Politecnico di Bari
I Facoltà di Ingegneria C. d. L. Ingegneria Edile Corso A
Esame di Geometria Traccia 1
A.A. 2008/2009 - 17 luglio 2009
COGNOME:
1.
NOME:
a) Dato il sottospazio V = {(x, y, z) ∈ R3 | 2x + y = 0} di R3 , se ne determinino una base
e la dimensione;
b) si determinino le basi e le dimensioni dei sottospazi vettoriali V ∩ W e V + W di R3 ,
dove W = L((0, 1, 1), (1, 1, 0));
c) si stabilisca se R3 è somma diretta di V e W , (cioé se R3 = V ⊕ W ).
2. Date le matrici
√2
5
P = 0
√1
5
√1
0
−1
5
1
0 eD= 0
0
0 − √25
0 0
0 0 ,
0 1
a) si stabilisca se P e D sono matrici ortogonali;
b) si determini la matrice A simile a D e la cui matrice diagonalizzante è P .
3. Fissato un riferimento metrico R = O,~i, ~j, ~k nello spazio
a) si determinila circonferenza γ passante per il punto P (1, 0, 2) e avente come asse centrale
x−1 = 0
la retta r :
;
z−1 = 0
b) data la curva C , denita dalle equazioni
x = t+1
y =
t
,
C:
z = t2 + 2
si verichi che P è un punto di C e si determini una rappresentazione analitica della
supercie S ottenuta dalla rotazione di C attorno alla retta r;
c) si dica cosa rappresenta la circonferenza γ per tale supercie di rotazione S .
4. Fissato un riferimento metrico R = O,~i, ~j nel piano, si determinino i valori del parametro
reale h per cui la conica C di equazione C : 2h2 x2 + y 2 + 2hxy + 2hy + h + 1 = 0 risulti
riducibile, e per ciascun valore di h così trovato specicare se la conica è semplicemente o
doppiamente degenere.
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Esame di Geometria Traccia 2
A.A. 2008/2009 - 17 luglio 2009
COGNOME:
1.
NOME:
a) Dato il sottospazio V = {(x, y, z) ∈ R3 | x + 3z = 0} di R3 , se ne determinino una base
e la dimensione;
b) si determinino le basi e le dimensioni dei sottospazi vettoriali V ∩ W e V + W di R3 ,
dove W = L((0, 1, 1), (1, 1, 0));
c) si stabilisca se R3 è somma diretta di V e W , (cioé se R3 = V ⊕ W ).
2. Date le matrici
√2
6
P = 0
√1
3
0 − √13
3
1
0 eD= 0
√2
0
0
6
0
0
0
0
0 ,
1
a) si stabilisca se P e D sono matrici ortogonali;
b) si determini la matrice A simile a D e la cui matrice diagonalizzante è P .
3. Fissato un riferimento metrico R = O,~i, ~j, ~k nello spazio
a) si determini la circonferenza
γ passante per il punto P (1, 1, 1) ed avente come asse
x − 2y = 0
centrale la retta r :
;
y−1 = 0
b) data la curva C , denita dalle equazioni
x =
y =
C:
z =
t2
1
,
2t − 1
si verichi che P è un punto di C e si determini una rappresentazione analitica della
supercie S ottenuta dalla rotazione di C attorno alla retta r;
c) si dica cosa rappresenta la circonferenza γ per tale supercie di rotazione S .
4. Fissato un riferimento metrico R = O,~i, ~j nel piano, si determinino i valori del parametro
reale h per cui la conica C di equazione C : h2 x2 + y 2 + 4xy + 2x + 1 = 0 risulti un'ellisse.
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Esame di Geometria Traccia 3
A.A. 2008/2009 - 17 luglio 2009
COGNOME:
1.
NOME:
a) Dato il sottospazio V = {(x, y, z) ∈ R3 | y + 2z = 0}, se ne determinino una base e la
dimensione;
b) si determinino le basi e le dimensioni dei sottospazi vettoriali V ∩ W e V + W di R3 ,
dove W = L((0, 1, 1), (1, 1, 0));
c) si stabilisca se R3 è somma diretta di V e W , (cioé se R3 = V ⊕ W ).
2. Date le matrici
0
P = 1
0
√1
3
0
√
√2
3
√
− √23
2
0 eD= 0
0
√1
3
0
0
0
0
0 ,
1
a) si stabilisca se P e D sono matrici ortogonali;
b) si determini la matrice A simile a D e la cui matrice diagonalizzante è P .
3. Fissato un riferimento metrico R = O,~i, ~j, ~k nello spazio
a) si determini la circonferenza
γ passante per il punto P (0, 1, 1) ed avente come asse
y−1 = 0
centrale la retta r :
;
z+2 = 0
b) data la curva C , denita dalle equazioni
t
x =
y = t+1 ,
C:
z = t2 + 1
si verichi che P è un punto di C e si determini una rappresentazione analitica della
supercie S ottenuta dalla rotazione di C attorno alla retta r;
c) si dica cosa rappresenta la circonferenza γ per tale supercie di rotazione S .
4. Fissato un riferimento metrico R = O,~i, ~j nel piano, si determinino i valori del parametro
reale h per cui la conica C di equazione C : hx2 + hy 2 + 2xy + 2x + 2y = 0 risulti una parabola.
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Esame di Geometria Traccia 4
A.A. 2008/2009 - 17 luglio 2009
COGNOME:
1.
NOME:
a) Dato il sottospazio V = {(x, y, z) ∈ R3 | 2x + 4z = 0}, se ne determinino una base e la
dimensione;
b) si determinino le basi e le dimensioni dei sottospazi vettoriali V ∩ W e V + W di R3 ,
dove W = L((0, 1, 1), (1, 1, 0));
c) si stabilisca se R3 è somma diretta di V e W , (cioé se R3 = V ⊕ W ).
2. Date le matrici
P =
0
√2
5
√1
5
1
0
−2
1
√
0
0
eD=
5
0
0 − √25
0 0
0 0 ,
0 1
a) si stabilisca se P e D sono matrici ortogonali;
b) si determini la matrice A simile a D e la cui matrice diagonalizzante è P .
3. Fissato un riferimento metrico R = O,~i, ~j, ~k nello spazio
a) si determini la circonferenza
γ passante per il punto P (0, 0, 0) ed avente come asse
x−y = 0
centrale la retta r :
;
y−1 = 0
b) data la curva C , denita dalle equazioni
x = t2
y = t ,
C:
z = −t
si verichi che P è un punto di C e si determini una rappresentazione analitica della
supercie S ottenuta dalla rotazione di C attorno alla retta r;
c) si dica cosa rappresenta la circonferenza γ per tale supercie di rotazione S .
4. Fissato un riferimento metrico R = O,~i, ~j nel piano, si determinino i valori del parametro
reale h per cui la conica C di equazione C : hx2 + 2y 2 + 4xy + h + 1 = 0 risulti un'iperbole.
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