Università degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica Tutorato di GE220 A.A. 2013-2014 - Docente: Prof.ssa Lucia Caporaso Tutore: Enrica Gonzalez Soluzioni Tutorato 8 (15 Aprile 2014) 1. Sia X uno spazio topologico contenente almeno due punti, dotato della topologia cofinita. Si dimostri che X è connesso se e solo se X è infinito. Soluzione: (⇐): Se X è infinito ogni coppia di aperti non vuoti ha intersezione non vuota, pertanto X è connesso. (⇒): Se X fosse finito allora avrebbe la topologia discreta, e poichè contiene almeno due punti sarebbe sconnesso: assurdo. 2. Dimostrare che non esiste alcuna funzione continua e iniettiva da R2 (con la topologia euclidea) a R (con la topologia euclidea). Soluzione: Supponiamo per assurdo che esista f : R2 → R continua e iniettiva, e sia X := f (R2 ). X, essendo immagine continua del connesso R2 è un sottoinsieme connesso di R, cioè un intervallo. (Osserviamo che per l’iniettività di f , X non è costituito da un solo punto). Sia y ∈ X un punto interno ad X, e sia Z := X \ {y}. Ma allora Z è sconnesso, dato che Z = ((−∞, y) ∩ Z) ∪ ((y, +∞) ∩ Z), con (−∞, y) ∩ Z e (y, +∞) ∩ Z sottoinsiemi aperti propri di Z e disgiunti. Per l’iniettività di f esiste unico p ∈ R2 tale che f (p) = y; ma allora f (R2 \ {p}) = Z è sconnesso mentre R2 \ {p} è connesso (infatti è connesso per archi): assurdo, poiché f è continua. 3. Ricordiamo che uno spazio topologico (X, T ) si dice totalmente sconnesso se tutti i sottoinsiemi di X aventi cardinalità ≥ 2 sono sconnessi. Verificare che ogni spazio topologico discreto (X, P(X)) è totalmente sconnesso. Soluzione: Siano Y ⊆ X e {y1 , y2 } ⊆ Y con y1 6= y2 . Poiché P(X) induce la topologia discreta su Y allora Y è sconnesso. 4. Verificare che per ogni n ≥ 1 gli spazi topologici Rn ed S n sono connessi. Soluzione: Rn è connesso perché prodotto di n copie di R, che è connesso. ∼ = Consideriamo la proiezione stereografica π : S n \ {N } −→ Rn , che è un omeomorfismo. Questo implica che S n \ {N } è connesso, e poichè S n = S n \ {N } e la chiusura di un connesso è connessa, segue la tesi. 5. Determinare (con un unico esempio) un insieme sconnesso C di uno spazio topologico (X, T ) tale che gli insiemi F r(C), Int(C), Est(C), C, e D(C) siano connessi. Soluzione: Prendiamo ad esempio Q: è sconnesso perché totalmente sconnesso, inoltre F r(Q) = Q = D(Q) = R che è connesso, ed inoltre Int(Q) = Est(Q) = ∅ connesso. 6. Siano T ed T 0 due topologie su X con T ≺ T 0 dire quali delle seguenti affermazioni è vera: (i) (X, T ) connesso implica (X, T 0 ) connesso; (ii) (X, T ) sconnesso implica (X, T 0 ) sconnesso. Soluzione: (i) L’affermazione è falsa. Si consideri X = R, T = E e T 0 = P(R). Si ha che (R, E) è connesso, mentre (R, P(R)) è sconnesso (una sconnessione è data da qualsivoglia coppia di sottoinsiemi propri non vuoti e disgiunti). (ii) L’affermazione è vera. X è sconnesso rispetto a T quindi esistono A, B ⊂ X aperti (chiusi), disgiunti e non vuoti tali che X = A ∪ B. Ora siccome T ≺ T 0 , si ha che A e B sono aperti (chiusi) anche rispetto a T 0 e rimangono disgiunti; dunque rappresentano una sconnessione di X rispetto alla topologia T 0. 7. Sia (X, T ) uno spazio topologico. Verificare che se (X, T ) è connesso allora ogni applicazione continua da (X, T ) ad uno spazio topologico discreto (Y, P(Y )) è costante. Soluzione: Poiché Y ha la topologia discreta allora è totalmente sconnesso quindi gli unici sottoinsiemi connessi sono i singoletti; se esistesse un’applicazione continua f : X → Y questa dovrebbe mandare connessi in connessi, dunque X essendo connesso viene mandato in un singoletto. Questo implica che l’applicazione deve essere costante.