Limiti notevoli di funzioni - Esercizi risolti

ESERCIZI RISOLTI SU CALCOLO DI LIMITI DI FUNZIONI
MEDIANTE LIMITI NOTEVOLI
Si farà riferimento ai seguenti limiti notevoli:
→
=
,
→
→
=
,
→
(
)
=
,
→
=
,
→
+
(
)
=
=
,
( k∈ℝ )
Gli esercizi sotto risolti non sono (volutamente) in ordine crescente di difficoltà.
√
1) lim
→
2) lim
→ /
=
√
= lim
=
→
∙
√
=1∙
√
= +∞
− = , da cui
poniamo
= +
e t →0 nel limite dato;
pertanto siamo ricondotti a calcolare
lim
= lim
→
3) lim
=1
→
4) lim →
√
= lim
= = lim
1
= lim
= lim
→
1 (1+ )2 −1
→0 4
1
=
→
1+
→
(
= lim
)
1+
= e3
=
→
1 1 1
→
1
=4∙2∙1 =8
4
4
5) lim
→
= = lim
5’) lim
→
(
→
≠ 0) =
= lim
= 1∙ =
→
Tale limite generalizza il precedente e sarà calcolato
non utilizzando la formula di duplicazione del seno per riprodurre la situazione di un limite notevole, ma con trasformazioni più generali (anche se un po’ più laboriose); si può scriverlo infatti
lim
lim
→
→
−1
= lim
→
1
1
= lim
= 1∙1∙1∙
1
=
1
→
=
6) lim
lim
(
)
→
= = lim
ln(1 + )
1
1
= 1∙
1−
→
7) lim
=−
= = lim
→
(
)
[
→ –(
(
= lim
→
)
=
→
1
∙ ∞=∞
1
2
(
)]
[
= lim
)
)(
(
→
(
= lim
→
)]
)
(
)
=1∙ −
1
2
8) lim
= lim
(
)
9) lim
ln 1 +
→
(
→
10) lim
= lim
→0
11) lim
1
=
1
= lim
→
=
(
)
=
→
)
−1
=2 5
(2 ln 5)
= = lim
→
−1
)
→
= 1∙1∙
= = lim
= lim 2 ln 5
(
= = lim
→
→
= lim
→
→
−
=
−
−1
= 1+1=2
−
+
=
→
poniamo x -1 = t , da cui x = t + 1 e t→0 nel limite dato; siamo per-
tanto ricondotti a calcolare
lim
= lim
→
12) lim
→
∙
→
(1 + 2 ) = 1
= lim
lim 1 +
1
= lim
→
1+
1
→
Poniamo
pertanto ricondotti a calcolare
→
=
=
−
=−
= , da cui
=
, t→∞ nel limite dato; siamo
13) lim
= 1 = lim
→
∙
= lim
1+
14) lim
→
→
= lim
→
15) lim
= lim
→
1
+1
2
√
∙
(
→
ln[1 + (
= lim
⎡
= lim ⎢⎢ 1 +
→
⎢
⎣
= = lim
2∙
1+
→
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
1
+1
2
= lim
→
1+
→
=
=
=
→
= ∙ =
)
= = lim
[
→
− 1)]
1−
∙ −
−1
(
)]
∙
=
=1∙ −
1
1
=−
2
2
Prof. Francesco Camia
Docente di Matematica e Fisica
presso i Licei “Colombini” di Piacenza