esercitazione 1, 19 gennaio 2016

UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA
Corso di Laurea Magistrale in Scienze della Nutrizione Umana
Corso di Statistica Medica, anno 2015-16
P.Baldi
Lista di esercizi 1, 19 gennaio 2016.
Esercizio 1 La misurazione di un certo carattere in un campione di 9 individui ha prodotto
i valori
1, 2, 2, 4, 4, 5, 9, 11, 14
Qual è la media di queste misurazioni ? Qual è la mediana ? Calcolare il primo e terzo
quartile. A vostro avviso si tratta di un campione simmetrico rispetto alla media ? Quanto
è ampio l’intervallo interquartile ?
Esercizio 2 Si considerino le seguenti misurazioni. Calcolare la media, la mediana e i due
quartili. Vi sembra un campione simmetrico ? Come cambierebbero media e mediana se la
17-esima osservazione (3.7) venisse cambiata in 5.7 ?
(Osservare che le misurazioni sono 21 e sono ordinate in modo crescente).
0.2 0.4 0.4 0.5 0.5 0.6 0.8 0.8 0.9 1. 1.1 1.2 1.4 1.8 2.2 3.7 3.7 4. 4.2 5. 6.5
Esercizio 3 I fiori di iris virginica presentano un numero di sepali variabile. Un campione
di questi fiori viene scelto a caso e per ciascuno viene contato il numero di sepali. I risultati
sono riportati nella tabella seguente.
numero di sepali
7
8
9
10
11
effettivi
98
260
236
107
13
a) Quanti individui (cioè fiori) compaiono nel campione ?
b) Qual è la frequenza della modalità 10 ? (cioè per quale proporzione d’individui del
campione è stato osservato un numero di sepali pari a 10 ?)
c) Qual è il numero medio di sepali ?
d) Qual è la mediana ?
Esercizio 4 Un dado equilibrato viene lanciato una volta.
a) Qual è la probabilità di ottenere 6 ?
b) Qual è la probabilità di non ottenere 6 ?
c) Qual è la probabilità di ottenere 1 oppure 6 ?
d) Qual è la probabilità di ottenere un numero dispari oppure un numero ≤ 2 ?
Esercizio 5 In un gioco il giocatore e il banco lanciano entrambi un dado (equilibrato). Il
giocatore vince solo se il suo numero è strettamente più grande di quello del banco.
a) Qual è la probabilità che il giocatore vinca sapendo che il suo dado ha fatto 4 ?
b) Qual è la probabilità che il giocatore vinca sapendo che il suo dado ha fatto i (i =
1, 2, 3, 4, 5, 6) ?
c) Qual è la probabilità che il giocatore vinca ?
Esercizio 6 Un test clinico individua la presenza di una grave patologia con probabilità 99%
presso i soggetti malati, ma produce anche un falso positivo presso un soggetto sano con la
probabilità dell’ 10%.
1
Si sa inoltre che nella popolazione l’incidenza della malattia è 1000
.
a) Qual è la probabilità che un individuo scelto a caso risulti positivo al test ?
b) Il signor Rossi è risultato positivo al test. Qual è la probabilità che sia effettivamente
malato ? Ha ragione di spaventarsi ?
Esercizio 7 Un’urna contiene b palline bianche e r palline rosse.
a) Una pallina viene estratta. Qual è la probabilità che sia bianca ?
b) La prima pallina estratta viene messa da parte e se ne estrae una seconda.
b1) Qual è la probabilità che la seconda estratta sia bianca sapendo che la prima era
bianca ? E se fosse stata rossa ?
b2) La prima pallina estratta viene messa da parte senza guardarla. Qual è la probabilità
che la seconda pallina estratta sia bianca ?
Soluzioni (alcune. . . )
Esercizio 4. L’osservazione importante è che siamo in una situazione di equiprobabilità.
Dunque la probabilità di un evento è uguale alla sua cardinalità diviso per la cardinalità di
tutti i risultati possibili (qui = 6)
a) L’evento d’interesse ha cardinalità 1 (cioè è composto da un solo elemento). ha
dunque robabilità 16 .
b) Se indichiamo con A6 l’evento ‘‘esce il 6’’, l’evento ‘‘il 6 non esce’’ non è altro che
c
A6 . Sappiamo che vale la formula P(Ac6 ) = 1 − P(A6 ) = 56 . Alternativamente avremmo
potuto osservare che Ac6 = {1, 2, 3, 4, 5} e dunque P(Ac6 ) = 56 perché Ac6 ha cardinalità 5.
c) L’evento di cui ci viene richiesta la probabilità è composto da due elementi ed ha
dunque probabilità 26 = 13 .
d) L’evento di cui ci viene richiesta la probabilità è composto dagli elementi 1, 2, 3, 5
e ha dunque probabilità 46 = 23 . Da notare che in questo caso la probabilità di avere un
numero dispari è 21 , quella di avere un numero ≤ 2 è 13 ma la probabilità di avere un numero
dispari oppure uno con numero ≤ 2 non è la somma di queste proabilità perché i due eventi
non sono incompatibili (se viene 1 si verificano entrambi).
Esercizio 5. a) Se il dado del giocatore ha fatto 4, allora il giocatore vince solo se il banco
fa 1, 2 oppure 3. Quindi con probabilità 36 = 21 .
b) Indichiamo con Ai l’evento ‘‘il dado del giocatore ha dato i’’, i = 1, . . . , 6 e con G
l’evento ‘‘il giocatore vince’’.
Evidentemente P(G | A1 ) = 0, perché se il dado del giocatore dà 1, il giocatore perde
qualunque sia il risultato del banco. Invece se il dado del giocatore dà 2, allora egli vince
se il banco ha 1 e perde altrimenti. Dunque P(G | A2 ) = 16 . In maniera analoga si trova che
P(G | A3 ) =
1
,
3
P(G | A4 ) =
1
,
2
P(G | A5 ) =
2
,
3
P(G | A6 ) =
5
·
6
(il risultato per A4 era già stato trovato in a)).
c) È chiaro che P(Ai ) = 16 dato che si suppone che il dado sia equilibrato. Per la
formula delle probabilità totali ((3.5) negli appunti),
P(G) = P(G | A1 )P(A1 ) + . . . + P(G | A6 )P(A6 ) =
=0·
1
6
+
1
6
·
1
6
+
1
3
·
1
6
+
1
2
·
1
6
+
2
3
·
1
6
+
5
6
·
1
6
=
15
36
=
5
12
= 0.41.
Esercizio 6. Indichiamo con M l’evento ‘‘l’individuo prescelto è malato’’, con S l’evento
‘‘l’individuo prescelto è sano’’, con T l’evento ‘‘l’individuo prescelto risulta positivo al
test’’. I dati del problema ci dicono che
P(M) = 0.01,
P(S) = 0.99,
P(T | M) = 0.95,
P(T | S) = 0.1 .
a) Osserviamo che gli eventi M e S costituiscono una partizione: sono incompatibili
e esauriscono tutte le possibilità. Possiamo quindi applicare la formula delle probabilità
totali:
P(T ) = P(T | M)P(M) + P(T | S)P(S) = 0.95 · 0.01 + 0.1 · 0.99 = 0.1085 .
b) La cosa importante è rendersi conto che la probabilità che il signor Rossi sia effettivamente malato non è altro che P(M | T ), cioè la probabilità che egli sia malato sapendo
che è risultato positivo al test. Questa quantità si calcola con la formula di Bayes:
0.95 · 0.01
P(T | M)P(M)
=
= 0.0875 = 8.75% .
P(M | T ) =
P(T )
0.1085
Il signor Rossi farà bene a fare altri controlli, ma la probabilità che egli sia veramente malato
è comunque abbastanza bassa.
Esercizio 7. a) L’urna contiene a + b palline. Dai dati del problema si può supporre che le
palline siano equiprobabili, dunque, poiché ci sono b palline bianche su un totale di b + r,
la probabilità richiesta è
b
·
b+r
b1) Se la prima pallina estratta è bianca, ora nell’urna ci sono b − 1 palline bianche su
un totale di b + r − 1, dunque la probabilità di estrarre una pallina bianca alla seconda
estrazione è
b−1
·
b+r −1
Se la prima pallina estratta fosse stata rossa, ora nell’urna ci sarebbero b palline bianche
su un totale di b + r − 1. Dunque la probabilità si estrarre una pallina bianca alla seconda
estrazione sarebbe ora
b
·
b+r −1
b2) Indichiamo con B1 l’evento ‘‘la prima pallina estratta è bianca’’, con R1 l’evento
‘‘la prima pallina estratta è rossa’’ e con B2 l’evento ‘‘la seconda pallina estratta è bianca’’.
Gli eventi B1 , R1 costituiscono una partizione. Inoltre sappiamo, come visto in a), che
b
r
. Lo stesso ragionamento ci dà P(R1 ) = b+r
. Invece i calcoli fatti in b1) ci
P(B1 ) = b+r
dicono che
b−1
b
P(B2 | B1 ) =
, P(B2 | R1 ) =
·
b+r −1
b+r −1
La formula delle probabilità totali dà ora
P(B2 ) = P(B1 )P(B2 | B1 ) + P(R1 )P(B2 | R1 ) =
r
b
b−1
b
b
+
=
=
b+r b+r −1 b+r b+r −1
b+r
cioè la probabilità di estrarre una pallina bianca alla seconda estrazione è la stessa che la
probabilità di estrarla alla prima.