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M.Balconi e R.Fontana, Dispense di Economia:
3) Equilibrio del consumatore
La scelta di equilibrio del consumatore
Integrazione del Cap. 21 del testo di Mankiw1
Parte 1
Il vincolo di bilancio
Supponiamo che il reddito di un consumatore sia dato e pari a I e che siano dati
i prezzi pa e pb dei beni a e b.
L’equazione di bilancio mostra le combinazioni di a e b che il consumatore può
comprare essendo dati il suo reddito e i prezzi:
pa xa + pb xb = I
(1)
Si osservi la fig. 21.1 del testo, dove a e b sono birre e pizze. La retta
rappresenta l’equazione di bilancio.
Dall’equazione (1) otteniamo:
xa =
pb
I
xb
pa
pa
che rappresenta una retta con intercetta verticale
pb
I
e inclinazione pa
pa
.
L’intercetta verticale rappresenta quante unità del bene a il consumatore può
consumare qualora spenda tutto il suo reddito per acquistare tale bene. Ovviamente
se il consumatore comprasse solo il bene b, ne potrebbe acquistare un numero di
unità pari a xb =
I
, ossia il livello rappresentato dall’intercetta orizzontale.
pb
L’inclinazione della retta di bilancio rappresenta il prezzo relativo di b in termini
di a.
Se il nostro consumatore con il suo vincolo di bilancio e partendo da una
qualsiasi suddivisione dei suoi acquisti tra a e b decidesse di acquistare una unità di
b in più, a quante unità di a dovrebbe rinunciare?
Deve valere la seguente equazione:
Δ xb pb = −Δ xa pa
Δ xa = − Δ xb
pb
pa
da cui:
1
La seconda parte di queste note è ripresa dalle dispense scritte daValeria Gattai.
1
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3) Equilibrio del consumatore
Δ xa
Δ xb
dove
Δ xa
Δ xb
=−
pb
pa
è un numero negativo. Per comodità si è soliti considerare i valori
assoluti.
Si dice che l’inclinazione della retta di bilancio, il prezzo relativo di b in termini di
a, rappresenta il costo opportunità di b in termini di a (ossia il numero di unità di a
alle quali si deve rinunciare per comprare un’unità di b).
La scelta di equilibrio del consumatore
Il postulato della sostituibilità marginale decrescente afferma che tanto
maggiore è, proporzionalmente agli altri, la quantità di un bene consumata, tanto
minore è la quantità degli altri beni necessaria a compensare, dal punto di vista
dell’utilità, la diminuzione di quel bene.
Supponiamo per semplicità che il consumatore abbia la possibilità di scegliere
tra due soli beni di consumo.
Chiamiamo saggio marginale di sostituzione (SMS) del bene b col bene a il
numero di unità di a per unità di b necessarie a compensare la rinuncia al consumo
di una piccola quantità di b.
SMSab =
Δx a
Δx b
Il SMS è rappresentato graficamente dall’inclinazione delle curve di indifferenza
(si veda la figura sul testo) in ogni punto. La convessità verso il basso delle curve
esprime il fatto che quanto più è scarsa la quantità posseduta di un bene (b)
relativamente all'altro bene (a), tanto maggiore è la quantità del secondo che il
consumatore scambia con un'unità del primo, mantenendo la stessa utilità (e
viceversa).
Formalmente, tanto più basso è xb tanto più alto è il valore di
Δx a
Δx b
e viceversa.
E’ chiaro che il SMS corrisponde ad un numero negativo. Di nuovo, per comodità si è
soliti considerare il suo valore assoluto o addirittura definire il SMS come l’opposto
dell’inclinazione della curva d’indifferenza.
Per ogni punto della retta di bilancio (come per ogni punto del piano) passa una
ed una sola curva di indifferenza.
Il consumatore tenterà di determinare quella combinazione di a e b che rende
massima la sua utilità, dato il vincolo di bilancio rappresentato dal suo reddito I.
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3) Equilibrio del consumatore
L’utilità è massima per quel punto della retta di bilancio in cui la curva di
indifferenza è tangente alla retta stessa: in tutti gli altri punti in cui la curva di
indifferenza è secante, è possibile aumentare l’utilità spostandosi verso sinistra o
verso destra.
Quindi nel ripartire il suo bilancio tra i beni, il consumatore sceglierà la
combinazione sulla linea di bilancio per cui il SMS (in valore assoluto) tra i due beni
è:
SMS =
pb
Δ xa
=
pa
Δ xb
.
Ossia il SMS del bene b col bene a è uguale al prezzo relativo di b in termini di a.
In altri termini, in corrispondenza della scelta ottima, il rapporto di scambio tra i due
beni che consente al consumatore di mantenere invariata la propria soddisfazione è
lo stesso rapporto di scambio che esiste sul mercato.
3
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3) Equilibrio del consumatore
Parte 2
Rappresentazione analitica delle preferenze e calcolo delle quantità di
equilibrio
1. Le preferenze: caso generale e casi particolari
Le preferenze del consumatore determinano la particolare configurazione della
mappa d’indifferenza.
Caso generale
Curve d’indifferenza convesse, con saggio marginale di sostituzione decrescente,
rappresentano il caso più generale.
Analiticamente esistono numerose funzioni di utilità compatibili con il caso generale
ma, per semplicità, concentreremo la nostra attenzione sulle sole Cobb Douglas,
come evidenziato in Figura 1.
Fig.1: CASO GENERALE
Mappa d’indifferenza
Funzione di utilità (Cobb Douglas)
y
U(x,y) = xa yb con a > 0, b > 0
per a=1 e b=1
U(x,y) = x y
O
SMSy,x =
x
Se a ≠ 1 e b ≠ 1 −−> SMSy,x =
MU x a y
=
MU y b x
MU x
y
=
MU y x
(ciò si può facilmente dimostrare
calcolando le derivate parziali della U rispetto a x e a y).
SMS decrescente lungo la curva di indifferenza (al crescere di X e al diminuire di Y)
4
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3) Equilibrio del consumatore
Casi particolari
ƒ
Perfetti complementi
I perfetti complementi sono beni sempre consumati insieme, secondo proporzioni
fisse (non necessariamente uguali a 1).
La Fig. 2 traduce in termini grafici ed analitici il principio sottostante questo tipo di
preferenze:
Fig.2: PERFETTI COMPLEMENTI
Mappa d’indifferenza
Funzione di utilità (“a gomito”)
U(x,y) = min {ax, by }
y
y=
a
x
b
con a > 0, b > 0 che indicano il contributo
di un’unità di x e y, all’utilità dell’individuo e
quindi la proporzione in cui x e y devono
essere consumati insieme per contribuire
in ugual modo all’utilità dell’individuo.
Se ax = by
O
y =
x
a
x , equazione della retta uscente
b
dall’origine che unisce i vertici dei gomiti
SMSy,x
ƒ
= 0 sul tratto orizzontale
→ ∞ sul tratto verticale
non definito nei punti angolosi
Perfetti sostituti
I perfetti sostituti sono beni che il consumatore è disposto a sostituire l’uno con l’atro
secondo un rapporto fisso (non necessariamente uguale ad 1).
Ne segue un saggio marginale di sostituzione costante e, pertanto, una mappa
d’indifferenza costituita da rette parallele, con pendenza pari all’opposto dell’SMS
(cfr. Fig.3).
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3) Equilibrio del consumatore
Fig.3: PERFETTI SOSTITUTI
Mappa d’indifferenza
y
Funzione d’utilità (lineare)
y
U(x,y) = ax + by con a > 0 e b >0
SMSy,x =
MU x
a
=
MU y
b
Pendenza – a/b
x
x
O
2. Ancora su equilibrio del consumatore
Trovare l’equilibrio del consumatore vuol dire mettere insieme le informazioni
riassunte nelle curve d’indifferenza con quelle contenute nel vincolo di bilancio.
Come già visto sopra, gli individui cercano di “massimizzare la propria utilità sotto il
vincolo di bilancio”, ovvero di raggiungere l’utilità più alta entro i limiti dettati dal
reddito e dai prezzi correnti.
Come si traduce tutto questo in termini grafici ed analitici?
Graficamente il problema è semplice: indipendentemente dal tipo di preferenze in
esame si tratta di identificare la curva d’indifferenza più lontana dall’origine, tra quelle
che toccano il vincolo di bilancio: il punto di “contatto” è l’equilibrio del consumatore.
Analiticamente bisogna prestare maggiore attenzione dal momento che tale punto
viene calcolato in modo diverso a seconda che le preferenze siano del tipo generale,
o rientrino nei casi particolari di perfetti complementi o perfetti sostituti.
Esamineremo, nelle Figure 4, 5 e 6, queste tre situazioni identificando - graficamente
ed analiticamente - l’equilibrio del consumatore.
Alcuni esempi numerici ci aiuteranno a comprendere, con maggior precisione, le
strategie risolutive, in relazione al tipo di preferenze in esame.
6
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3) Equilibrio del consumatore
Fig.4: L’EQUILIBRIO NEL CASO GENERALE
La curva d’indifferenza più esterna, tra quelle che toccano il vincolo di bilancio, è la tangente.
Per trovare l’equilibrio impongo, dunque, la condizione di tangenza :
Graficamente
Analiticamente
y
SMSy,x =
px
py
I = px x + py y
E
y*
x
O
x*
Esempio
Sapendo che un individuo ha funzione di utilità del tipo U (x,y) = x y e che I = 10, px = 1, py = 2,
trovare l’equilibrio del consumatore
Dalla funzione di utilità capisco che l’individuo ha preferenze di tipo Cobb Douglas e che, dunque,
per calcolare l’equilibrio devo impostare un sistema analogo a quello descritto poco sopra,
inserendo i dati del problema:
y
1
=
x
2
10 = x + 2y
y=
1
x
2
1
x
2
10 = 2 x
y=
1
10 = x + 2 x
2
7
x* = 5
Eq.
y* = 2.5
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3) Equilibrio del consumatore
Fig.5: L’EQUILIBRIO CON I PERFETTI COMPLEMENTI
La curva d’indifferenza più esterna, tra quelle che toccano il vincolo di bilancio, è quella
avente il gomito sul punto d’intersezione tra il VDB e la retta uscente dall’origine. Per trovare
l’equilibrio:
Graficamente
Analiticamente
y
a
x (retta uscente dall’origine)
b
I = px x + py y (vincolo di bilancio)
y=
E
y*
O
x
x*
Esempio
Sapendo che un individuo consuma sempre 1x con 2 y, ovvero ha funzione di utilità del tipo
U(x,y) = min {1x,(1/2)y} e che I = 10, px = 1, py = 2, trovare l’equilibrio del consumatore.
Dalla funzione di utilità capisco che l’individuo ha preferenze di tipo perfetti complementi e che,
dunque, per calcolare l’equilibrio devo impostare un sistema analogo a quello descritto poco
sopra, inserendo i dati del problema:
y = 2x
y =2 x
x* = 2
y = 2x
Eq.
10 = x + 2y
10 = x + 4x
10 = 5x
8
y* = 4
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3) Equilibrio del consumatore
Fig.6: L’EQUILIBRIO CON I PERFETTI SOSTITUTI
Nel caso dei perfetti sostituti, per identificare la curva d’indifferenza più esterna, occorre
distinguere fra tre situazioni, confrontando la pendenza delle curve d’indifferenza (pari
all’opposto dell’SMS) con quella del vincolo di bilancio (pari all’opposto del rapporto tra i
prezzi). La nostra analisi si risolverà, pertanto, nel confronto tra SMS e rapporto tra i prezzi :
Graficamente
Analiticamente
y
SMSy,x <
px
py
E
Le curve d’indifferenza sono meno
inclinate del vincolo di bilancio.
O
Equilibrio (0,y*) nell’intercetta
verticale del vincolo di bilancio:
l’individuo consuma solo il bene y.
x
y
SMSy,x >
px
py
Le curve d’indifferenza sono più
inclinate del vincolo di bilancio.
Mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
x
O
E
Equilibrio (x*,0) nell’intercetta
orizzontale del vincolo di bilancio:
l’individuo consuma solo il bene x.
y
E
p
SMSy,x = x
py
Infinite soluzioni
Le curve d’indifferenza hanno la
stessa inclinazione del vincolo di
bilancio che risulta, pertanto,
sovrapposto ad una di esse.
x
O
L’individuo è indifferente riguardo al
consumo di un qualsiasi paniere
appartenente al vincolo di bilancio
(0<x*<I/px; 0<y*<I/py) laddove I/px e
I/py rappresentano rispettivamente
l’intercetta orizzontale e verticale
del vincolo.
9
S
O
L
U
Z
I
O
N
E
D’
A
N
G
O
L
O
I
N
F
I
N
I
T
E
S
O
L
U
Z
I
O
N
I
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3) Equilibrio del consumatore
Esempio
Sapendo che un individuo ha funzione di utilità del tipo U(x,y) = 2x +3y e che I = 10,
px = 1, py = 2, trovare l’equilibrio del consumatore.
Dalla funzione di utilità capisco che l’individuo ha preferenze di tipo perfetti sostituti e
che, dunque, per calcolare l’equilibrio, devo confrontare SMS e px/py, sulla base dei dati
del problema.
ƒ
SMSy,x =
ƒ
px 1
=
py 2
→
2
3
SMSy,x >
px
py
→ Equilibrio nell’intercetta orizzontale del vincolo di bilancio (10,0)
10