1 UNIVERSITÀ DI BRESCIA - FACOLTÀ DI INGEGNERIA Algebra e Geometria - 01.09.03 Ingegneria Civile - per l’Ambiente e il Territorio cognome nome corso di laurea matricola ESERCIZIO 1. Nello spazio vettoriale euclideo R3 (R) si considerino i seguenti sottospazi: A = {(x, y, z) ∈ R3 | (k − 1)x + y + kz = 0, B = {(x, y, z) ∈ R3 y + z = 0} | x + 3z = 0} Si stabilisca per quali valori del parametro reale k la dimensione di A è uguale a 1. Inoltre si determini una base di B ⊥ rispetto al prodotto scalare euclideo. ESERCIZIO 2. In E3 (R) si consideri la parabola C : y − x2 = z = 0. Si determini una rappresentazione cartesiana della quadrica generata dalla rotazione della parabola attorno al proprio asse. ESERCIZIO 3. In E3 (R) si considerino le rette ( ( x − 2z = 2 x − ky − z = 1 r: s: kx + y − 3z = 0 y − 2z = 3 Si stabilisca, se esistono, per quali valori del parametro reale k le rette r ed s sono parallele. Posto k = 0 si determini la retta di minima distanza tra r ed s, cioè la retta incidente ed ortogonale ad entrambe. 2 UNIVERSITÀ DI BRESCIA - FACOLTÀ DI INGEGNERIA Algebra e Geometria - 01.09.03 Ingegneria Civile - per l’Ambiente e il Territorio cognome nome corso di laurea matricola ESERCIZIO 1. Nello spazio vettoriale euclideo R3 (R) si considerino i seguenti sottospazi: A = {(x, y, z) ∈ R3 | x + (k − 2)y + kz = 0, B = {(x, y, z) ∈ R3 x + 2z = 0} | x + 3y = 0} Si stabilisca per quali valori del parametro reale k la dimensione di A è uguale a 1. Inoltre si determini una base di B ⊥ rispetto al prodotto scalare euclideo. ESERCIZIO 2. In E3 (R) si consideri la parabola C : x − y 2 = z = 0. Si determini una rappresentazione cartesiana della quadrica generata dalla rotazione della parabola attorno al proprio asse. ESERCIZIO 3. In E3 (R) si considerino le rette ( ( x + ky − 2z = 0 x−z =2 r: s: y − 3z = 1 3kx + y − 2z = 3 Si stabilisca, se esistono, per quali valori del parametro reale k le rette r ed s sono parallele. Posto k = 0 si determini la retta di minima distanza tra r ed s, cioè la retta incidente ed ortogonale ad entrambe.