ELEMENTI DI LOGICA PROBABILISTICA
HYKEL HOSNI
Indice
1.
Introduzione
2
2.
La logica degli eventi
2
2.1.
Linguaggio, connettivi ed enunciati
3
2.1.1.
Connettivi proposizionali
4
2.1.2.
Gli enunciati di L
5
2.2.
La semantica proposizionale classica e i suoi principi
6
2.2.1.
Il significato semantico dei connettivi
6
2.2.2.
Composizionalità
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Date: 29 gennaio 2013.
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HYKEL HOSNI
1. Introduzione
La logica probabilistica può essere analizzata come la composizione di due
logiche: la logica degli eventi e quella dei gradi di convinzione. Il numero di logiche probabilistiche che ha senso considerare è dunque funzione
delle alternative interessanti che possiamo distinguere per le due logiche
componenti.
In tutte le principali variazioni sul tema, la logica degli eventi è composizionale e bivalente (oltre a essere noncontraddittoria e monotona). La logica
dei gradi di convinzione, invece, composizionale non è quasi mai. Lo diventa soltanto se aggiungiamo condizioni extra-logiche, come la richiesta che
la funzione di probabilità che rappresenta i gradi di convizione dell’agente
razionale, sia quella (unica) funzione che massimizza l’entropia.
La logica dei gradi di convinzione, chiaramente non è bivalente, se non sotto
condizioni molto specifiche. Il valore che assegnamo a un evento è un punto
nel segmento reale unitario. Dal momento che possiamo considerare gli
intervalli del segmento reale unitario, la restrizione a punti di probabilità
non è necessaria ad assicurare la buona definizione dei gradi di convinzione.
Il filone di ricerca, attualmente, molto attivo, che si occupa di studiare
la generalizzazione delle logiche probabilistiche a intervalli di probabilità
va sotto l’etichetta di teoria delle probabilità imprecise. La frontiera della
ricerca è quindi lo studio delle probabilità imprecise su logiche degli eventi
polivalenti.
Il nostro studio si concentrerà sulla logica probabilistica classica, ovvero una
logica che combina alla logica classica degli eventi la condizione di coerenza
definettiana.1
Il rapporto tra probabilità e logica è estremamente affascinante, ma molto
difficile da articolare in tutti i suoi dettagli. La complicazione principale
dipende dal fatto che la probabilità è essa stessa una forma di logica, nel
senso specifico della coerenza garantita dall’additività. Quindi la difficoltà
consiste nel distinguere e al tempo stesso correlare, il concetto di coerenza
dei gradi di verità con quello di consistenza logica degli eventi.
2. La logica degli eventi
1Questa non è certamente sufficiente per estendere il dominio agli eventi condizionti, che
richiedono una logica a tre valori. La conclusione generale è che una logica probabilistica
classica presuppone valutazioni parziali sugli eventi.
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2.1. Linguaggio, connettivi ed enunciati. Un linguaggio proposizionale L è un insieme non vuoto di lettere dette variabili proposizionali che
indichiamo con lettere minuscole dell’alfabeto p, q, r eccetera. Per i nostri
scopi sarà sufficiente considerare un numero finito di variabili proposizionali
e quindi linguaggi di cardinalità finita. A meno di dichiarazioni esplicite del
contrario assumeremo dunque che
L = {p1 , p2 , . . . , pn } .
Le variabili proposizionali in L costituiscono gli oggetti semantici fondamentali, ovvero le più piccole (in un senso che renderemo preciso in seguito)
espressioni dotate di ‘significato’ che possiamo incontrare. Intuitivamente possiamo pensare le variabili proposizionali come le più semplici entità
linguistiche per cui ha senso chiedersi se siano vere o false.
Esempio 2.1. Consideriamo l’espressione
(2.1)
3+2=6
È chiaramente sensato chiedersi se l’equazione (2.1) sia vera o falsa. La
stessa cosa, evidentemente, non si può dire a proposito dell’ espressione
(2.2)
3 + 2.
Osservazione 2.2 (Dominio di verità). Le variabili proposizionali in L
costituiscono, per ipotesi di modellazione, i portatori di verità. Quindi la
questione epistemologica di determinare quali siano tali portatori è risolta
in riferimento al senso intuitivo delle domande a cui ha senso rispondere
con un sı̀ o con un no. Questa è precisamente l’idea che sta alla base della
concezione di che cos’è un evento nella teoria di de Finetti. Questo giustifica
la centralità della seguente definizione.
Definizione 2.3 (Valutazioni proposizionali classiche). Una valutazione
proposizionale classica su L =
6 ∅ è una funzione
v : L −→ {0, 1}.
Indicheremo per brevità con V l’insieme di tutte le valutazioni su L.
Esempio 2.4. Dato L = {p, q}, V = {v1 , v2 , v3 , v4 }, dove
v1 (p) = 1; v1 (q) = 1
v2 (p) = 1; v2 (q) = 0
v3 (p) = 0; v3 (q) = 1
v4 (p) = 0; v4 (q) = 0
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Esercizio 1.
(1) Dato L = {p, q, r}, descrivere l’insieme di tutte le
valutazioni su L.
(2) Dato L = {p1 , p2 , . . . , , pn } qual è la cardinalità di V??
2.1.1. Connettivi proposizionali. Una caratteristica centrale della logica degli eventi che vogliamo sviluppare consiste nel suo aspetto algebrico, quello
che ci permette di rispondere a una domanda molto naturale:
Dato un insieme di eventi, quali sono le operazioni che possiamo applicare per generare “eventi composti” a partire da
eventi “più semplici”?
Prima di affrontare la questione in ambito probabilistico, è utile considerala
dal punto di vista puramente logico. Quindi la domanda che ci poniamo è
la seguente: dato un linguaggio proposizionale L, quali sono le operazioni
che possiamo definire su tale insieme di variabili proposizionali per generare
nuove espressioni dotate di significato di cui, cioé ha senso chiedersi se sono
vere o false?
Digressione 2.5 (Domande ben poste e domande effettivamente decidibili). È importante insistere sulla sensatezza della domanda, piuttosto che
sull’effettiva capacità che abbiamo di dare una risposta. Il problema di determinare se in linea di principio sia possibile rispondere (in tempo finito)
alla domanda circa la verità di un dato enunciato è un esempio di problema di decisione. Lo studio dei problemi di decisione e della difficoltà di
fornire eventuali risposte costituisce una parte fondamentale di quell’area
della logica matematica che va sotto il nome di teoria della computabilità o
calcolabilità.
Le operazioni con cui costruiamo epressioni proposizionali ‘complesse’ a partire dalle variabili proposizionali sono tradizionalmente chiamati connettivi
proposizionali. Per larga parte di ciò che seguirà presteremo particolare
attenzione al seguente insieme di connettivi:
C = {¬, ∧, ∨, →} ,
dove
¬
∧
∨
→
denota
denota
denota
denota
la negazione (approssimativamente “non”)
la congiunzione (approssimativamente “e”)
la disgiunzione (approssimativamente “o”)
l’implicazione (approssimativamente “se ... allora”).
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Un secondo di riflessione ci fa notare che la negazione è, tra i connettivi
elencati, l’unico unario, cioè l’unico a richiedere un solo argomento. Gli
altri sono ovvviamente binari.
Passiamo invece immediatamente a mostrare come possiamo costruire gli
enunciati di un linguaggio a partire dalle variabili proposizionali per applicazione dei connettivi.
2.1.2. Gli enunciati di L.
Definizione 2.6 (Enunciati di L). Fissato il linguaggio proposizionale L
possiamo definire ricorsivamente l’insieme EL degli enunciati del linguaggio
L utilizzando i connettivi in C:
EL0 = L
ELn+1 = ELn ∪ {¬θ, (θ ∗ ϕ) | θ, ϕ ∈ ELn , ∗ ∈ {∧, ∨, →}}
[
EL =
ELn .
n∈N
Questa definizione ci fornisce un modo rigoroso, anche se forse a prima
vista un po’ complicato, per descrivere il meccanismo di costruzione degli
enunciati complessi a partire da enunciati più ssemplici, e in ultima analisi
dagli elementi di L.
Per la definizione 2.6, le variabili proposizionali sono enunciati. In virtù del
ruolo che giocano nella costruzione dell’insieme EL, talvolta chiamiamo le
variabili proposizionali enunciati atomici per distinguerle da tutti gli altri
enunciati.
Esempio 2.7. Supponiamo che p, q ∈ L e p stia per “Alain Delon si è rifiutato”, mentre q stia per “Mastroianni ha girato Il Bell’Antonio”. Possiamo
rappresentare l’enunciato
Se Alain Delon non avesse rifiutato, Mastroianni non avrebbe
girato Il Bell’Antonio
mediante l’enunciato
θ = (¬p → ¬q),
dove θ ∈ EL2 .
Useremo lettere greche minuscole θ, ϕ, ψ, ecc. per gli elementi di EL, mentre
useremo le maiuscole Γ, ∆, ω per i sottoinsiemi di EL. Quindi θ, ϕ ∈ EL e
Γ = {θ, ϕ} ⊆ EL.
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(p ∧ q) ∨ ¬q ¬¬p
EL2
p∧q
EL1
q
p
L
¬p
Figura 1. Possiamo immaginare l’insieme di enunciati come a
una serie di cerchi concentrici al cui centro, che nella definizione denotiamo con EL0 , troviamo le variabili proposizionali in L.
Abbiamo due modi per passare al livello immediatamente successivo. Possiamo prendere un p ∈ EL0 e applicargli una volta la
negazione. Il risultato ¬p apparterrà al ‘cerchio’ EL1 . Alternativamente avremmo potuto prendere due variabili proposizionali in
L, per esempio p, q e mediante un’applicazione di uno qualsiasi dei
connettivi binari, avremmo ottenuto un enunciato in EL1 , diciamo
(p ∧ q). E cosı̀ via . . .
Osservazione 2.8. Un risultato estremamente intuitivo ma un po’ tedioso
da dimostrare nel dettaglio ci garantisce che ogni θ ∈ EL è scomponibile in
modo univoco. Apprezzeremo più avanti l’importanza di questa condizione
di adeguatezza sintattica del calcolo proposizionale.
Osservazione 2.9. Eliminazione delle parentesi.
2.2. La semantica proposizionale classica e i suoi principi.
2.2.1. Il significato semantico dei connettivi. Dato un linguaggio L possiamo definire le condizioni di verità espresse dai connettivi in C mediante
le cosiddette tavole di verità. L’idea è quella di considerare tutte le valutazioni possibili su L (colonna di sinistra) e di riportare nella colonna di
destra il valore di verità dell’enunciato ottenunto componendo le variabili
proposizionali mediante i connettivi in C.
Fissiamo L = {p, q} e definiamo il significato semantico dei connettivi
attraverso la tavola di verità riportata nella tabella 1.
Esercizio 2. Scrivere la tavola di verità per la disgiunzione esclusiva
Pur avendo definito le valutazioni proposizionali classiche soltanto sull’insieme delle variabili proposizionali, siamo generalmente interessati a conoscere
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p q ¬p p ∧ q p ∨ q p → q
1 1 0
1
1
1
0
1
0
1 0 0
0 1 1
0
1
1
0
0
1
0 0 1
Tabella 1. Definizione dei connettivi in C
i valori di verità degli enunciati (non atomici). Possiamo però mostrare facilmente come le valutazioni proposizionali si estendano in modo univoco a
tutto EL.
Lemma 2.10. Le valutazioni v : L → 2 si estendono univocamente a EL.
Dimostrazione. Esercizio.
Esercizio 3. Immaginate un lungo corridoio con due interruttori per la luce
posti alle due estremità, diciamo destra e sinistra. Poniamo:
• p: l’interruttore di destra è sollevato
• q: l’interruttore di sinistra è sollevato
• r: la luce è accesa
Costruire θ ∈ EL, con L = {p, q, r}, che in questa interpretazione esprima il
fatto che la luce è accesa esattamente quando i due interruttori sono nella
medesima posizione.
Osservazione 2.11. Le tavole di verità ci permettono di definire il significato dei connettivi proposizionali in modo esplicito. Un secondo di riflessione
è sufficiente a rendere conto delle seguenti osservazioni:
(1) affinché il metodo sia applicabile è necessario che la cardinalità del
linguaggio e quella dei “valori di verità” siano finite
(2) il metodo è pratico solo per cardinalità piccole.
2.2.2. Composizionalità.
Principio 2.12 (Composizionalità binaria). Per ogni v ∈ V, θ ∈ ELn+1 ,
ϕ1 , ϕ2 ∈ ELn e ∗ ∈ {∧, ∨, →}
v(θ) = f∗ (v(ϕ1 ), v(ϕn )),
dove f : 2 × 2 → 2 è una funzione fissata.
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Esempio 2.13. Siano L = {p, q}, θ = (p ∧ q). Il Principio di composizionalità richiede l’esistenza di una f : 2 × 2 → 2 tale che
(
1, se v(p) = v(q) = 1;
(2.3)
v(θ) = f∧ (v(p), v(q)) =
0, altrimenti.
La funzione f∧ (p, q) = min{v(p), v(q)} chiaramente soddisfa la condizione
espressa dalla (2.3).
È immediato osservare come la caratterizzazione del Principio di composizionalità usi anche se implicitamente la proprietà di scomposizione univoca
a cui si è fatto informalmente riferimento nell’Osservazione 2.8.
Esercizio 4. Definire almeno un’altra funzione f∧ (p, q) che soddisfi la condizione (2.3).
Esercizio 5.
(1) Esprimere una condizione analoga a (2.3) per ∨ e →;
(2) definire opportune f∨ (·, ·), f→ (·, ·).
Esercizio 6. Il Principio (2.12) è dato per connettivi binari. Cosa possiamo
dire per i connettivi unari?
Osservazione 2.14. Il principio di composizionalità è strettamente collegato al concetto di estensionalità che gioca un ruolo fondamentale nella teoria
degli insiemi e in filosofia della matematica. Nella teoria degli insiemi è
catturato dal cosiddetto assioma o principio di comprensione che, intuitivamente, dice che due insiemi sono lo stesso insieme quando hanno gli stessi
elementi. In filosofia della matematica una difesa dell’importanza centrale
del concetto di estensionalità e quindi del rifiuto del suo opposto (intensionalità) è dovuta a Quine che la sintetizza nel celebre slogan no entity without
identity.
La riflessione filosofica sul concetto di estensionalità affonda le radici sicuramente fino a Leibniz e alla sua concettualizzazione dell’identità degli
indiscernibili.
