UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA Corso di Laurea Magistrale in Scienze della Nutrizione Umana Corso di Statistica Medica, anno 2015-16 P.Baldi Lista di esercizi 1, 19 gennaio 2016. Esercizio 1 La misurazione di un certo carattere in un campione di 9 individui ha prodotto i valori 1, 2, 2, 4, 4, 5, 9, 11, 14 Qual è la media di queste misurazioni ? Qual è la mediana ? Calcolare il primo e terzo quartile. A vostro avviso si tratta di un campione simmetrico rispetto alla media ? Quanto è ampio l’intervallo interquartile ? Esercizio 2 Si considerino le seguenti misurazioni. Calcolare la media, la mediana e i due quartili. Vi sembra un campione simmetrico ? Come cambierebbero media e mediana se la 17-esima osservazione (3.7) venisse cambiata in 5.7 ? (Osservare che le misurazioni sono 21 e sono ordinate in modo crescente). 0.2 0.4 0.4 0.5 0.5 0.6 0.8 0.8 0.9 1. 1.1 1.2 1.4 1.8 2.2 3.7 3.7 4. 4.2 5. 6.5 Esercizio 3 I fiori di iris virginica presentano un numero di sepali variabile. Un campione di questi fiori viene scelto a caso e per ciascuno viene contato il numero di sepali. I risultati sono riportati nella tabella seguente. numero di sepali 7 8 9 10 11 effettivi 98 260 236 107 13 a) Quanti individui (cioè fiori) compaiono nel campione ? b) Qual è la frequenza della modalità 10 ? (cioè per quale proporzione d’individui del campione è stato osservato un numero di sepali pari a 10 ?) c) Qual è il numero medio di sepali ? d) Qual è la mediana ? Esercizio 4 Un dado equilibrato viene lanciato una volta. a) Qual è la probabilità di ottenere 6 ? b) Qual è la probabilità di non ottenere 6 ? c) Qual è la probabilità di ottenere 1 oppure 6 ? d) Qual è la probabilità di ottenere un numero dispari oppure un numero ≤ 2 ? Esercizio 5 In un gioco il giocatore e il banco lanciano entrambi un dado (equilibrato). Il giocatore vince solo se il suo numero è strettamente più grande di quello del banco. a) Qual è la probabilità che il giocatore vinca sapendo che il suo dado ha fatto 4 ? b) Qual è la probabilità che il giocatore vinca sapendo che il suo dado ha fatto i (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) ? c) Qual è la probabilità che il giocatore vinca ? Esercizio 6 Un test clinico individua la presenza di una grave patologia con probabilità 99% presso i soggetti malati, ma produce anche un falso positivo presso un soggetto sano con la probabilità dell’ 10%. 1 Si sa inoltre che nella popolazione l’incidenza della malattia è 1000 . a) Qual è la probabilità che un individuo scelto a caso risulti positivo al test ? b) Il signor Rossi è risultato positivo al test. Qual è la probabilità che sia effettivamente malato ? Ha ragione di spaventarsi ? Esercizio 7 Un’urna contiene b palline bianche e r palline rosse. a) Una pallina viene estratta. Qual è la probabilità che sia bianca ? b) La prima pallina estratta viene messa da parte e se ne estrae una seconda. b1) Qual è la probabilità che la seconda estratta sia bianca sapendo che la prima era bianca ? E se fosse stata rossa ? b2) La prima pallina estratta viene messa da parte senza guardarla. Qual è la probabilità che la seconda pallina estratta sia bianca ? Soluzioni (alcune. . . ) Esercizio 4. L’osservazione importante è che siamo in una situazione di equiprobabilità. Dunque la probabilità di un evento è uguale alla sua cardinalità diviso per la cardinalità di tutti i risultati possibili (qui = 6) a) L’evento d’interesse ha cardinalità 1 (cioè è composto da un solo elemento). ha dunque robabilità 16 . b) Se indichiamo con A6 l’evento ‘‘esce il 6’’, l’evento ‘‘il 6 non esce’’ non è altro che c A6 . Sappiamo che vale la formula P(Ac6 ) = 1 − P(A6 ) = 56 . Alternativamente avremmo potuto osservare che Ac6 = {1, 2, 3, 4, 5} e dunque P(Ac6 ) = 56 perché Ac6 ha cardinalità 5. c) L’evento di cui ci viene richiesta la probabilità è composto da due elementi ed ha dunque probabilità 26 = 13 . d) L’evento di cui ci viene richiesta la probabilità è composto dagli elementi 1, 2, 3, 5 e ha dunque probabilità 46 = 23 . Da notare che in questo caso la probabilità di avere un numero dispari è 21 , quella di avere un numero ≤ 2 è 13 ma la probabilità di avere un numero dispari oppure uno con numero ≤ 2 non è la somma di queste proabilità perché i due eventi non sono incompatibili (se viene 1 si verificano entrambi). Esercizio 5. a) Se il dado del giocatore ha fatto 4, allora il giocatore vince solo se il banco fa 1, 2 oppure 3. Quindi con probabilità 36 = 21 . b) Indichiamo con Ai l’evento ‘‘il dado del giocatore ha dato i’’, i = 1, . . . , 6 e con G l’evento ‘‘il giocatore vince’’. Evidentemente P(G | A1 ) = 0, perché se il dado del giocatore dà 1, il giocatore perde qualunque sia il risultato del banco. Invece se il dado del giocatore dà 2, allora egli vince se il banco ha 1 e perde altrimenti. Dunque P(G | A2 ) = 16 . In maniera analoga si trova che P(G | A3 ) = 1 , 3 P(G | A4 ) = 1 , 2 P(G | A5 ) = 2 , 3 P(G | A6 ) = 5 · 6 (il risultato per A4 era già stato trovato in a)). c) È chiaro che P(Ai ) = 16 dato che si suppone che il dado sia equilibrato. Per la formula delle probabilità totali ((3.5) negli appunti), P(G) = P(G | A1 )P(A1 ) + . . . + P(G | A6 )P(A6 ) = =0· 1 6 + 1 6 · 1 6 + 1 3 · 1 6 + 1 2 · 1 6 + 2 3 · 1 6 + 5 6 · 1 6 = 15 36 = 5 12 = 0.41. Esercizio 6. Indichiamo con M l’evento ‘‘l’individuo prescelto è malato’’, con S l’evento ‘‘l’individuo prescelto è sano’’, con T l’evento ‘‘l’individuo prescelto risulta positivo al test’’. I dati del problema ci dicono che P(M) = 0.01, P(S) = 0.99, P(T | M) = 0.95, P(T | S) = 0.1 . a) Osserviamo che gli eventi M e S costituiscono una partizione: sono incompatibili e esauriscono tutte le possibilità. Possiamo quindi applicare la formula delle probabilità totali: P(T ) = P(T | M)P(M) + P(T | S)P(S) = 0.95 · 0.01 + 0.1 · 0.99 = 0.1085 . b) La cosa importante è rendersi conto che la probabilità che il signor Rossi sia effettivamente malato non è altro che P(M | T ), cioè la probabilità che egli sia malato sapendo che è risultato positivo al test. Questa quantità si calcola con la formula di Bayes: 0.95 · 0.01 P(T | M)P(M) = = 0.0875 = 8.75% . P(M | T ) = P(T ) 0.1085 Il signor Rossi farà bene a fare altri controlli, ma la probabilità che egli sia veramente malato è comunque abbastanza bassa. Esercizio 7. a) L’urna contiene a + b palline. Dai dati del problema si può supporre che le palline siano equiprobabili, dunque, poiché ci sono b palline bianche su un totale di b + r, la probabilità richiesta è b · b+r b1) Se la prima pallina estratta è bianca, ora nell’urna ci sono b − 1 palline bianche su un totale di b + r − 1, dunque la probabilità di estrarre una pallina bianca alla seconda estrazione è b−1 · b+r −1 Se la prima pallina estratta fosse stata rossa, ora nell’urna ci sarebbero b palline bianche su un totale di b + r − 1. Dunque la probabilità si estrarre una pallina bianca alla seconda estrazione sarebbe ora b · b+r −1 b2) Indichiamo con B1 l’evento ‘‘la prima pallina estratta è bianca’’, con R1 l’evento ‘‘la prima pallina estratta è rossa’’ e con B2 l’evento ‘‘la seconda pallina estratta è bianca’’. Gli eventi B1 , R1 costituiscono una partizione. Inoltre sappiamo, come visto in a), che b r . Lo stesso ragionamento ci dà P(R1 ) = b+r . Invece i calcoli fatti in b1) ci P(B1 ) = b+r dicono che b−1 b P(B2 | B1 ) = , P(B2 | R1 ) = · b+r −1 b+r −1 La formula delle probabilità totali dà ora P(B2 ) = P(B1 )P(B2 | B1 ) + P(R1 )P(B2 | R1 ) = r b b−1 b b + = = b+r b+r −1 b+r b+r −1 b+r cioè la probabilità di estrarre una pallina bianca alla seconda estrazione è la stessa che la probabilità di estrarla alla prima.