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Prima prova “in itinere” per “Matematica Discreta e Logica” primo appello
6.2.2017
SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI PROPOSTI
FILA “C”
Esercizio 1
Siano 2, 5 , A variabili proposizionali, e siano
! ³ (2 Ä A) • (5 Ä A) ;
" ³ (2 ” 5 ) Ä A .
Si dica, motivando la risposta, se esiste una valutazione di verità che soddisfa ! ma non
soddisfa " .
Soluzione Probabilmente il modo più semplice per risolvere questo esercizio
consiste nel costruire la tabella con tutti i possibili valori di verità per ! e " .
2
!
!
!
!
"
"
"
"
5
!
!
"
"
!
!
"
"
A
!
"
!
"
!
"
!
"
2ÄA
"
"
"
"
!
"
!
"
5ÄA
"
"
!
"
"
"
!
"
!
"
"
!
"
!
"
!
"
2”5
!
!
"
"
"
"
"
"
"
"
"
!
"
!
"
!
"
Poiché le colonne corrispondenti alle formule ! e " sono identiche, possiamo addirittura
affermare che ! e " sono logicamente equivalenti; certamente non esiste alcuna valutazione di
verità che soddisfa ! ma non soddisfa " .
Esercizio 2
Siano +, ,, - , . variabili proposizionali, e siano
! ³ a(c(+ Ä ,)) ” (- • . )b • (- Ä ,);
" ³ +•..
Si dica, motivando la risposta, se " è conseguenza logica di ! .
Soluzione Si ha ! } " se e soltanto se ! • c" è insoddisfacibile. Scriviamo
dunque la formula ! • c" in forma normale congiuntiva, trasformiamola in un insieme di
clausole e applichiamo l’algoritmo di Davis-Putnam. Si ha
! • c" œ a(c(+ Ä ,)) ” (- • . )b • (- Ä , ) • c(+ • . ) ´
´ a((+ • c,)) ” (- • . )b • (c- ” , ) • (c+ ” c. ) ´
´ a(+ ” - ) • (+ ” . ) • (c, ” - ) • (c, ” . )b • (c- ” , ) • (c+ ” c. ) ´
´ (+ ” - ) • (+ ” . ) • (c, ” - ) • (c, ” . ) • (c- ” , ) • (c+ ” c. )
A tale formula in FNC resta associato l’insieme di clausole
{{+, - }, {+, . }, {c,, - }, {c,, . }, {, , c- }, {c+, c. }} .
Applichiamo l’algoritmo di Davis-Putnam.
Pivot +:
clausole non contenenti né + né c+: {c, , - }, {c, , . }, {, , c- } ;
Res+ ({+, - }, {c+, c. }) œ {- , c. } ;
Res+ ({+, . }, {c+, c. }) œ {. , c. } (si sopprime perché tautologia) ;
{{c,, - }, {c,, . }, {,, c- }, {- , c. }}
Pivot ,:
clausole non contenenti né , né c, : {- , c. } ;
Res, ({c, , - }, {, , c- }) œ {- , c- } (si sopprime perché tautologia) ;
Res, ({c, , . }, {, , c- }) œ {c- , . } ;
{{- , c. }, {c- , =}}
Pivot - :
Res- ({- , c. }, {c- , . }) œ {c. , . } (si sopprime perché tautologia) ;
{}
Poiché si è ottenuto un insieme privo di clausole, l’insieme di clausole dato è
soddisfacibile e quindi " non è conseguenza logica di ! .
Esercizio 3
Siano !, " le permutazioni sull’insieme {", #, $, %, &, ', (, ), *, "!, "", "#} così definite:
!³Œ
" # $ %
"! & % (
"" "#
" # $
, " ³ Œ ""
"# '
) "
& ' ( ) * "!
"" " # * ) $
% & ' ( ) * "!
"! # $ ' % * &
"" "#
"# (
e sia 5 la permutazione ottenuta applicando prima ! e poi " .
Si scriva 5 come prodotto di cicli disgiunti e si dica, motivando la risposta, se 5 è una
permutazione pari oppure una permutazione dispari.
Soluzione Si ha
5³Œ
"
&
#
#
$
"!
%
'
&
"#
'
""
(
)
)
*
*
%
"!
"
""
(
"#
$
dunque
5 œ (" & "# $ "!)(% ' "" ( ) *) œ
œ (" &)(" "#)(" $)(" "!)(% ')(% "")(% ()(% ))(% *) .
Poiché 5 si scrive come prodotto di * trasposizioni, 5 è una permutazione dispari.
Esercizio 4
Nell’insieme dei numeri naturali, sia “|” la relazione di ordine “divide”, e sia
A ³ {$$, %&, **, "'&, %*&}.
Si scrivano esplicitamente tutte le limitazioni inferiori per A in (, | ) e poi, motivando
ciascuna risposta:
( 3)
si dica se A ha estremo inferiore in (, | ) (e, nel caso, qual è);
(33)
si dica se A ha minimo (e, nel caso, qual è tale minimo);
(333) si dica se A ha massimo (e, nel caso, qual è tale massimo);
(3@) si dica se A ha estremo superiore in (, | ) (e, nel caso, qual è).
Soluzione Le limitazioni inferiori per A in (, | ) sono i numeri naturali che
dividono ogni elemento di A, ossia: " e $ . La massima limitazione inferiore (cioè l’estremo
inferiore) è dunque $ .
Poiché nessun elemento di A divide tutti gli elementi di A, A non ha minimo.
Poiché ogni elemento di A divide %*&, che appartiene ad A, %*& è il massimo di A e
dunque anche l’estremo superiore di A .
Esercizio 5
Si trovi il minimo comune multiplo fra &)# "$$ e '## "#" .
Soluzione Troviamo in primo luogo il massimo comun divisore $ fra &)#"$$ e
'##"#" applicando l’algoritmo di Euclide:
Si ha
'## "#" œ &)# "$$ † " $* *)) ;
&)# "$$ œ 3* *8) † "% ## $!" ;
3* *8) œ ## $!" † " "( ')( ;
## $!" œ "( ')( † " % '"% ;
"( ')( œ % '"% † $ $ )%& ;
% '"% œ $ )%& † " ('* ;
$ )%& œ ('* † & ! .
Dunque il minimo comune multiplo fra &)# "$$ e '## "#" è
&)# "$$
$
† '## "#" œ (&( † '## "#" œ %(! *%& &*( .
Esercizio 6
Sia 8 il numero che in base nove si scrive &(% '%% . Si scriva 8 in base tredici e si trovi,
senza eseguire la divisione, il resto della divisione euclidea di 8 per sette.
Soluzione Con l’usuale notazione in base dieci, si ha
8 œ & † *& ( † * % % † * $ ' † * # % † * % œ
œ & † &* !%* ( † ' &'" % † (#* ' † )" % † * % œ
œ #*& #%& %& *#( # *"' %)' $' % œ $%% '"% .
Per scrivere 8 in base tredici, eseguiamo successive divisioni per tredici fino a quando
il quoziente è zero e consideriamo i resti, scivendone le cifre corrispondenti da destra verso
sinistra. Poiché (con l’usuale notazione in base dieci)
$%% '"% œ "$ † #' &!) "!,
#' &!) œ "$ † # !$* ",
# !$* œ "$ † "&' "",
"%$ œ "$ † "# !,
"# œ "$ † ! "#
si ha
8 œ C!B"A></.3-3 .
Poiché tredici è congruo a meno uno modulo sette, la classe di resto modulo sette a cui
appartiene 8 è la classe di resto a cui appartiene "! " "1 ! "2 cioè la classe di resto a
cui appartiene trentadue; pertanto, il resto della divisione di 8 per sette è quattro.
Esercizio 7
Trovare tutte le soluzioni in ™ ‚ ™ della seguente equazione nelle incognite B, C :
#"$ (%& B "' $') C $ "!! œ ! .
Soluzione Calcoliamo con l’algoritmo di Euclide il massimo comun divisore fra
#"$ (%& e "' $') :
#"$ (%& œ "' $') † "$ *'" ;
"' $') œ *'" † "( $" ;
*'" œ $" † $" ! .
Il massimo comun divisore fra #"$ (%& e "' $') è dunque $"; poiché si tratta di un divisore di
$ "!!, l’equazione proposta ha soluzione.
L'equazione proposta si può scrivere come
#"$ (%& B "' $') œ $ "!! .
Cerchiamo in primo luogo una soluzione per l’equazione
#"$ (%& B "' $') C œ $" .
Dai calcoli fatti per trovare il massimo comun divisore, abbiamo che
$" œ "' $') "( † *'" œ "' $') "( † (#"$ (%& "$ † "' $')) œ
œ "( † #"$ (%& ### † "' $')
Dunque una soluzione dell’equazione #"$ (%& B "' $') C œ $" è ( "(, ###),
cosicché una soluzione dell’equazione #"$ (%& B "' $') C œ $ "!! è ( " (!!, ## #!!) .
La generica soluzione dell’equazione #"$ (%& B "' $') C œ $ "!! è dunque
B ³ " (!!
"' $')
$"
2,
C ³ ## #!!
#"$ (%&
$"
2
(al variare di 2 in ™)
ossia
B ³ " (!! &#)2,
C ³ ## #!! ' )*&2
(al variare di 2 in ™).
La generica soluzione dell’equazione proposta è pertanto
B ³ " (!! &#)2,
C ³ ## #!! ' )*&2
(al variare di 2 in ™).
