno spazio misurabile. Una misura (positiva) su tale spazio è una funzione µ : A → [0, +∞] tale che
(1) µ(∅) = 0;
(2) se{An } ⊂ A con An ∩ Am = ∅ se n 6= m , allora
[
X
µ( An ) =
µ(An ).
n
La terna (X, A, µ) è chiamata spazio di misura.
1
2
Esempio 2. Sia X 6= ∅ e A una σ-algebra su X. Definiamo µ : A →
[0, +∞] come
card (A) se A è finito
µ(A) =
+∞
se A è infinito
La funzione µ è una misura nota come la misura che conta i punti di
un insieme.
Definizione 5. Sia X un insieme non vuoto. Una famiglia A di sottoinsiemi di X è un’ algebra se :
(1) ∅ ∈ A;
(2) se A ∈ A, allora Ac ∈ A;
(3) se A, B ∈ A, allora A ∪ B ∈ A, cioè la famiglia A è chiusa
rispetto alle unioni finite.
Esercizio 4. Sia (X, A, µ) uno spazio di misura e A, B ∈ A. Se A ⊂ B
verificare che µ(A) ≤ µ(B).
Esercizio 5. Sia X 6= ∅, A = 2X , Y ⊂ X e µ : 2X → [0, +∞] definita
da
0 se A ∩ Y = ∅
µ(A) =
1 se A ∩ Y 6= ∅
µ è una misura?
Esercizio 6. Sia X 6= ∅ e x0 ∈ X. Poniamo A = {A ∈ 2X : x0 ∈
A} ∪ {∅}. A è una σ-algebra? Motivare la risposta.
Esercizio 7. Sia X = R, G = {]a, b[⊂ R} e H = {]a, b] ⊂ R}. Verificare che G e H generano la stessa σ-algebra.
Esercizio 8. Sia X 6= ∅ e A ⊂ 2X un’algebra su X, allora A è una
σ-algebra se vale una delle seguenti condizioni:
(i) se (An ) ⊂ A è crescente, allora ∪An ∈ A, o
(ii) se (An ) ⊂ A è decrescente, allora ∩An ∈ A.
Esercizio 9. Sia X =
6 ∅ e A ⊂ 2X tale che A ∈ A se e solo se A o Ac
è al più numerabile. A è una una σ-algebra?
Esercizio 10. Sia (X, τ ) uno spazio topologico. Determinare la σalgebra di Borel se τ è la topologia discreta o τ = {∅, X}.
3
2. Misure esterne e insiemi misurabili
Siano X 6= ∅ e 2X l’insieme delle parti di X.
Definizione 6. Una funzione µ : 2X → [0, +∞] è una misura (esterna)
su X se:
(i) µ(∅) = 0,
P
S+∞
(ii) µ(A) ≤ +∞
n=1 µ(An ) non appena A ⊂
n=1 An .
Osservazione. Se µ è una misura (esterna) su X e A ⊂ B, allora
µ(A) ≤ µ(B).
Definizione 7. Siano µ una misura (esterna) su X e A ⊂ X. La
restrizione di µ all’insieme A, sia essa µbA, è la misura (esterna) su X
definita da:
(µbA)(B) = µ(A ∩ B) per ogni B ∈ 2X .
Definizione 8. Siano µ una misura (esterna) su X e A ⊂ X. L’insieme
A è µ - misurabile se per ogni insieme B ⊂ X risulta
µ(B) = µ(B ∩ A) + µ(B ∩ Ac ).
Se µ(A) = 0, allora l’insieme A è µ-misurabile. Si noti che un insieme
è µ-misurabile se e solo se lo è Ac .
Proposizione 1. Siano µ una misura (esterna) su X e A ⊂ X. Ogni
sottoinsieme C di X µ-misurabile è anche (µbA)-misurabile.
Dimostrazione. Se C ⊂ X è µ-misurabile, allora per ogni insieme
B ⊂ X risulta
(µbA)(B) = µ(A ∩ B) = µ(A ∩ B ∩ C) + µ(A ∩ B ∩ C c )
= (µbA)(B ∩ C) + (µbA)(B ∩ C c ).
Proposizione 2. Siano µ una misura (esterna) su X e A, B ⊂ X.
Se A, B sono µ-misurabili lo sono anche gli insiemi A ∪ B, A ∩ B e
A \ B.
Dimostrazione. A ∪ B è µ-misurabile. Fissato C ⊂ X, l’ipotesi che
gli insiemi A, B sono µ-misurabili assicura
µ(C) = µ(C ∩ A) + µ(C ∩ Ac )
= µ(C ∩ A) + µ(C ∩ Ac ∩ B) + µ(C ∩ Ac ∩ B c )
≥ µ(C ∩ (A ∪ B) + µ(C ∩ (A ∪ B)c ).
4
La µ-misurabilità dell’insieme A ∪ B segue essendo
µ(C) ≥ µ(C ∩ (A ∪ B) + µ(C ∩ (A ∪ B)c ).
A ∩ B è µ-misurabile essendo (A ∩ B)c = Ac ∪ B c .
A \ B è µ-misurabile essendo(A \ B) = A ∩ B c .
Proposizione 3. Siano µ una misura (esterna) su X e A, B ⊂ X con
A ∩ B = ∅. Se A e B sono µ-misurabili, allora
µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B).
Dimostrazione. L’ipotesi che A è µ-misurabile assicura
µ(A ∪ B) = µ((A ∪ B) ∩ A) + µ((A ∪ B) ∩ Ac ) = µ(A) + µ(B).
Corollario 1. Se A e B sono µ-misurabili, con A ⊂ B e µ(A) < +∞,
allora
µ(B \ A) = µ(B) − µ(A).
Proposizione 4. Siano µ una misura (esterna) su X e (An ) una successione di insiemi µ-misurabili a due a due disgiunti, allora
X
µ(∪An ) =
µ(An ).
n
Dimostrazione.
La Prop. 2 assicura che l’insieme ∪nk=1 Ak è µmisurabile per ogni n ∈ N e la Prop. 3 che
µ(
+∞
[
An ) ≥ µ(
n=1
n
[
Ak ) =
n
X
µ(Ak ).
k=1
k=1
Ne segue
µ(
+∞
[
n=1
An ) ≥
+∞
X
µ(An )
n=1
e quindi la tesi.
Proposizione 5. Siano µ una misura (esterna) su X e (An ) una successione di insiemi µ-misurabili.
(i) Se A1 ⊂ A2 ⊂ · · · ⊂ An · · · , allora
lim µ(An ) = µ(
n→+∞
+∞
[
n=1
An ).
5
(ii) Se A1 ⊃ A2 ⊃ · · · ⊃ An · · · e
µ(A1 ) < +∞, allora
lim µ(An ) = µ(
n→+∞
+∞
\
An ).
n=1
Dimostrazione. (i) Poniamo B1 = A1 e Bk = Ak \ Ak−1 per k ∈
N \ {1}. Gli insiemi Bk sono µ-misurabili, a due a due disgiunti e tali
che
+∞
+∞
[
[
Bk =
Ak .
k=1
k=1
La Prop. 4 assicura che
lim µ(An ) = lim µ(
n→+∞
n→+∞
=
+∞
X
n
[
Bk ) = lim
n→+∞
k=1
µ(Bk ) = µ(
k=1
+∞
[
Bk ) = µ(
k=1
+∞
[
n
X
µ(Bk )
k=1
Ak ).
k=1
(ii). Per ogni n ∈ N poniamo Bn = A1 \ An . Gli insiemi Bn sono
µ-misurabili e B1 ⊂ B2 ⊂ · · · ⊂ Bn · · · , utilizzando la (i) otteniamo
µ(A1 ) − lim µ(An ) = lim µ(A1 \ An ) = lim µ(Bn )
n→+∞
= µ(
+∞
[
n→+∞
Bn ) = µ(A1 \
n=1
+∞
\
n→+∞
An ) ≥ µ(A1 ) − µ(
n=1
+∞
\
An ).
n=1
Dalla relazione precedente segue
µ(
+∞
\
An ) ≥ lim µ(An )
n→+∞
n=1
ed essendo
µ(
+∞
\
An ) ≤ µ(An )
n=1
per ogni n si deduce la (ii).
Proposizione 6. Siano µ una misura (esterna) su X e (An ) una successione di insiemi µ-misurabili. Gli insiemi
+∞
[
n=1
sono µ-misurabili.
An
e
+∞
\
n=1
An
6
Dimostrazione. Per provare che ∪An è µ-misurabile, basta verificare
che l’uguaglianza
µ(B) = µ(B ∩ (∪An )) + µ(B ∩ (∪An )c )
sussiste per ogni insieme B tale che µ(B) < +∞. Poniamo Bn =
∪nk=1 Ak per ogni n. Risulta
µ(B ∩ (∪An )) + µ(B ∩ (∪An )c ) = (µbB)(∪An ) + (µbB)(∪An )c )
= (µbB)(∪Bn ) + (µbB)(∪Bn )c ) = lim (µbB)(Bn ) + lim (µbB)(Bnc )
n→+∞
= lim (µbB)(Bn ∪
n→+∞
n→+∞
Bnc )
= µ(B).
Da (∩An )c = ∪Acn segue la µ-misurabilità dell’intersezione.
Osservazione. Se µ è una misura (esterna) su X, allora la famiglia
dei sottoinsiemi µ-misurabili di X è una σ-algebra.
Definizione 9. Sia µ una misura (esterna) su X e A ⊂ X. L’insieme
A è σ-finito se A = ∪An con An µ-misurabile e µ(An ) < +∞ per ogni
n.
Definizione 10. Sia µ una misura (esterna) su X.
(i) La misura µ è regolare se per ogni A ⊂ X esiste un insieme
µ-misurabile B tale che A ⊂ B e µ(A) = µ(B).
(ii) Sia X = Rn . La misura µ è di Borel se ogni insieme di Borel è
µ-misurabile.
(iii) Sia X = Rn . La misura µ è Borel regolare se è una misura di
Borel e per ogni A ⊂ Rn esiste un insieme di Borel tale che
A ⊂ B e µ(A) = µ(B).
(iv) Sia X = Rn . µ è una misura di Radon se è Borel regolare e
µ(K) < +∞ per ogni compatto K ⊂ Rn .
Teorema 1. Siano µ una misura regolare su X e A1 ⊂ A2 ⊂ · · · ⊂
An ..., allora
+∞
[
lim µ(An ) = µ(
An ).
n→+∞
n=1
Dimostrazione. Per ogni n ∈ N esiste un insieme µ-misurabile, Cn
tale che An ⊂ Cn e µ(An ) = µ(Cn ). Posto Bn = ∩k≥n Ck otteniamo una
successione crescente di insiemi µ-misurabili con An ⊂ Bn e µ(An ) =
µ(Bn ). La Prop. 5 assicura che
lim µ(An ) = lim µ(Bn ) = µ(
n→+∞
n→+∞
+∞
[
n=1
Bn ) ≥ µ(
+∞
[
n=1
An ).
7
Per concludere basta osservare che µ(An ) ≤ µ(
implica
+∞
[
lim µ(An ) = µ(
An )
n→+∞
S+∞
n=1
An ), per ogni n,
n=1
e quindi la tesi.
Il teorema che segue mette in evidenza come ottenere misure di
Radon nota una misura regolare di Borel.
Teorema 2. Sia µ una misura regolare di Borel su Rn . Se A ⊂ Rn è
µ-misurabile con µ(A) < +∞, allora µbA è una misura di Radon.
Dimostrazione. Poniamo ν = µbA. Chiaramente ν(K) < +∞ per
ogni compatto K ⊂ Rn . La misura esterna ν è di Borel essendo ogni
insieme µ-misurabile anche ν-misurabile. L’ipotesi che µ è Borel regolare assicura che esiste un insieme di Borel B tale che A ⊂ B e
µ(A) = µ(B). Essendo A µ-misurabile segue che µ(B \ A) = 0. Di
conseguenza µbA = µbB, infatti per ogni sottoinsieme C ⊂ Rn si ha :
(µbB)(C) = µ(B ∩ C) = µ(B ∩ C ∩ A) + µ(B ∩ C ∩ Ac )
≤ µ(A ∩ C) + µ(B ∩ Ac ) = µ(A ∩ C) = µbA)(C).
Non è restrittivo supporre che A sia un insieme di Borel per verificare
che la misura ν è Borel regolare. Per ogni sottoinsieme C di Rn esiste
un insieme E di Borel tale che A∩C ⊂ E e µ(A∩C) = µ(E). Poniamo
D = E ∪ Ac ed osserviamo che D è un insieme di Borel e che C ⊂ D.
Risulta
ν(D) = µ(A ∩ D) = µ(A ∩ E) ≤ µ(E) = µ(A ∩ C) = ν(C).
Teorema 3. Sia (X, d) uno spazio metrico e µ una misura esterna
finita di Borel. Allora per ogni insieme di Borel B ∈ 2X si ha :
(1) µ(B) := sup{µ(C) : C chiuso e C ⊂ B},
(2) µ(B) := inf{µ(A) : A aperto e B ⊂ A}.
Dimostrazione. Ci limitiamo a provare la (1) in quanto la (2) si
ottiene dalla (1) considerando i complementari. Definiamo
F := {B : B è di Borel, B e B c verificano la (1)}.
Gli insiemi chiusi verificano la (1) in modo ovvio; anche gli insiemi
aperti verificano la (1) in quanto unione numerabile di insiemi chiusi
in esso contenuti. (Si ricordi il teorema sulle successioni crescenti di
insiemi misurabili). Segue che gli insiemi chiusi e quelli aperti sono
contenuti in F. Per concludere basta mostrare che F è una σ-algebra.
8
Supponiamo B1 , B2 ∈ F. Fissato ε > 0 esistono due insiemi chiusi
C1 ⊂ B1 , C2 ⊂ B2 tali che µ(B1 \ C1 ) < ε, µ(B2 \ C2 ) < ε. Da
(B1 ∩ B2 ) \ (C1 ∩ C2 ) ⊂ (B1 \ C1 ) ∪ (B2 \ C2 )
(B1 ∪ B2 ) \ (C1 ∪ C2 ) ⊂ (B1 \ C1 ) ∪ (B2 \ C2 )
otteniamo
µ((B1 ∩ B2 ) \ (C1 ∩ C2 )) < 2ε,
µ((B1 ∪ B2 ) \ (C1 ∪ C2 )) < 2ε.
Di conseguenza B1 ∩ B2 e B1 ∪ B2 verificano la (1). Poiché F è chiusa
rispetto al passaggio al complementare deduciamo che B1 ∪B2 , B1 ∩B2 ,
B1 \SB2 ∈ F. Ora supponiamo {Bn } ⊂ F. Al fine di mostrare
che Bn ∈ F, possiamo assumere che gli insiemi Bn sono a due a
due disgiunti (in quanto il complementare e l’intersezione finita di elementi
sono ancora element di F). In tale ipotesi sappiamo che
S di F P
µ( n Bn ) = n µ(Bn ). Essendo µ finita, la serie a secondo membro è
convergente.
Fissato ε > 0, possiamo trovare sistemi chiusi {Cn } tali che Cn ⊂ Bn
e µ(Bn \ Cn ) < 2−n ε.
P
Scegliamo m ∈ N in modo che risulti n>m µ(Bn ) < ε e consideriamo l’insieme chiuso
m
[
C=
Cn .
n=1
Con tale scelta si ha:
m
[
[
[ [
µ(( Bn ) \ C) = µ(( (Bn \ Cn )) (
Bn ))
n
=
m
X
n=1
n=1
µ(Bn \ Cn ) +
X
n>m
µ(Bn ) < ε + ε = 2ε.
n>m
T
Ne segue che n Bn verifica la (1). Se poniamo C = Cn , allora
\
[
X
µ(( Bn ) \ C) ≤ µ( (Bn \ Cn )) =
µ(Bn \ Cn ) ≤ ε,
S
n
S
T
S
e cosı̀ Bn verifica la (1). Da ( Bn )c = Bnc si deduce che Bn ∈ F,
cioè F è una σ-algebra.
T
Corollario 2. Sia (X, d) uno spazio metrico e µ una misura esterna
di Borel. Allora per ogni insieme di Borel B ∈ 2X con µ(B) < +∞ si
ha :
µ(B) := sup{µ(C) : C chiuso e C ⊂ B}.
9
Corollario 3. Sia (X, d) uno spazio metrico e µ una misura esterna
di Borel. Se esiste una successione (Xn ) di insiemi aperti tali che
X = ∪Xn e µ(Xn ) < +∞ per ogni n ∈ N, allora per ogni insieme di
Borel B ∈ 2X si ha :
µ(B) := inf{µ(A) : A aperto e B ⊂ A}.
Definizione 11. Sia (X, d) uno spazio metrico e A, B ∈ 2X . Gli
insiemi A e B si dicono separati se d(A, B) > 0.
Definizione 12. Sia (X, d) uno spazio metrico. Una misura µ è additiva sugli insiemi separati se
µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B)
non appena A, B ∈ 2X sono separati.
Il teorema che segue fornisce un criterio che permette di stabilire che
una misura esterna su uno spazio metrico è di Borel.
Teorema 4. (Criterio di Carathéodory) Sia (X, d) uno spazio metrico
e µ una misura esterna che è additiva sugli insiemi separati. Allora µ
è una misura esterna di Borel.
Utilizzando la nozione di lunghezza di un intervallo possiamo definire
su R la misura esterna di Lebesgue.
Definizione 13. Sia A ⊂ R e sia CA la famiglia di tutte le successioni (In ) di intervalli aperti tali che A ⊂ ∪n In . La misura esterna di
Lebesgue L : 2R → [0, +∞] su R è definita da
X
l(In ) : (In ) ∈ CA },
L(A) = inf{
n
dove l(In ) denota la lunghezza di In .
Proposizione 7. La misura esterna L di Lebesgue è una misura di
Radon che assegna ad ogni intervallo di R la sua lunghezza.
Siano a = (a1 , . . . , an ), b = (b1 , . . . , bn ) ∈ Rn con a < b. Il volume
dell’intervallo ]a, b[ è dato da v(]a, b[) = (b1 − a1 ) · · · (bn − an ). Utilizzando la nozione di volume possiamo definire su Rn la misura esterna
n-dimensionale di Lebesgue.
Definizione 14. Sia A ⊂ Rn e sia CA la famiglia di tutte le successioni
(In ) di intervalli aperti di Rn tali che A ⊂ ∪n In . La misura esterna di
n
Lebesgue Ln : 2R → [0, +∞] su Rn è definita da
X
Ln (A) = inf{
v(In ) : (In ) ∈ CA }.
n
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Proposizione 8. La misura esterna Ln di Lebesgue su Rn è una misura
di Radon che assegna ad ogni intervallo di Rn il suo volume.
Il risultato che segue mette in evidenza che gli insiemi Ln -misurabili
possono essere approssimati con insiemi compatti o insiemi aperti.
Proposizione 9. Se A ⊂ Rn è misurabile, allora
(1) Ln (A) = inf{Ln (U ) : A ⊂ U, U aperto},
(2) Ln (A) = sup{Ln (K) : K ⊂ A, K compatto}.
Dimostrazione. La (1) è ovvia. Per provare la (2) supponiamo che
A sia limitato. Sia B un insieme chiuso limitato tale che A ⊂ B.
Fissato ε > 0, in virtu di (1), esiste un insieme aperto U ⊃ B \ A con
Ln (U ) < Ln (B \ A) + ε. L’insieme K = B \ U è compatto essendo un
insieme chiuso limitato. Da K ⊂ A e B ⊂ K ∪ U si deduce che
Ln (B) ≤ Ln (K) + Ln (U ) ≤ Ln (K) + Ln (B \ A) + ε,
cioè
0 ≤ Ln (K) − Ln (A) + ε.
La (2) è provata nel caso che A sia un insieme limitato. Il caso A
non limitato si lascia come esercizio.
Lemma 1. Sia A ⊂ R, se ogni sottoinsieme di A è L-misurabile, allora
L(A) = 0.
Dimostrazione.
Sia ∼ la relazione in R definita da x ∼ y se
x−y ∈ Q. Denotiamo con x+Q la classe di equivalenza individuata da
x. Ciascuna di queste classi è numerabile e quindi ha L- misura nulla.
Segue che esiste una famiglia non numerabile di classi di equivalenza
distinte che costituiscono una partizione di R. Utilizzando l’assioma
della scelta, in ciascuna di queste scegliamo un solo elemento e formiamo l’insieme E. L’insieme E non è numerabile per quanto premesso.
Consideriamo la famiglia numerabile di insieme {E + r : r ∈ Q}. Tale
famiglia ha le seguenti proprietà:
(1) S
(E + r) ∩ (E + s) = ∅ se r 6= s,
(2) r∈Q (E + r) = R.
Proviamo la (1). Supponiamo z ∈ (E +r)∩(E +s) ⇒ ∃x ∈ E +r e y ∈
E + s tali che z = x + r = y + s ⇒ x − y = s − r ∈ Q
x = y + (x − y) ∈ E + s
e questo è assurdo. Fissato x ∈ R, esiste y ∈ E tale che x − y ∈ Q
x = y + x − y ∈ E + (x − y).
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Fissato t ∈ Q poniamo At = A ∩ (E + t). L’insieme At ⊂ A è Lmisurabile. Sia K ⊂ At un insieme compatto e consideriamo l’insieme
[
H=
(K + r).
r∈Q∩[0,1]
L’insiemePH è limitato e L-misurabile, quindi ha misura finita. Da
L(H) = r∈Q∩[0,1] L(K + r) segue che L(K + r) = L(K) = 0. Essendo
At un insieme L-misurabile, sappiamo che
L(At ) = sup{L(K) : K ⊂ At , K compatto} ⇒ L(At ) = 0.
S
P
Per concludere L(A) = L( t∈Q At ) = t∈Q L(At ) = 0.
Corollario 4. Esistono sottoinsiemi di R che non sono L-misurabili.
Corollario 5. I sottoinsiemi numerabili di R hanno L-misura nulla.
Esercizio 11. Sia f : [a, b] → R una funzione integrabile secondo
Riemann e A = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)}. Verificare che
Rb
l’insieme A è L2 -misurabile e mostrare che L2 (A) = a f (x)dx.
Esercizio 12. Sia f : [0, +∞[→ [0, +∞[ definita da f (x) = e−x .
Verificare che l’insieme A = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ e−x } è
L2 -misurabile e trovare L2 (A).
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3. Teoremi di ricoprimento di Vitali e di Besicovitch.
Ricordiamo che un intorno chiuso di Rn è un insieme del tipo B(x, r) =
b r) = B(x, 5r).
{y ∈ Rn :k x − y k≤ r}. In quanto segue poniamo B(x,
Definizione 15.SUna famiglia F di intorni chiusi è un ricoprimento di
A ⊂ Rn se A ⊂ B∈F B. Se
inf{r : B(x, r) ∈ F} = 0
per ogni x ∈ A il ricoprimento F è detto fine.
Teorema 5. (Teorema di ricoprimento di Vitali). Sia F una famiglia
di intorni chiusi (non degeneri) in Rn con
sup{diamB : B ∈ F} = d < +∞.
Allora esiste una famiglia al più numerabile disgiunta G ⊂ F tale che
[
[
b
B=
B.
B∈F
B∈G
Dimostrazione. Per ogni numero naturale k consideriamo l’insieme
Fk = {B ∈ F : d/2k < diamB ≤ d/2k−1 }.
Scegliamo Gk ⊂ Fk come segue:
(i) G1 famiglia massimale disgiunta di intorni chiusi di F1 .
(ii) Individuate le famiglie G1 , ..., Gk−1 consideriamo la famiglia
F
0
k
0
0
= {B ∈ Fk : B ∩ B = ∅ per ogni B ∈
k−1
[
Gj }
j=1
e scegliamo Gk come famiglia massimale disgiunta di intorni
chiusi di F 0 k .
Ciascuna
famigia
G
è
al
più
numerabile
e
di
conseguenza
la
famiglia
k
S
G = +∞
G
è
numerabile
e disgiunta. Mostriamo che per ogni B ∈
k
k=1
0
b 0 . Sia B ∈ F \ G e
F \ G esiste B ∈ G tale che B ∩ B 0 6= ∅ e B ⊂ B
S
supponiamo che B ∈ Fk , la scelta di Gk assicura che esiste B 0 ∈ kj=1 Gj
e x ∈ Rn tale che x ∈ B ∩ B 0 . Da diamB ≤ d/2k−1 e diamB 0 ≥ d/2k
b0.
deduciamo che diamB ≤ 2diamB 0 e quindi B ⊂ B(x, 2diamB 0 ) ⊂ B
Da cui segue
[
[
b
B=
B.
B∈F
B∈G
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Corollario 6. Sia F un ricoprimento di intorni chiusi (non degeneri)
di A ⊂ Rn con
sup{diamB : B ∈ F} = d < +∞.
Allora esiste una famiglia numerabile disgiunta G ⊂ F tale che per ogni
famiglia finita {B1 , B2 , ..., Bm } ⊂ F, si ha
m
[
[
b
A\
Bk ⊂
B.
B∈G\{B1 ,B2 ,...,Bm }
k=1
Dimostrazione. Scegliamo G come nella dimostrazione
del teorema
S
di Vitali e sia {B1 , B2 , ..., Bm } ⊂SF. Se A ⊂ m
B
la
tesi
è ovvia.
k=1
Smk
m
Supponiamo quindi che x ∈ A \ k=1 Bk , essendo k=1 Bk un insieme
chiuso e F un ricoprimento fine esiste B ∈ F con x ∈ B e B ∩ Bk = ∅
(k = 1, 2, ..., m). Ripetendo il ragionamento fatto nella dimostrazione
b0 e
del teorema di Vitali, deduciamo che esiste B 0 ∈ G tale che B ⊂ B
di conseguenza la tesi.
Corollario 7. Sia U ⊂ Rn un insieme aperto e δ > 0. Allora
esiste una famiglia numerabile disgiunta G di intorni chiusi contenuti
in U , con diam B ≤ δ per ogni B ∈ G, tale che
[
Ln (U \
B) = 0.
B∈G
Dimostrazione. Sia θ ∈]1 − 1/5n , 1[ e supponimao Ln (U ) < +∞.
Facciamo vedere che esiste una famiglia finita {B1 , B2 , ..., Bn1 } ⊂ F1 ,
dove F1 = {B : B ⊂ U e diamB ≤ δ}, tale che
n1
[
n
L (U \
Bk ) ≤ θLn (U ).
k=1
Il teorema di ricoprimento di Vitali assicura che esiste una famiglia
numerabile disgiunta G1 ⊂ F1 tale che
[
[
b
U⊂
⊂
B.
B∈F1
B∈G1
Segue
Ln (U ) ≤
X
b = 5n
Ln (B)
B∈G1
X
Ln (B) = 5n Ln (
B∈G1
e quindi
Ln (
[
B∈G1
B) ≥
1 n
L (U ).
5n
[
B∈G1
B)
14
Si deduce
[
Ln (U ) = Ln (U \
[
B) + Ln (
B∈G1
B) ≥ Ln (U \
B∈G1
[
B∈G1
B) +
1 n
L (U )
5n
e quindi
[
Ln (U \
B) ≤ (1 −
B∈G1
1 n
)L (U ).
5n
Quanto ottenuto assicura che esistono B1 , B2 , ..., Bn1 ∈ G1 tali che
Ln (U \
n1
[
Bk ) ≤ θLn (U ).
k=1
Poniamo
U2 = U \
n1
[
Bk e F2 = {B : B ⊂ U2 e diamB ≤ δ}.
k=1
Ripetendo la costruzione precedente deduciamo che esistono Bn1 +1 , ..., Bn2 ∈
F2 tali che
n2
n2
[
[
n
n
L (U \
Bk ) = L (U2 \
Bk ) ≤ θLn (U2 ) ≤ θ2 Ln (U ).
k=1
k=n1 +1
Ripetendo tale procedimento si costruisce una successione crescente di
numeri naturali (nk ) e una famiglia numerabile disgiunta
{B1 , ..., Bn1 , ..., Bn2 , ..., Bnk , ...} ⊂ F
tale che
Ln (U \
nk
[
Bj ) ≤ θk Ln (U ) k = 1, 2, ...
j=1
Facendo tendere k a +∞ si ottiene
Ln (U \
+∞
[
Bk ) = 0.
k=1
n
Se L (U ) = +∞, si considerano gli insiemi aperti Um = {x ∈ U :
m − 1 < kxk < m} e si applica quanto provato a ciascun insieme Um
per ottenere la tesi.
Teorema 6. (Teorema di ricoprimento di Besicovitch). Esiste una
costante Nn , che dipende solo da n, con la seguente proprietà: Se F è
una famiglia di intorni chiusi (non degeneri) in Rn con
sup{diamB : B ∈ F} = d < +∞
15
e A è l’insieme dei centri degli intorni che appartengono ad F, allora esistono G1 , . . . , GNn ⊂ F, tali che ogni Gi è una famiglia al più
numerabile disgiunta di elementi di F e
A⊂
Nn [
[
B.
i=1 B∈Gi
Corollario 8. Sia µ una misura di Borel su R e F una famiglia di intorni chiusi (non degeneri). Sia A l’insieme dei centri degli intorni che
appartengono ad F. Supponiamo che µ(A) < +∞ e inf{r : B(a, r) ∈
F} = 0 per ogni a ∈ A. Allora per ogni insieme aperto U di Rn esiste
una famiglia numerabile disgiunta G ⊂ F tale che
[
⊂U
B∈G
e
!
µ (A ∩ U ) \
[
B∈G
= 0.