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Prima prova “in itinere” per “Matematica Discreta e Logica” secondo appello
29.2.2016
FILA “C”
Esercizio 1
Siano :, ; , <, =, > variabili proposizionali, e siano
! ³ > • (> Ä :) • (< Ä =) • a: Ä ; b ;
" ³ < Ä ;.
Si dica, motivando la risposta, se " è conseguenza logica di ! .
Soluzione La formula " è conseguenza logica della formula ! se e soltanto se la
formula ! • c" è insoddisfacibile. Scriviamo dunque ! • c" in forma normale congiuntiva,
trasformiamola in un insieme di clausole e applichiamo l’algoritmo di Davis-Putnam. Si ha
! • c" œ > • (> Ä :) • (< Ä =) • a: Ä ; b • ca< Ä ; b ´
´ > • ac> ” :b • ac< ” =b • ac: ” ; b • < • (c; )
A tale formula in FNC resta associato l’insieme di clausole
{{>}, {:, c>}, {c<, =}, {c:, ; }, {<}, {c; }} .
Applichiamo l’algoritmo di Davis-Putnam.
Pivot ::
clausole non contenenti né : né c:: {>}, {c<, =}, {<}, {c; } ;
Res: ({:, c>}, {c:, ; }) œ {; , c>} ;
{{; , c>}, {>}, {c<, =}, {<}, {c; }}
Pivot ; :
clausole non contenenti né ; né c; : {>}, {c<, =}, {<}} ;
Res; ({; , c>}, {c; }) œ {c>} ;
{{c>}, {>}, {c<, =}, {<}}
La presenza delle due clausole {c>} e {>} ci fa capire che siamo di fronte a un insieme
insoddisfacibile di clausole; infatti il risolvente rispetto a > di queste due clausole è la clausola
vuota. Pertanto anche la formula ! • c" è insoddisfacibile, e quindi " è conseguenza logica
di ! .
Esercizio #
Siano A, B, C, H, K, S variabili proposizionali. Si stabilisca, motivando la risposta, se il
seguente insieme K di clausole è soddisfacibile; e, nel caso che la risposta sia affermativa, si
determini una valutazione di verità che lo soddisfa:
K ³ {{H, K, S}, {A, cC, K}, {cH, cK, S}, {H, cK, cS}, {C, cH, S}, {B, cH}, {cA, C},
{A, B}, {C, H}, {cB, C}, {A, cB}, {cC, cS}} .
Soluzione Applichiamo l’algoritmo di Davis-Putnam all’insieme K.
Pivot A:
clausole non contenenti né A né cA: {H, K, S}, {cH, cK, S}, {H, cK, cS}, {C, cH, S}, {B, cH}, {C, H}, {cB, C}, {cC, cS} ;
ResA ({A, cC, K}, {cA, C}) œ {C, cC, K} (si sopprime perché tautologia) ;
ResA ({A, B}, {cA, C}) œ {B, C} ;
ResA ({A, cB}, {cA, C}) œ {cB, C} (si sopprime perché già presente) ;
{{B, C}, {H, K, S}, {cH, cK, S}, {H, cK, cS}, {C, cH, S}, {B, cH}, {C, H}, {cB, C}, {cC, cS}}
Pivot B:
clausole non contenenti né B né cB: {H, K, S}, {cH, cK, S}, {H, cK, cS}, {C, cH, S}, {C, H}, {cC, cS} ;
ResB ({B, C}, {cB, C}) œ {C} ;
ResB ({B, cH}, {cB, C}) œ {C, cH} ;
{{C}, {C, cH}, {H, K, S}, {cH, cK, S}, {H, cK, cS}, {C, cH, S}, {C, H}, {cC, cS}}
Pivot C:
clausole non contenenti né C né cC: {H, K, S}, {cH, cK, S}, {H, cK, cS} ;
ResC ({C}, {cC, cS}) œ {cS} ;
ResC ({C, cH}, {cC, cS}) œ {cH, cS} ;
ResC ({C, cH, S}, {cC, cS}) œ {cH, S, cS} (si sopprime perché tautologia) ;
ResC ({C, H}, {cC, cS}) œ {H, cS} ;
{{cS}, {cH, cS}, {H, cS}, {H, K, S}, {cH, cK, S}, {H, cK, cS}}
Pivot H:
clausole non contenenti né H né cH: {cS} ;
ResH ({cH, cS}, {H, cS}) œ {cS} (si sopprime perché già presente) ;
ResH ({cH, cS}, {H, K, S}) œ {K, S, cS} (si sopprime perché tautologia) ;
ResH ({cH, cS}, {H, cK, cS}) œ {cK, cS} ;
ResH ({cH, cK, S}, {H, cS}) œ {cK, S, cS} (si sopprime perché tautologia) ;
ResH ({cH, cK, S}, {H, K, S}) œ {K, cK, S} (si sopprime perché tautologia) ;
ResH ({cH, cK, S}, {H, cK, cS}) œ {cK, S, cS} (si sopprime perché tautologia) ;
{{cK, cS}, {cS}}
Pivot K:
Non ci sono risolventi da calcolare!
{{cS}}
Pivot S:
{}
Avendo ottenuto l’insieme vuoto di clausole, possiamo concludere che K è
soddisfacibile. Una valutazione di verità @ che soddisfa K si può ricavare definendola “a
ritroso” su A, B, C, H, K, S come segue:
@(S) ³ ! ;
@(K) ³ ! ;
@(H) ³ " ;
@(C) ³ " ;
@(B) ³ qualsiasi ;
@(A) ³ " .
Esercizio 3
Nell’insieme dei numeri naturali si consideri la seguente relazione:
BRC
se e soltanto se
la cifra delle unità nella scrittura di B in base quindici è uguale
alla cifra delle unità nella scrittura di C in base quindici .
Si dica, motivando la risposta:
( 3)
se R è una relazione di ordine in , specificando se parziale o totale ;
(33)
se R è una relazione di equivalenza in ;
(333) se trentatré è in relazione con trecentotredici oppure no.
Soluzione La cifra delle unità nella scrittura di un numero naturale in base quindici
è il resto della divisione euclidea di quel numero per quindici; dunque R è la restrizione a
della relazione di congruenza modulo quindici definita in ™. Ne segue subito che R non è una
relazione di ordine, perché non è antisimmetrica: uno è diverso da sedici, ma
uno R sedici
e
sedici R uno.
Invece R è una relazione di equivalenza in : perché la congruenza modulo quindici è
una relazione di equivalenza in ™, oppure perché R è riflessiva, simmetrica e transitiva come è
immediato verificare direttamente.
Infine, in base quindici il numero trentatré si scrive #$ mentre il numero
trecentotredici si scrive "&D, quindi i due numeri non sono in relazione fra loro.
Esercizio 4
Nell’insieme dei numeri naturali, sia “|” la relazione di ordine “divide”, e sia
A ³ {#", $&, "!&, "%(, #%&, ($&}.
Si scrivano esplicitamente tutte le limitazioni inferiori per A in (, | ) e poi, motivando
ciascuna risposta:
( 3)
si dica se A ha estremo inferiore in (, | ) (e, nel caso che la risposta sia affermativa, qual è);
(33)
si dica se (A, | ) ha minimo (e, nel caso che la risposta sia affermativa, qual è tale minimo);
(333) si dica se A ha estremo superiore in (, | ) (e, nel caso che la risposta sia affermativa, qual è);
(3@) si dica se (A, | ) ha massimo (e, nel caso che la risposta sia affermativa, qual è) .
Soluzione Le limitazioni inferiori per per A in (, | ) sono " e ( . Pertanto ( è
l’estremo inferiore di A (che non ha minimo). Poiché ogni elemento di A divide ($&,
quest’ultimo è il massimo per A (e quindi anche l’estremo superiore).
Esercizio 5
Sia ™"" "() l’anello delle classi di resto modulo "" "() . Per ogni D − ™, indichiamo con [D ]
l’elemento di ™"" "() a cui D appartiene.
Si dica quanti sono gli elementi di ™"" "() e inoltre, motivando ogni risposta:
( 3)
quanti sono gli elementi invertibili di ™"" "() ;
(33)
quante sono le soluzioni in ™"" "() dell’equazione
(333)
quanti sono in ™"" "() i divisori dello zero ;
[#%] † B œ ["#] ;
Soluzione Gli elementi di ™"" "() sono "" "(); di essi, :("" "()) sono invertibili,
uno è l’elemento neutro per la somma (cioè [!]) e tutti gli altri, cioè "" "(( :("" "()), sono
divisori dello zero.
Dunque bisogna calcolare :("" "()), e a tale scopo bisogna scomporre "" "() in fattori primi.
Si ha
"" "() œ # † $& † #$
e dunque
:("" "()) œ # † $% † ## œ $ &'% .
Pertanto, in ™"" "() ci sono $ &'% elementi invertibili e ( '"$ divisori dello zero.
Infine, l’equazione [#%] † B œ ["#] ha soluzione in ™"" "() se e soltanto se MCD(#%, "" "())
divide "#; e in tal caso il numero delle soluzioni è proprio MCD(#%, "" "()) . Si ha
"" "() œ #% † %'& ") ;
#% œ ") † " ' ;
") œ ' † $ ! ;
Dunque MCD(#%, "" "()) œ '. Poiché ' divide "#, l’equazione proposta ha esattamente '
soluzioni in ™"" "() .
Esercizio 6
Trovare tutte le soluzioni in ™ ‚ ™ della seguente equazione nelle incognite B, C :
&&* B " #!% C "#* œ ! .
Soluzione Calcoliamo il massimo comun divisore fra " #!% e &&* :
" #!% œ &&* † # )' ;
&&* œ )' † ' %$ ;
)' œ %$ † # ! .
Il massimo comun divisore fra " #!% e &&* è dunque %$; poiché si tratta di un divisore di
"#* ( œ %$ † $), l’equazione proposta ha soluzione.
L’equazione proposta si può scrivere come
&&* B " #!% C œ "#* .
Cerchiamo in primo luogo una soluzione per l’equazione
&&* B " #!% C œ %$ .
Dai calcoli fatti per trovare il massimo comun divisore, abbiamo che
%$ œ &&* )' † ' œ &&* (" #!% &&* † #) † ' œ &&* † "$ " #!% † ( ')
Dunque una soluzione dell’equazione
&&* B " #!% C œ %$
è ("$, '),
cosicché una soluzione dell’equazione &&* B " #!% C œ "#* è ("$ "#*
,
' "#*
%$
%$ ), cioè
($*, ")) .
La generica soluzione è
B ³ $*
" #!%
%$
2,
C ³ ")
&&*
%$
2
(al variare di 2 in ™)
ossia
B ³ $* #)2,
C ³ ") "$2
(al variare di 2 in ™).
La generica soluzione dell’equazione proposta è dunque
B ³ $* #)2,
C ³ ") "$2
(al variare di 2 in ™).
Esercizio 7
Sia ™# #!* l’anello delle classi di resto modulo # #!* . Per ogni D − ™, indichiamo con [D ]
l’elemento di ™# #!* a cui D appartiene.
Per ciascuna delle seguenti equazioni esponenziali nell’incognita B si dica, motivando la
risposta, se ha soluzioni in \{!} ; e, nel caso ne abbia, se ne trovi almeno una:
[%(]B œ ["] ;
[%(]B œ [!] ; [&!]B œ ["] .
Soluzione Sappiamo che l’equazione
[%(]B œ ["]
ha soluzione in \{!} se e soltanto se MCD(%(, # #!*) œ " . Calcolamo dunque tale massimo
comun divisore applicando l’algoritmo di Euclide:
# #!* œ %( † %( ! .
Pertanto l’equazione
[%(]B œ ["]
non ha soluzione in \{!}; ma l’equazione
[%(]B œ [!]
ha la soluzione B œ # (e più in generale ha per soluzione ogni numero naturale pari). Poiché
%( è numero primo, MCD(&!, # #!*) œ MCD(&!, %( † %() œ " . Dunque, per il teorema di
Euler-Fermat, l’equazione
[&!]B œ ["]
ha la soluzione non nulla
B œ :(# #!*) œ %( † %' œ # "'#
(e più in generale ha per
soluzione ogni multiplo di # "'#, oltre a possibili altre soluzioni).
