calcolo combinatorio

Calcolo combinatorio
Problema
Quante parole di 3 lettere si possono scrivere utilizzando solo le 4 lettere a, b, c, d?
Soluzione: scriviamole tutte e poi le contiamo
Esercizio 2
Quante sono le parole di 7 lettere costruibili utilizzando tutte le 21 lettere dell'alfabeto
italiano ma “senza ripetizione” cioè col vincolo di non utilizzare più di una volta una
stessa lettera in una parola?
Ad esempio: aiuole OK aiuola NO
Risposta:
21 x 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x15
Idee per contare
Operando, come nei due esempi precedenti, una successione di k scelte tali che ci
siano n1 possibilità per la prima scelta, n2 per la seconda, .., e nk per la k-esima scelta,
allora il numero complessivo di oggetti che si possono formare è dato dal prodotto
n1 x n2 .. x nk
La differenza fra i due casi precedenti sta nella possibilità di ripetere oppure no una
stessa scelta.
Esercizi
a) In un ristorante c’è un menu a prezzo fisso composto da antipasto, primo, secondo,
dolce. Il menu propone al cliente la scelta tra 2 antipasti, 3 primi, 2 secondi e 4 dolci.
1
Quanti pranzi diversi si possono scegliere con questo menu?
b) Quante parole di 4 lettere si possono formare con le lettere (sono 26) dell’alfabeto
italiano in modo che la parola sia formata da consonante-vocale-consonante-vocale?
c) E se non vogliamo che la stessa lettera compaia due volte?
Introduciamo un modo di scrivere i prodotti fra numeri naturali che sarà molto utile
per fare questi conti: il fattoriale di n, definito per i numeri naturali:
n! = n(n-1)(n-2) .. 3x2x1
Esempio
4! = 4x3x2x1 = 24 ; 7! = 7x6x5x4x3x2x1 = 5040
NB 1! = 1 ma, per definizione, anche 0! = 1
Non si calcola il fattoriale di numeri interi negativi.
Disposizioni
Sono i modi con cui si possono distribuire, disporre, riporre, degli oggetti in appositi
contenitori.
Gli oggetti possono essere tutti uguali fra loro, e quindi non distinguibili, oppure
possono essere tutti diversi, e quindi nel contare le disposizioni dobbiamo tenerne
conto. Così pure i contenitori possono essere più d'uno, distinguibili oppure no.
L'idea di "distinguibilità" è un altro modo di vedere la "ripetibilità" di una scelta.
Esempio
Calcolare quante colonne differenti si possono giocare al totocalcio.
Per ognuna delle 13 partite possiamo scegliere un risultato tra i 3 possibili {1,2,X}.
# colonne = 3 x 3 x … x 3 = (13 volte)
313 = 1594323
Una colonna del totocalcio è una delle possibili disposizioni (di lunghezza 13) di
elementi dell’insieme {1,2,X}: ciascuno degli elementi si può ripetere fino ad un
massimo di 13 volte.
Si tratta quindi di una disposizione con ripetizione
La formula generale per contarne il numero è:
# = (numero degli elementi)(numero massimo ripetizioni)
o, per scriverla in simboli,
#DR n / K = nK
dove n sono gli oggetti che si ripetono su k posti.
2
Esempio
Quante cinquine si possono estrarre nel gioco del lotto?
Risposta
Questa invece è un'estrazione senza ripetizione:
# cinquine = 90 x 89 x 88 x 87 x 86 = 5.273.912.160
Si tratta di una disposizione senza ripetizioni di 90 elementi su 5 posti.
Si chiama anche disposizione semplice di n elementi su k posti.
Per contarle è utile la notazione con il fattoriale:
#D n / k = n!/(n – k)!
Esempio
In quanti modi quindici atleti (ad esempio nella gara dei 1500 m di corsa) possono
giungere nei primi tre posti (il “podio”) ?
Risposta
Per il primo posto ci sono 15 atleti; poi, stabilita la medaglia d'oro, restano 14 atleti
per il secondo posto; fissata la medaglia d'argento ancora restano gli altri 13 atleti,
quindi il numero totale di “podii possibili” (indipendentemente dalle considerazioni
tecniche prima della gara su chi siano gli atleti favoriti) è di
15!
15x14x13 = (15− 3) !
Esempio
Quante sono tutte le funzioni iniettive da un insieme D di d elementi in un insieme C
di c elementi?
Soluzione
Se d > c nessuna, perché non possono mettere, uno per volta, in ciascuno dei c
cassetti tutti i d vestiti: dovrei mettere qualcuno dei vestiti in uno dei cassetti già
occupati;
c!
se invece d < c, allora i modi di riporre sono c(c − 1) ... (c − d + 1) = ( c− d ) !
cioè sono tante quante le disposizioni di c oggetti su d posti; notiamo che il ruolo di
“posto”, nel caso delle funzioni, è svolto dagli elementi x del dominio D, che sono i
“posti di provenienza” degli elementi y del codominio (tramite l'opportuna funzione
di disposizione).
E se m = n allora sono n! , cioè quante sono le funzioni biunivoche fra insiemi di
cardinalità finita pari a n .
Questo caso particolare si riferisce alla configurazione nella quale i posti sono nello
stesso numero degli oggetti da disporre: si tratta quindi di contare in quanti modi si
posso rimettere in ordine diverso n oggetti.
3
Questi riordinamenti si chiamano permutazioni e sono
#Pn = n!
Esempio
Supponiamo che 6 corridori gareggino sui 100 metri. Quali sono i possibili ordini di
arrivo? (qui non ci si limita al podio)
Risposta
S={Antonio, Bruno, Carlo, Davide, Enrico, Filippo}
facciamo un po' di esempi : (A,B,C,D,E,F), (A,B,C,D,F,E), (D,E,F,C,B,A), …
Gli ordini di arrivo possibili in totale sono 6! = 720 , le permutazioni di 6 oggetti.
Nelle disposizioni l’ordine è importante
Cosa si conta invece quando l'ordine non è importante ?
Esempio
Sia S = {1, 2, 3, 4, 5} e sia k = 3.
Le terne ordinate (1, 2, 3) e (2,1,3) sono due disposizioni diverse, mentre a noi può
interessare soltanto il sottoinsieme {1,2,3} che risulta essere lo stesso di {2,1,3}.
La domanda che ci poniamo, quindi, è: “quante sottoinsiemi di tre elementi posso
ricavare dall'insieme iniziale?”
Questo tipo di conteggio riguarda quindi dei sottoinsiemi di lunghezza data: si
chiamano combinazioni, e possono avere delle ripetizioni oppure no.
Cominciando dalle combinazioni senza ripetizione, dette anche combinazioni
semplici, si ricavano dal numero delle disposizioni semplici di n oggetti su k posti (la
lunghezza del sottoinsieme), dividendo per il numero dei possibili ordinamenti (pari a
k!) del sottoinsieme:
n!
#C n / K = ( n− k )! k !
Nelle combinazioni l’ordine non è importante
Esercizio
Con i 90 numeri del lotto quanti terni posso costruire?
Risposta
Nella formula precedente abbiamo introdotto il coefficiente binomiale che si legge
4
“enne su k”:
()
n!
C n/K = n =
k ( n− k )! k !
che ha queste proprietà:
()( )
n!
n = n =
k
n− k (n− k )! k !
(n0)= (nn)= 1 (n1)= (n−n 1)= n
e
e il nome coefficiente binomiale è legato allo sviluppo dei prodotti notevoli: si
chiama infatti coefficiente binomiale perché è legato allo sviluppo del binomio, cioè
della potenza n-esima della somma fra a e b :
(a+ b)n =
(a+ b)(a+ b)(a+ b)(a+ b)...(a+ b) =
n
n− 2 2
n− 3 3
n− 1
n
= a + C n/1 a b+ C n/2 a b + C n/3 a b + ..+ C n/n− 1 ab + b
n
Esempio
Calcolare il numero di modi distinti in cui può essere servito un giocatore di scala
quaranta in una singola mano.
Soluzione
Supponendo di giocare con 54x2 = 108 carte, e sapendo che si danno 13 carte per
giocatore, abbiamo un numero totale possibile di “mani” pari a:
( )
108
13
Esempio
Quante diagonali ha un poligono convesso di n lati ?
Soluzione
Osserviamo che ognuno degli n vertici può essere scelto come primo punto di una
diagonale mentre come scelta per il secondo punto dobbiamo escludere il vertice in
questione e i due a lui adiacenti.
Abbiamo dunque n – 3 scelte per il secondo punto di ogni diagonale ed n scelte per il
primo.
Il prodotto delle scelte deve però essere diviso per due, perché altrimenti conteremmo
le diagonali due volte. Dunque le diagonali di un n-gono sono n(n-3)/2
Questo calcolo può anche essere visto come il numero di “diagonali + lati” che si
partono da n vertici, e dato che un lato/diagonale è individuabile dai suoi due estremi,
ed è come scegliere coppie di punti dal totale di n vertici, che sono
5
()
n
2
a cui vanno togli gli n lati, avendo n diagonali =
()
n − n= n( n− 1) − n= n(n− 3)
2
2
2
Importante da contare è anche il numero di sottoinsiemi di un insieme finito I.
Qui si ragiona con le funzioni che hanno per Dominio l’insieme I e come Codominio
l’insieme 0 , 1
Quante sono le funzioni che hanno questi come Dominio e Codominio ?
Dominio
Codominio
f
A , B , C, D
1
E , F , G,
0
Come funziona questa conta ?
L’insieme I =
A , B , C, D, E , F , G
ha tanti sottoinsiemi
quante sono le funzioni che vanno da I nell’insieme SIoNO =
0,1
Infatti ogni funzione da I in SioNO rappresenta uno dei tanti sottoinsiemi S di I: se un
elemento di I , ad esempio D, è presente nel sottoinsieme considerato S I allora viene
mandato in 1 (1 = “ D c'è”, cioè f(D) = 1) ; se invece non c’è in S allora la funzione
lo manda in 0 (0 = “D non c'è”, cioè f(D) = 0).
Per ognuno dei dati elementi di I ci sono due possibilità: quindi il numero di
sottoinsiemi di I è pari a
#sottoinsiemi di I = 2(numero di elementi di I)
sempre che il numero di elementi di I sia finito.
Ricapitolando:
Nelle disposizioni l’ordine è importante: senza ripetizioni, (n oggetti su k posti)
D n / K # = n!/(n-k)!
una permutazione è un caso speciale di disposizione: (n oggetti su n posti)
#Pn = n! = D n / n
6
Nelle combinazioni l’ordine non è importante: n oggetti presi a k per volta,
senza ripetizioni:
()
n!
C n/K = n =
k ( n− k )! k !
Abbiamo visto anche le disposizioni con ripetizione: per n oggetti che si ripetono su k
posti si ha
# Disposizioni Ripetute= (numero degli elementi)(numero massimo ripetizioni)
che in simboli diventa:
#DR n / K = nK
Ci sono permutazioni e anche combinazioni con ripetizione.
Nelle permutazioni con ripetizione si considera un insieme I contenente oggetti di 2
o più qualità diverse ma indistinguibili all'interno delle singole tipologie.
In particolare, se gli oggetti sono di 2 sole tipologie, si ricade nel caso delle
combinazioni: ad esempio da un insieme di 7 oggetti ne prendo 3 di un tipo, e ne
lascio fuori i rimanenti quattro; le tipologie di oggetti sono due, e si trova che le
possibili scelte di una terzina fra 7 sono
()
7 = 7!
3 3! ( 4) !
Questa situazione si interpreta così come la scelta di 3 oggetti lasciandone stare altri 4
su un totale di 7 (“combinazione”); oppure si interpreta come una permutazione con
ripetizione: cioè gli oggetti che si permutano non sono tutti distinguibili fra loro,
perché all'interno di ogni sottoinsieme gli oggetti vengono considerati uguali e quindi
si devono eliminare dal conteggio tutti i diversi ordinamenti di ogni singolo
sottogruppo. Quindi le permutazioni di 7 oggetti sono 7!, ma vanno divise per le
permutazioni di 3 oggetti (n° di ordinamenti del primo sottoinsieme) e vanno divise
anche per 4! (n° ordinamenti del secondo sottoinsieme).
Se le tipologie di oggetti in I sono invece 3, su un totale ad esempio di 10 il numero
di permutazioni totali è 10! e, per esempio, i gruppi siano di 3 + 5 + 2 = 10 oggetti, si
trova che le permutazioni (i riordinamenti) a meno dell'ordine di ciascun gruppo
# P3,5,2 10= 10!/[3! 5! 2! ]
In un generico insieme di n oggetti di tre diverse tipologie, n1 del primo tipo, n2 del
secondo e n3 del terzo il numero di combinazioni con ripetizione
è
# Pn1, n2, n3 n= n!/[ n1 ! n2 ! n3 ! ]
E se un insieme I di n elementi è suddiviso in k diverse tipologie n1 del primo tipo, n2
7
del secondo e n3 del terzo, nk del k-esimo tipo, allora il numero dei possibili
ordinamenti di questo insieme I è
# Pn1, n2, n3, .. nk n= n!/[ n1 ! n2 ! n3 ! ... nk ! ]
con n= n1 + n2 + n3 … + nk
Esempio
Un sacchetto di dodici biglie contiene quattro biglie rosse, tre verdi, due blu, tre
bianche: il numero dei modi diversi di disporre queste biglie
è
# P 4, 3, 2, 3 12 = 12!/[4! 3! 2! 3!] = 12x11x10x9x8x7x6x5/(6x2x6) = 23.100
Esempio
Quanti sono gli anagrammi (anche senza senso) della parola MATEMATICA ?
Risposta
n° totale lettere, n = 10; n° di M è n1= 2; n° di A è n2= 3; n° di T è n3= 2;
le altre lettere non si ripetono, quindi
# = 10!/(2!3!2!) = 151.200
Esempio
Se lancio una moneta 7 volte in quanti modi posso ottenere 5 croci e 2 teste?
Risposta
Equivale a contare gli anagrammi della parola TTCCCCC, che sono
# = 7!/(5!2!) = 7x6/2 = 21
Notiamo che questo risultato è lo stesso che otteniamo se consideriamo questa
situazione come il “contare quante cinquine posso estrarre da un insieme di 7
elementi”, cioè una combinazione. Questo perché le tipologie di oggetti sono solo
due ( T o C).
Facciamo di nuovo notare che nelle permutazioni con ripetizione gli oggetti sono
indistinguibili all'interno di ogni tipologia, quindi non si considerano gli ordini
all'interno di ogni singola tipologia (per questo si divide per nk!).
Esempio
50 studenti vengono divisi per le esercitazioni di un certo corso: 25 di essi dovranno
andare in aula 1, 12 in aula 2 e 13 in aula 3. Il numero di modi in cui si può fare la
suddivisione è
# = 50!/(25!12!13!)
Nel caso invece di un insieme I con n oggetti di cui k si possono ripetere (fino a k
volte ..) è come se si avessero n cassetti in cui riporre questi k oggetti
indistinguibili, che vengono distribuiti fra gli n posti in tutti i modi possibili, anche
tutti in un solo posto.
8
Mettendo in fila gli n posti e i k oggetti, con la convenzione di considerare NEL posto
1 gli oggetti appena a destra del posto 1, NEL posto 2 gli oggetti appena a destra del
posto 2, e così via fino al posto n:
esempio di 6 oggetti in 4 posti 0 0 | | 0 | 0 0 0 , e in questo esempio avremo due
oggetti nel primo cassetto (o due ripetizioni del primo oggetto), nessun oggetto nel
secondo cassetto (nessuna ripetizione del secondo oggetto), una ripetizione del terzo
e tre del quarto oggetto.
Si nota che permutando questi n + k = posti + oggetti otteniamo tutti i loro possibili
ordinamenti, e tenendo conto che l'ultima parentesi è di troppo rispetto al numero di
posti, il numero degli oggetti da permutare sarà ( n + k – 1). Quindi le permutazioni
in totale saranno ( n + k – 1)! .
Questo numero va diviso per tutti gli ordinamenti degli n posti e dei k oggetti
considerati separatamente (permutazione con ripetizione), e quindi si ricava:
# = ( n + k – 1)!/[k!(n-k+1)!]
che risulta essere # =
(
)
n+ k − 1
= C R n/K
k
Che definiscono le combinazioni con ripetizione: l'ordine non è importante
all'interno di ogni tipologia (posti oppure oggetti) e quindi gli oggetti sono
indistinguibili fra loro, ciò che contiamo sono in quanti modi n oggetti stanno in
k posti (diversi fra loro per quanti oggetti contengono).
Esempio
In quanti modi possiamo distribuire 20 palline uguali in 5 scatole diverse?
Soluzione
(
)
5+ 20− 1
= 24x23x22x21/4! = 10.626
20
Esempio
In quanti modi possiamo distribuire 12 copie di un libro fra sette scuole ?
E se a ogni scuola diamo almeno un libro ?
Soluzione
1
(7+ 12−
12 )
= 18x17x16x15x14x13/6! = 18.564
Se invece che distribuire liberamente i testi ne vogliamo dare almeno uno a ciascuna
delle sette scuole, allora le copie che verranno liberamente distribuite sono solo 5 =
12 – 7, (visto che 7 sono già assegnata una ciascuna per scuola) e quindi si ripete lo
stesso ragionamento con 7 scuole e 5 copie:
9
(
)
7+ 5− 1
= 11x10x9x8x7/5! = 462
5
Cosa accade se i libri non sono copie dello stesso volume, ma sono libri tutti diversi ?
Gli oggetti a questo punto diventano distinguibili: non si può più trascurare quindi
l'ordine di distribuzione – la rilevanza dell'ordinamento di un insieme è quindi
qualcosa collegato alla distinguibilità fra gli oggetti di quell'insieme.
Si possono considerare le funzioni dall'insieme dei libri nell'insieme delle scuole: 12
libri diversi nelle 7 scuole diverse danno luogo, per il principio dei cassetti già visto,
a funzioni che possono essere suriettive, ma di sicuro non iniettive (ci saranno
sicuramente scuole con più di un libro). Se i libri sono tutti diversi, senza altri vincoli,
le distribuzioni – funzioni possibili sono 7 12. (disposizioni con ripetizione)
Se invece voglio che ogni scuola abbia almeno un libro, chiedersi quante
distribuzioni possibili ci sono è come chiedersi quante siano le funzioni suriettive:
conviene prima restringere il Dominio a 7 libri, e calcolare le biezioni scuole-libri;
poi con il rimanente del dominio calcolo quanti libri posso distribuire liberamente.
Le biezioni sono 7!, restano altri 5 libri da distribuire liberamente in 5 scuole, per un
totale di funzioni suriettive:
7! 75
Per una generica funzione f da D in C , ricapitoliamo, se le cardinalità sono finite, che
le funzioni iniettive sono quante le disposizioni senza ripetizioni (se #D < #C )
c!/(c – d)!
le funzioni in totale sono quante le disposizioni con ripetizione
d
c
le biezioni sono
(se #D = #C )
e le suriettive sono (se #D > #C )
d! = c!
c! C
d–c
Idee per contare
A volte anziché contare quanto richiesto conviene contare il sottoinsieme
complementare. Ad esempio se viene chiesto quanti sono “i numeri di cinque cifre
con almeno una cifra pari” conviene contare i numeri che hanno “solo cifre dispari”,
che è il suo complementare all'interno dell'insieme dei numeri di cinque cifre; si
procederà quindi per differenza, calcolando prima il totale dei numeri di cinque cifre
(vanno da 10'000 a 99'999 , sono quindi 90'000); poi si contano i numeri che hanno
SOLO cifre dispari (sono 5 cifre per ognuno dei cinque posti) che sono 55 = 3'125;
quindi i numeri con “almeno una cifra pari sono tutti gli altri, cioè 90'000 – 3'125=
86'875.
10
Anche nel caso si voglia sapere quante sono le possibilità per i lanci di due dadi con
un risultato minore di 11 (e cioè 2,3,4,5,6,7,8,9,10) conviene contare le possibilità per
i lanci con risultato 11 e 12, che sono 2 + 1 = 3 ; sottraendo dal totale dei possibili
risultati (6 x 6 = ) 36, si ricavano 33 possibilità.
Supponiamo di avere adesso un insieme con due tipologie di oggetti, e ne scegliamo
alcuni: vogliamo sapere le possibilità che escano in un certo numero di un tipo, e in
un cert'altro numero dell'altro tipo. Un modo per visualizzare questa situazione è
l'urna con palline a due colori: estraiamo un po' di palline, senza reintrodurle ad ogni
estrazione – ed è come estrarle in blocco, tutte in una volta.
Esempio
Un'urna è composta da 10 palline, di cui 7 rosse e 3 bianche: quante sono le
possibilità che escano 2 bianche e 2 rosse se ne estraiamo 4 contemporaneamente ?
Risposta
Le coppie di bianche sono
()
7
2
= 21; le coppie di rosse sono
()
3
2
= 21;
un'estrazione siffatta ha per numerosità il prodotto di questi due, quindi 21x3 = 63 .
Più in generale se ci sono n oggetti, di cui h di una tipologia e i rimanenti n – h di
un'altra sorte, il numero di possibilità per una estrazione di k oggetti in quell'urna
porta ad un numero di p di un tipo e k – p dell'altro tipo, dovremo fare il prodotto fra
le
(hp)
e le
(kn−− hp)
.
Si tratta dei coefficienti multinomiali, analoghi dei coefficienti binomiali: sono i
coefficienti dei prodotti notevoli con più di due addendi. I coefficienti binomiali
servono a descrivere le situazioni in cui gli oggetti sono indistinguibili. I multinomiali
sono utili quando ci sono sottoinsiemi di numerosità nota
E se abbiamo, in un'urna, più di due tipologie di oggetti, supponiamo ad esempio ce
ne siano h tipologie, di numerosità rispettivamente: n1 , n2 , n3 , ... nh ; e vogliamo
estrarre k palline, sapendo che ce ne siano k1 + k2 + k3 + … + kh = k con ni il
rispettivo numero di palline estratte della tipologia i, allora si trova che le possibilità
di una estrazione siffatta sono:
() () ()
()
n1
n2
n3
nh
k1 x k2 x k3 x … x kh
Esercizio
Da un'urna con 5 palline rosse 4 gialle e 3 blu quante possibili estrazioni di tre palline
di colore diverso posso ottenere ? E in che percentuale rispetto al numero totale di
estrazioni ?
Risposta
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Un caso interessante è quanto ci sono situazioni "circolari":
12