Soluzioni - Roma Tre

Università degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica
Tutorato di GE220
A.A. 2013-2014 - Docente: Prof.ssa Lucia Caporaso
Tutore: Enrica Gonzalez
Soluzioni Tutorato 10 (6 Maggio 2014)
Preliminari:
• Uno spazio topologico X si dice semplicemente connesso se X è connesso per archi e ha gruppo
fondamentale ridotto al solo elemento neutro;
• Il gruppo fondamentale è invariante per equivalenza omotopica;
• Il gruppo fondamentale di uno spazio costituito da un solo punto è ovviamente ridotto al solo
elemento neutro, mentre diamo per buono che il gruppo fondamentale del cerchio S 1 sia non banale.
NOTAZIONE: Indicheremo I l’intervallo chiuso e limitato [0,1].
1. Dimostrare che uno spazio topologico X contraibile è connesso per archi.
Soluzione:
Poiché X è contraibile esiste una funzione f : X → X costante tale che f ' idX (esercizio 1
Tutorato 9). Sia p := f (x), ed F : X × I → X un’omotopia tra f ed idX . Dunque F è tale che
F (x, 0) = p ed F (x, 1) = x, per ogni x ∈ X; perciò fissato un elemento x ∈ X e al variare di t ∈ I,
α(t) := F (x, t) è un arco che congiunge p ed x. Come volevasi dimostrare.
2. Dimostrare che un sottospazio convesso X di Rn è contraibile. Dedurre che ha gruppo fondamentale
banale.
Soluzione:
Per dimostrare che X è contraibile sarà sufficiente far vedere che idX è omotopa ad un’applicazione
costante f : X → X. Sia f (x) = x0 per ogni x ∈ X; allora l’applicazione F : X × I → Rn definita
da F (x, t) := tx + (1 − t)x0 è un’applicazione continua la cui immagine è contenuta in X poiché X
è convesso; inoltre F (x, 0) = x0 ed F (x, 1) = x = idX (x) per ogni x ∈ X. Dunque F è un’omotopia
tra f ed idX , come volevasi dimostrare.
3. Siano x ed y punti di uno spazio topologico X. Dimostrare che le applicazioni costanti cx , cy : I → X
sono omotope se e solo se x ed y appartengono alla stessa componente connessa per archi.
Soluzione:
(⇒): Poiché cx e cy sono omotope esiste una funzione continua F : I × I → X tale che per ogni
s ∈ I si ha che F (s, 0) = x ed F (s, 1) = y, e consideriamo la funzione inclusione i : I → I × I
che associa t 7→ (0, t). Allora definiamo l’arco γ := F ◦ i (è composizione di funzione continue
quindi è continuo), e osserviamo che γ(0) = x e γ(1) = y; pertanto x ed y appartengono alla stessa
componente connessa per archi, come volevasi dimostrare.
(⇐): Viceversa, supponiamo che x ed y appartengono alla stessa componente connessa per archi;
allora esiste γ : I → X arco di punto iniziale x e punto finale y. Consideriamo la proiezione sul
secondo fattore p2 : I × I → I e definiamo F := γ ◦ p2 . Ovviamente F : I × I → X è una funzione
continua ed è tale che F (s, 0) = x ed F (s, 1) = y, ovvero è un’omotopia tra cx e cy , come volevasi
dimostare.
4. Si dia un esempio di spazio topologico X connesso per archi, omotopicamente equivalente ad S 1
ma non omeomorfo ad S 1 .
Soluzione:
Il piano bucato, R2 \ {p} è connesso per archi e omotopo a S 1 , ma non omeomorfo a S 1 poiché
R2 \ {p} non è compatto a differenza di S 1 .
5. Vero o falso? Se vero dare una breve giustificazione, se falso esibire un controesempio:
(a) Il quoziente di uno spazio topologico semplicemente connesso è semplicemente connesso.
(b) Uno spazio contraibile è semplicemente connesso.
(c) Se X ed Y sono spazi topologici semplicemente connessi con X ∩ Y 6= ∅, allora X ∪ Y è
semplicemente connesso.
Soluzione:
(a) FALSO. Infatti identificando i due estremi di I (semplicemente connesso) si ottiene uno spazio
omeomorfo ad S 1 (non semplicemente connesso).
(b) VERO. Infatti uno spazio contraibile è connesso per archi (esercizio 1), inoltre spazi omotopicamente equivalenti hanno gruppi fondamentali isomorfi dunque poiché il gruppo fondamentale
di un punto è banale si ha la tesi.
(c) FALSO. Ad esempio possiamo considerare X = S 1 \ {(1, 0)} e Y = S 1 \ {(−1, 0)}; essi sono
semplicemente connessi perché omeomorfi ad un intervallo aperto, la loro intersezione è non
vuota e la loro unione è S 1 che non è semplicemente connesso.
6. Sia X uno spazio topologico. Costruire un’equivalenza omotopica tra X e X × I; dare inoltre un
esempio di uno spazio topologico X tale che X e X × I non siano omeomorfi.
Soluzione:
Siano f : X → X × I che associa x 7→ (x, 0) e g : X × I → X che associa (x, s) 7→ x. Si
osserva immediatamente che g ◦ f = idX , e facciamo vedere che f ◦ g ' idX×I . Vogliamo costruire
un’omotopia F : X × I × I → X × I tale che F ((x, s, 0)) = (f ◦ g)(x, s) = (x, 0) e F ((x, s, 1)) =
idX×I (x, s) = (x, s). La definiamo nella maniera seguente: F ((x, s, t)) := (x, ts); cosı̀ definita, F è
continua ed ha le proprietà volute.
Un esempio in cui X ed X × I non siano omeomorfi è dato prendendo X = (a, b), a, b ∈ R: infatti
X \ {p} è sconnesso mentre (X × I) \ {p} no.
7. Siano X ed Y due spazi topologici omotopicamente equivalenti. Dimostrare che X è connesso per
archi se e solo se Y lo è.
Soluzione:
Mostriamo che se X ed Y sono omotopicamente equivalenti ed X è connesso per archi anche Y è
connesso per archi; il viceversa si fa in modo analogo. Per ipotesi esistono due funzioni continue
f : X → Y e g : Y → X tali che f ◦ g ' idY e g ◦ f ' idX ; allora presi y1 , y2 ∈ Y poiché X è
connesso per archi si ha che esiste α : I → X arco tale che α(0) = g(y1 ) e α(1) = g(y2 ).
Consideriamo F : Y ×I → Y tale che F (y, 0) = f (g(y)) e F (y, 1) = y; allora F (y, t)◦ ∗f ◦α ∗F (y2 , t)
(la notazione è quella usata nel libro ”Geometria 2”, Sernesi) è un arco in Y che congiunge y1 e y2 ,
come volevasi dimostare.