07 le funzioni goniometriche

Prof. A. Di Muro
LE FUNZIONI GONIOMETRICHE
La misura degli angoli
Si chiama angolo la porzione di piano racchiusa tra due semirette.
Angolo convesso
Angolo concavo
Le unità di misura degli angoli sono:
il grado sessagesimale che si indica con ° (DEG sulla calcolatrice)
il radiante che si indica con  (RAD sulla calcolatrice)
il grado centesimale che si indica con  c (GRAD sulla calcolatrice)
Noi useremo il grado sessagesimale ed il radiante.
Il grado sessagesimale è la trecentosessantesima parte dell’angolo giro.
In tal modo un quarto dell’angolo giro viene diviso in 90 parti e corrisponde a 90°.
Ogni grado viene diviso ulteriormente in 60 parti, i primi o minuti d’arco ( per distinguerli dall’omonima
misura di tempo ) p.es. 34’.
Ogni primo viene diviso in altre 60 parti, i secondi d’arco p.es. 27’’.
Allora l’angolo ° = 27° 15’ 45,8’’ si legge
27 gradi 15 primi (o minuti) e 45 secondi virgola otto
La nostra calcolatrice in genere fornisce, nel calcolo di un angolo, la notazione sessagesimale.
Il passaggio dalla notazione sessagesimale alla notazione decimale si effettua così:
partiamo dall'angolo   27 15' 45.8'' , 27 gradi corrisponde alla parte intera del decimale,
1 primo =
1 primo 1 primo
1 primo
1
=
1 grado =
1 grado =
grado
1 grado 60 primi
60 primi
60
analogamente 1 secondo =
  27 15' 45.8''  27 
1
1
primo =
grado quindi
60
3600
15 45.8

 27.26272
60 3600
La trasformazione inversa si effettua così:
  27.26272  27 0.26272  60  27 15.7632  27 15' 0.7632  60  27 15' 45.792  27 15' 45.8''
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Esercizio:
eseguire la somma di   34 56' 32.4'' e   93 38' 54.9''
prima si esegue la somma naturalmente
    34 56' 32.4''  93 38' 54.9''  127 94' 87.3''
a partire dai secondi si riduce, se è il caso, ad archi minori di 60 riportando il resto
    34 56' 32.4''  93 38' 54.9''  127 94' 87.3''  127 95' 27.3''  128 35' 27.3''
+ 1’
 60’’ + 1°
 60’
Il grado centesimale è la quattrocentesima parte dell’angolo giro.
In tal modo un quarto dell’angolo giro viene diviso in 100 parti.
Tuttavia tale tipo di grado non verrà utilizzato.
Il radiante (simbolo rad) è l'unità di misura degli angoli del Sistema Internazionale. Viene definito come
l’angolo sotteso da un arco di circonferenza congruente al raggio della circonferenza stessa.
l=R
1 rad
Ricordando che la lunghezza della circonferenza è:
C2R
allora lungo la circonferenza sono contenuti 2  raggi
e l’angolo giro corrisponde quindi a 2  radianti.
Segue la tabella di conversione:
°
gradi
R
Vista la proporzionalità diretta tra arco ed angolo sotteso,
allora C : 2  = l : , quindi
l =  R.
0
15
30
45
60
90
120
135
150
 radianti
0
1/12 π
1/6 π
1/4 π
1/3 π
1/2 π
2/3 π
3/4 π
5/6 π
°
gradi
180
210
225
240
270
300
315
330
360
Per trasformare un angolo da gradi a radianti e viceversa è sufficiente applicare la proporzione:
 180
 
° :  = 180° :  quindi  
ed  

180

radianti
π
7/6 π
5/4 π
4/3 π
3/2 π
5/3 π
7/4 π
11/6 π
2π
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Definizione di seno coseno e tangente
N
P
B
sen 
tan 

cos 
Sia P un punto sulla circonferenza, il raggio OP = 1
individua un angolo  che per definizione è contato
positivamente nel verso antiorario.
Definiamo seno dell’angolo  il rapporto tra i
segmenti:
OB
 OB
OP
È bene sottolineare che sen  non è uguale al
segmento OB, ma coincide numericamente con tale
segmento, infatti sen , essendo un rapporto tra
segmenti è un numero adimensionale.
sen  
M
O
Definiamo innanzitutto il cerchio goniometrico,
semplicemente come un cerchio di raggio unitario.
A
1
Definiamo coseno dell’angolo  il rapporto tra i
segmenti:
cos  
Definiamo tangente dell’angolo  il rapporto tra i segmenti:
OA
 OA
OP
MN
 MN
OP
Una prima relazione importante è data dal teorema di Pitagora applicato al triangolo OAP, si ha:
tan  
sen2   cos 2   1 che rappresenta l’equazione fondamentale della goniometria.
Inoltre dalla similitudine dei triangoli OAP e OMN si ha:
MN : AP = OM : OA da cui
tan  
sen 
cos 
che esprime la tangente goniometrica in funzione di seno e coseno.
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Di seguito sono rappresentate le variazioni di seno coseno e tangente.
y
sen 
x
sinusoide
x
cos 
y

cosinusoide
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tan 
y
x
tangentoide
Si nota che il seno ed il coseno si ripetono dopo un giro completo, mentre la tangente si ripete dopo
mezzo giro.
Queste funzioni sono quindi periodiche di periodo T.
Il periodo del seno e del coseno è T = 2 , mentre il periodo della tangente è T = .
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Risoluzione del triangolo rettangolo
Ricordando la figura precedente, abbiamo
definito:
OB AP
sen  

OP OP
OA
cos  
OP
MN MN
tan  

OP OM
N
P
B
sen 
Dalla similitudine dei triangoli OAP e OMN
si deduce che:
AP : OP = MN : ON = sen 
Questo rapporto si mantiene costante per
ogni triangolo rettangolo simile ad OAP,
cioè in generale dato il triangolo rettangolo
ABC in figura si ha:
tan 

M
O
cos 
A
1

a
c
sen  
c
o
a
c  a sen 
ovvero

in un triangolo rettangolo il seno di un angolo è uguale al rapporto tra il
cateto opposto all'angolo e l’ipotenusa.
b
Considerando la proporzione OA : OP = OM : ON = cos 
Con considerazioni analoghe si ha:
cos  
b
o
a
b  a cos 
ovvero
in un triangolo rettangolo il coseno di un angolo è uguale al rapporto
tra il cateto adiacente all'angolo e l’ipotenusa.
Infine dal rapporto tan  
sen  c

o
cos  b
c  btan 
si ricava che
in un triangolo rettangolo la tangente di un angolo è uguale al rapporto
tra il cateto opposto ed il cateto adiacente all'angolo.