Carl Friedrich Gauss
«Il Principe dei matematici»
Lorenzo Setti Liceo G. Ulivi anno
scolastico 2014-15
INDICE:
Vita, formazione e principali idee
Costruzione con riga e compasso
dell’eptadecagono
Disquisitiones Arithmeticae
Il teorema di Gauss in fisica
Conclusioni
Bibliografia
Vita, formazione e principali opere
• Gauss nasce il 30 aprile 1777 in Germani più
precisamente a Brunswick. Figlio unico di una
famiglia povera, il giovane Carl dovette
guadagnarsi da vivere con i lavori più umili.
• Il padre non credeva necessaria un’adeguata
istruzione ma, grazie agli sforzi della madre e
dello zio paterno, nel 1784 il giovane fu iscritto
alla scuola elementare.
• L’insegnante di Gauss
riconobbe subito il suo genio
latente e contribuì allo sviluppo
delle sue capacità con testi
speciali pagati di tasca propria.
• Ad 11 anni fu ammesso
all’istituto superiore
Gymnasium Catharineum e a
15 al Collegium Carolinum.
• A 18 anni si traferì
all’Università di Gottinga
fondata sul modello di Oxford e
Cambrige.
Università di
Gottinga
• Nel 1798 abbandonò l’università senza alcun diploma
e sotto richiesta del duca ottenne successivamente la
laurea di absentia.
• Durante il periodo di Nottinga Gauss dimostra il
teorema fondamentale dell’algebra e trova il metodo
per costruire l’eptadecagono con riga e compasso.
• Nel 1833 collabora con Weber nel campo della fisica
che portò alla scoperta di una nuova legge del campo
elettrico e costruiscono un primitivo telegrafo
elettromagnetico
• Gauss muore all’età di settantasette anni nel sonno la
mattina del 23 febbraio 1854.
Costruzione con riga e compasso
dell’eptadecagono
POLIGONO REGOLARE A 17 LATI
La costruzione con riga e compasso ha una lunga
tradizione nei lavori dei matematici. Essa
consiste nel tracciare punti, segmenti, segmenti,
rette e angoli utilizzando una riga e un compasso
idealizzati.
È quindi possibile costruire qualunque poligono regolare, pertanto
un poligono che abbia lati e angoli uguali, con riga e compasso?
Esempio di esagono regolare costruito con
riga e compasso
• Prima di Gauss era possibile costruire tutti i
poligoni regolari con un numero di lati che
poteva essere espresso con la formula 3x2n, dove
n è un numero naturale.
•
Gauss cercò di rispondere al quesito posto dai greci e costruì il poligono a 17 lati
con i numeri di Fermat. Per costruire un poligono regolare con riga e compasso è
necessario che i fattori primi dispari di n siano numeri primi di Fermat.
F
n=2
2n + 1
Disquisitiones Aritmeticae
• Nella sezione uno introduce i concetti elementari della
matematica come le regole per la divisibilità per 3,9 e
11.
• Nella sezione due sviluppa il concetto di congruenze che
aiutano in ogni tipo di calcolo
• La sezione cinque è il nucleo fondamentale dell’opera
( teorema fondamentale della matematica).
• Nella sezione sette c’è una piccola monografia dedicata
ad un tema correlato, ma separato dai precedenti.
Teorema fondamentale dell’aritmetica
DEFINIZIONE: Ogni numero naturale maggiore
di 1 o è un numero primo o si può esprimere
come prodotto di numeri primi.
È facile dimostrare questo teorema con numeri
piccoli come ad esempio 70 si può scomporre in
2x5x7 che sono numeri primi. Ma il toerema
vale anche per numeri infinitamente grandi?
Questo teorema si può dimostrare per
induzione:
- 2 è un numero primo quindi soddisfa
l’enunciato
- Supponiamo vero l’enunciato per i numeri che
vanno da 2 a n infinito e dimostriamo che il
teorema vale anche per n+1.
Questo teorema si può dimostrare per
induzione:
- 2 è un numero primo quindi soddisfa
l’enunciato
- Supponiamo vero l’enunciato per i numeri che
vanno da 2 a n infinito e dimostriamo che il
teorema vale anche per n+1.
Per n+1 ci sono due
possibilità
È primo
È divisibile per un
numero
compreso tra 2 e
n
Nel caso in cui sia divisibile per un numero compreso tra 2 e
n per ipotesi induttiva questo numero può essere o primo o
divisibile per un numero p primo.
Perciò, per la proprietà transitiva della
divisibilità, p è anche divisore di n+1
n+1 è quindi primo o divisibile per un primo
La dimostrazione dell’esistenza della
fattorizzazione per ogni numero procede in
maniera analoga con il metodo dell’induzione.
Teorema di Gauss
Il teorema di Gauss afferma che il flusso del
campo elettrico attraverso una qualsiasi
superficie chiusa s è uguale alla sommatoria di
tutte le cariche presenti all’interno della sfera
diviso la costante dielettrica del vuoto.
Prendiamo come esempio di superficie gaussiana una sfera di
raggio r e con all’interno una carica q.
Generalmente il flusso si determina moltiplicando il vettore del
campo elettrico per il vettore superficie e per il coseno
dell’angolo compreso. Perciò moltiplicando E per la superficie
della sfera 4πr2 e per il coseno dell’angolo (che in questo caso vale 1) e compiendo tutte le
determinate semplificazioni si verifica la formula.
Il flusso di campo magnetico attraverso una
qualunque superficie chiusa è uguale a zero e si
esprime con la seguente formula:
Il valore del secondo membro è nullo poiché non
esistono poli magnetici nord e sud isolati. Infatti
le linee di campo magnetico non hanno né inizio
né una fine. Di conseguenza il flusso attraverso
la superficie s è nullo.
La dimostrazione si può avere prendendo in
considerazione una superficie cilindrica attraversata
da un filo percorso da corrente. Il vettore superficie
è perpendicolare al vettore di campo B e quindi il
coseno dell’angolo compreso è uguale a 0.
Conclusioni
• L’international mathematics union dal 2002
conferisce il premio Gauss a chiunque si sia
distinto per le sue brillanti scoperte.
• Premio di 10000 euro.
• Ricordato da tutti i tedeschi con affetto e la
sua faccia era presente sulle monete e su i
timbri postali prima dell’avvento dell’euro.
«Gauss fu semplice e senza affettazioni dalla
giovinezza fino al giorno della sua morte. Un
piccolo studio, un tavolino da lavoro con una
tovaglia verde, uno scrittoio dipinto di bianco,
uno stretto sofà e, passati i settant’anni, una
poltrona, una lampada con paralume, una
stanza fresca, cibo semplice, una giacca da
camera e un berretto di velluto era tutto ciò di
cui aveva bisogno»
Sartorius
Bibliografia
www.wikipedia.it
I perché della fisica, Dai fenomeni ondulatori ai
campi magnetici Tramontana
L’amaldi per i licei scientifici 3, Campo magnetico
Induzione e onde elettromagnetiche Relatività e
quanti con Physics in English Zanichelli
Gauss la teoria dei numeri, Se i numeri potessero
parlare Grandi idee della scienza
