Soluzioni - Roma Tre

Università degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica
Tutorato di GE220
A.A. 2013-2014 - Docente: Prof.ssa Lucia Caporaso
Tutore: Enrica Gonzalez
Soluzioni Tutorato 8 (15 Aprile 2014)
1. Sia X uno spazio topologico contenente almeno due punti, dotato della topologia cofinita. Si
dimostri che X è connesso se e solo se X è infinito.
Soluzione:
(⇐): Se X è infinito ogni coppia di aperti non vuoti ha intersezione non vuota, pertanto X è
connesso.
(⇒): Se X fosse finito allora avrebbe la topologia discreta, e poichè contiene almeno due punti
sarebbe sconnesso: assurdo.
2. Dimostrare che non esiste alcuna funzione continua e iniettiva da R2 (con la topologia euclidea) a
R (con la topologia euclidea).
Soluzione:
Supponiamo per assurdo che esista f : R2 → R continua e iniettiva, e sia X := f (R2 ).
X, essendo immagine continua del connesso R2 è un sottoinsieme connesso di R, cioè un intervallo.
(Osserviamo che per l’iniettività di f , X non è costituito da un solo punto).
Sia y ∈ X un punto interno ad X, e sia Z := X \ {y}. Ma allora Z è sconnesso, dato che
Z = ((−∞, y) ∩ Z) ∪ ((y, +∞) ∩ Z),
con (−∞, y) ∩ Z e (y, +∞) ∩ Z sottoinsiemi aperti propri di Z e disgiunti.
Per l’iniettività di f esiste unico p ∈ R2 tale che f (p) = y; ma allora f (R2 \ {p}) = Z è sconnesso
mentre R2 \ {p} è connesso (infatti è connesso per archi): assurdo, poiché f è continua.
3. Ricordiamo che uno spazio topologico (X, T ) si dice totalmente sconnesso se tutti i sottoinsiemi di
X aventi cardinalità ≥ 2 sono sconnessi.
Verificare che ogni spazio topologico discreto (X, P(X)) è totalmente sconnesso.
Soluzione:
Siano Y ⊆ X e {y1 , y2 } ⊆ Y con y1 6= y2 . Poiché P(X) induce la topologia discreta su Y allora Y
è sconnesso.
4. Verificare che per ogni n ≥ 1 gli spazi topologici Rn ed S n sono connessi.
Soluzione:
Rn è connesso perché prodotto di n copie di R, che è connesso.
∼
=
Consideriamo la proiezione stereografica π : S n \ {N } −→ Rn , che è un omeomorfismo.
Questo implica che S n \ {N } è connesso, e poichè S n = S n \ {N } e la chiusura di un connesso è
connessa, segue la tesi.
5. Determinare (con un unico esempio) un insieme sconnesso C di uno spazio topologico (X, T ) tale
che gli insiemi F r(C), Int(C), Est(C), C, e D(C) siano connessi.
Soluzione:
Prendiamo ad esempio Q: è sconnesso perché totalmente sconnesso, inoltre F r(Q) = Q = D(Q) = R
che è connesso, ed inoltre Int(Q) = Est(Q) = ∅ connesso.
6. Siano T ed T 0 due topologie su X con T ≺ T 0 dire quali delle seguenti affermazioni è vera:
(i) (X, T ) connesso implica (X, T 0 ) connesso;
(ii) (X, T ) sconnesso implica (X, T 0 ) sconnesso.
Soluzione:
(i) L’affermazione è falsa.
Si consideri X = R, T = E e T 0 = P(R). Si ha che (R, E) è connesso, mentre (R, P(R)) è
sconnesso (una sconnessione è data da qualsivoglia coppia di sottoinsiemi propri non vuoti e
disgiunti).
(ii) L’affermazione è vera.
X è sconnesso rispetto a T quindi esistono A, B ⊂ X aperti (chiusi), disgiunti e non vuoti tali
che X = A ∪ B. Ora siccome T ≺ T 0 , si ha che A e B sono aperti (chiusi) anche rispetto a
T 0 e rimangono disgiunti; dunque rappresentano una sconnessione di X rispetto alla topologia
T 0.
7. Sia (X, T ) uno spazio topologico. Verificare che se (X, T ) è connesso allora ogni applicazione
continua da (X, T ) ad uno spazio topologico discreto (Y, P(Y )) è costante.
Soluzione:
Poiché Y ha la topologia discreta allora è totalmente sconnesso quindi gli unici sottoinsiemi connessi
sono i singoletti; se esistesse un’applicazione continua f : X → Y questa dovrebbe mandare connessi
in connessi, dunque X essendo connesso viene mandato in un singoletto. Questo implica che
l’applicazione deve essere costante.