Probabilita - Politecnico di Bari

Prof. Ing. Michele Marra - Appunti delle Lezioni di Calcolo delle Probabilità e Statistica
CAPITOLO I
1. - Calcolo delle probabilità
Le situazioni decisionali nelle quali interviene un elemento aleatorio, ovvero
i giochi strategici contro un avversario indifferente, ad esempio la natura, si affrontano con modelli che utilizzano alcuni dei principi del Calcolo delle Probabilità che si
richiamano nel seguito.
1.1 - Definizioni
La probabilità può essere considerarata una misura del caso. Un evento impossibile ha probabilità zero di verificarsi, un evento certo ha probabilità uno; la probabilità quindi viene espressa con un numero compreso fra zero ed uno. In generale, la
probabilità che si verifichi un evento specifico A viene indicata con P(A) e si definisce
in termini matematici come rapporto fra il numero delle volte in cui l'evento che si
aspetta si verifica con la modalità A ed il numero dei risultati possibili N:
P(A) =
n
N
Esempio 1.1.1: Trovare la probabilità di estrarre un asso da un mazzo di carte
P(asso) =
4
1
=
40 10
Esempio 1.1.2: Trovare la probabilità di estrarre un asso di denari da un mazzo di
carte
P(asso di denari ) =
1
40
Quando la probabilità che si verifichi un evento è desunta unicamente dalla definizione matematica del sistema (come nei casi precedenti), tale probabilità è detta a priori. Questo tipo di probabilità è chiaramente una probabilità matematica ed implica
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un postulato implicito: quello di equiprobabilità di eventi circa i quali non
si disponga di informazioni specifiche.
Si noti tuttavia che occorre usare la probabilità matematica con cautela, pena il pervenire a risultati assurdi.
Esempio 1.1.3: Le strutture metalliche si realizzano in acciaio, leghe alluminose, titanio; qual'è la probabilità che il terzo capannone a sinistra della fiera di Milano abbia
una struttura in titanio?
La risposta basata sulla probabilità matematica porterebbe a
p(titanio) = 1/3
È ovvio come non sia realistico in questo caso affidarsi al postulato di equiprobabilità.
Nelle situazioni reali vi possono quindi essere fattori che precludano l'uso di questo
postulato. In tal caso si arriva al valore delle probabilità attraverso una serie di dati
accumulati con l'esperienza, ed essa assume il nome di probabilità empirica.
Esempio 1.1.4: Una cassa contiene dadi esagonali ed ottagonali. Eseguite 30 estrazioni si sono ottenuti 20 dadi esagonali e 10 ottagonali; determinare la probabilità di
estrarre un dado esagonale o un ottagonale.
P(dado esagonale) = 20/30 = 0,66
P(dado ottagonale) = 10/30 = 0,33
Introduciamo ora un altro tipo di probabilità.
1.2. – Probabilità condizionata.
La probabilità che un evento B si verifichi, avendo constatato che un altro evento
A si è verificato si indica con P(B|A) ed è una probabilità condizionata: Se gli
eventi A e B sono indipendenti, allora sarà P(B A) = P(B) e la probabilità di B sarà una probabilità assoluta, ovvero non più condizionata dal verificarsi di A.
La tabella 1. illustra il concetto di probabilità condizionata nel caso di due soli eventi A e B. Il verificarsi dell'evento A è indicato con A e il non verificarsi dell'evento
~
A è indicato con A . Identicamente vale per l'evento B. Il numero di casi favorevoli al
verificarsi del solo evento A è nA, dell'evento B è nB; il numero dei casi favorevoli al
verificarsi degli eventi A e B insieme è n AB, ed il numero dei casi non favorevoli nè
ad A nè a B è n. Il numero totale degli eventi possibili è:
n + nA + nB + nAB = N
Categoria
A
~
A
Somma
B
~
B
nAB
nB
nAB+nB
nA
n
nA+n
Somma
nAB+nA
nB+n
N
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Dalla definizione di probabilità di un evento definita come numero di casi favorevoli
al verificarsi di quell'evento diviso per il numero degli eventi possibili, si possono
ricavare le seguenti probabilità:
n + nA
Probabilità di A,
P(A) = AB
N
n AB + n B
Probabilità di B
P(B) =
N
n
Probabilità di A e B
P(AB) = AB
N
Probabilità condizionata di A se si è verificato B,
n AB
P(A | B) =
n AB + n B
Probabilità condizionata di B se si è verificato A,
n AB
P(B | A) =
n AB + n A
Generalmente le valutazioni nell'ingegneria o nella fisica sono basate su una combinazione di probabilità.
1.3. - Combinazioni di probabilità.
Si abbrevia la valutazione probabilistica in situazioni complesse ricorrendo ad alcune
regole:
1.3.1. – Probabilità di due eventi simultanei.
La probabilità che si verifichino simultaneamente due eventi A e B è uguale al
prodotto della probabilità del primo evento per la probabilità del secondo quando
il primo si è già verificato.
P(A e B) = P(AB) = P(A) * P1 (B) con P1(B) = P(B A)
dove P1(B) è uguale alla probabilità del secondo evento quando il primo si è già
verificato.
Se i due eventi sono indipendenti, cioè se la probabilità del secondo evento non cambia
in dipendenza del verificarsi o meno del primo
P(A e B) = P(AB) = P(A) * P(B)
Questa regola può essere estesa al caso di n eventi.
1.3.2. – Probabilità di più eventi simultanei.
La probabilità che si verifichino simultaneamente n eventi Gi con i=1,n è
uguale al prodotto della probabilità del primo evento per la probabilità del se-
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condo quando il primo si è già verificato, per la probabilità del terzo quando il
primo ed il secondo si sono già verificati ecc.
P(G1 e G2 e....e Gn ) = P(G 1) * P (G2 G1 ) *……*P(Gn Gn-1)
Se gli n eventi sono indipendenti
P(G1 e G2 e e Gn ) = P(G1 ) * P(G2 ) *
* P(Gn )
Esempio 1.3.2.5: Qual'è la probabilità di pescare 2 assi in un mazzo di 40 carte?
P(asso e asso) = P(primo asso) * P(secondo asso| primo asso) =
P(asso e asso) =
4 3 1 1
1
= 0,00769
=
=
40 39 10 13 130
Esempio 1.3.2.6: Se la probabilità che in una macchina si verifichi una avaria
meccanica è del 30% e una avaria elettrica è dell'8%, qual'è la probabilità che
si verifichino ambedue le avarie?
Supponendo le avarie elettriche indipendenti da quelle meccaniche si ha:
P(A e B)= P(AB) = P(A) P(B) = (30/100) (8/100) = 2,4%
Esempio 1.3.2.7: Date due casse contenenti ciascuna 50 dadi esagonali e 30 dadi
ottagonali, trovare la probabilità di estrarre due dadi esagonali con una sola estrazione per cassa.
P(A e B)= P( AB) = P( A ) * P( B) =
50 50 2500
=
= 39,6%
80 80 6400
Esempio 1.3.2.8: Qual'è la probabilità di ottenere due sei lanciando un dado due
volte?
Il dado è un oggetto senza memoria; il secondo evento è indipendente dal primo.
P ( 6 e 6) =
1 1
1
=
6 6 36
Esempio 1.3.2.9: Una scatola contiene 25 pezzi, 10 dei quali sono difettosi. Due pezzi sono estratti a caso dalla scatola. Qual'è la probabilità:
a) che entrambi siano buoni?
b) che entrambi siano difettosi?
a) Sia E l'evento "il primo pezzo estratto è buono" ed F l'evento "il secondo pezzo estratto è buono; EF è allora l'evento "entrambi i pezzi sono buoni", quindi:
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P(E e F)= P(EF) = P(E) * P(F E) = 15/25 * 14/24 =7/20
b) Con procedimento simile si trova che la probabilità di avere entrambi i pezzi difettosi è
10/25 * 9/24 = 3/20,
1.4. - Teorema dell'addizione
Nell'applicazione della teoria spesso è necessario considerare più eventi definiti
nello stesso campo di probabilità; per semplicità consideriamo in un primo momento
due soli eventi di tal genere, A e B, associati ad un certo esperimento ed analizziamo il caso in cui almeno uno di essi si verifichi. Ciò equivale a determinare la probabilità dell'evento somma (A+B) ed a questo proposito dobbiamo distinguere il caso
in cui i due eventi siano incompatibili dal caso in cui non lo siano.
1.4.1. – Probabilità di eventi mutuamente esclusivi.
Se A e B sono eventi mutuamente esclusivi la probabilità che si verifichi l'uno o l'altro dei due eventi è uguale alla somma delle singole probabilità.
P(A o B) = P(A) + P(B)
Con mutuamente esclusivi si intendono eventi che non possono verificarsi insieme, ossia tali che P(AB) = 0.
Esempio 1.4.1.1: Una macchina ha il 30% di probabilità di subire una avaria meccanica ed il 20% di probabilità di subire una avaria elettrica. Tenuto conto del fatto
che essa è fornita di una serie di apparecchiature di controllo che escludono il
verificarsi contemporaneo di entrambi i tipi di avaria, trovare la probabilità che essa ha di arrestarsi.
P(A o B) =
20
30
50
= 0,5
+
=
100 100 100
Esempio 1.4.1.2: Una scatola contiene 25 pezzi, 10 dei quali sono difettosi. Se ne estraggono 2 pezzi. Gli eventi che possono verificarsi sono i seguenti:
E1
= i pezzi sono entrambi buoni;
E2
= i pezzi sono entrambi difettosi;
E3
= l'uno è buono e l'altro difettoso.
Trovare la probabilità che si verifichi uno qualunque di questi eventi.
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P(E1 o E2 o E3 ) = P(E1) + P(E2) + P(E3) = 7/20 + 3/20 +..+1/4 = 0,75
Esempio 1.4.1.3: Le 10 cifre 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 sono scritte in ordine casuale. Si trovi la probabilità che le cifre 3 e 4 siano adiacenti.
Le modalità con le quali può manifestarsi l'evento "3 e 4 adiacenti"
sono le seguenti:
E1
E2
E3
E4
E5
E6
E7
E8
E9
E10
E11
E12
E13
E14
E15
E16
E17
E18
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
3 4 X X X X X X X X
X 3 4 X X X X X X X
X X 3 4 X X X X X X
X X X 3 4 X X X X X
X X X X 3 4 X X X X
X X X X X 3 4 X X X
X X X X X X 3 4 X X
X X X X X X X 3 4 X
X X X X X X X X 3 4
4 3 X X X X X X X X
X 4 3 X X X X X X X
X X 4 3 X X X X X X
X X X 4 3 X X X X X
X X X X 4 3 X X X X
X X X X X 4 3 X X X
X X X X X X 4 3 X X
X X X X X X X 4 3 X
X X X X X X X X 4 3
Poichè questi eventi sono mutuamente esclusivi
P(E1o E2 o....o E18 ) = P(E1 ) + P(E2 ) +..+ P(E18) = 18 * (1/10 * 1/9) =
= 1/5
1.5. – Probabilità di eventi indipendenti ma non mutuamente esclusivi.
Se A e B sono eventi indipendenti e non sono mutuamente esclusivi, la
probabilità che si verifichi almeno uno di essi è uguale alla somma delle singole
probabilità meno la probabilità che essi si presentino contemporaneamente.
P(A e/o B) = P(A) + P(B) - P(AB)
Esempio 1.5.1: Trovare la probabilità di estrarre almeno un dado esagonale con
due estrazioni dalla cassa dell'esempio 4.
Se indichiamo con P(A1) la probabilità di estrarre un dado alla prima estrazione,
con P(A2) la probabilità di estrarre un dado nella seconda, e con P(A1A2) la
probabilità di estrarre un dado ambedue le volte, sarà:
P(A1 e/o A2 ) = 0,66 + 0,66 - 0,44 = 0,88
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Esempio 1.5.2: Qual'è la probabilità di ottenere almeno una testa lanciando 2 monetine?
P(T1 e/o T2 ) = P(T1) + P(T2) - P(T1T2) = 0,5 + 0,5 - 0,25 = 0,75
1.6. – Teorema di Bernoulli.
Un evento può manifestarsi con due modalità A e B mutuamente esclusive.
Disponiamo di una stima della probabilità che si manifesti la modalità A, ossia
p(A). Conosciamo quindi anche la probabilità della modalità complementare
p(B) = 1 - p(A). Realizzando n osservazioni ci chiediamo quale sia la probabilità
che A si manifesti k volte. La espressione di Bernoulli, ottenuta mediante l'applicazione ripetuta delle regole precedenti, si scrive
pk =
n k
p (1 p) n
k
k
dove
n
n!
=
k k!(n k )!
Esempio 1.6.1: Trovare la probabilità che, lanciando 10 volte una monetina, appaia
sempre testa.
pk =
poichè p =0,5; n=10; k=10;
n k (n
p q
k
k)
n
=1; si ottiene:
k
pk = (0,5)10 = 0,001
Esempio 1.6.2 : Una cassa contiene dadi esagonali (10%) ed ottagonali (90%).
Qual'è la probabilità che estraendo 4 dadi ve ne siano almeno 3 esagonali?
p(almeno 3) = p(3)+p(4) =
=
4
3
(0,1)3 (0,9)1 +
4
4
(0,1)4 (0,9)0 = 3,6 10
3
+ 10 10
3
= 0,0037
Si osservi che per poter applicare l'espressione di Bernoulli, occorre che ad ogni
successiva estrazione o osservazione, ci si ritrovi nelle condizioni probabilistiche
iniziali. In particolare, nel caso dell'esempio 14 la risposta è rigorosamente valida soltanto in due casi: rimettendo il dado nella cassa dopo ogni estrazione, oppure,
ciò che è equivalente, se la cassa contiene un numero infinito di dadi.
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Esempio 1.6.3: Per la cassa dell'esempio 14, valutare la probabilità di estrarre un
esagonale su 4 dadi estratti, sapendo però che la cassa contiene solo 20 dadi e che
dopo ogni estrazione i dadi non vengono rimessi a posto.
In partenza, la cassa contiene 2 dadi esagonali (E) e 18 dadi ottagonali (O). La
probabilità che il primo dado sia esagonale è 2/20. Avendo estratto questo dado esagonale, le probabilità che il secondo, terzo e quarto non siano esagonali sono 18/19,
17/18, 16/17 (al numeratore vi è sempre il numero di O nella cassa, ed al denominatore E + O).
La probabilità di estrarre un solo esagonale come primo dado sarà:
2 18 17 16
= 0,0842
20 19 18 17
La probabilità di realizzare estrazioni in cui solo il secondo, solo il terzo o solo il
quarto dado sia esagonale, sono uguali a questa. Quindi la probabilità di estrarre
un solo dado esagonale sarà:,
p(1) = p(primo solo esagonale) + p(secondo solo esagonale) +
+ p(terzo solo esagonale) + p(quarto solo esagonale) =
4 * 0,0842 = 0,3368
1.7. - Teorema di Bayes.
Siano H1, H2, ..., Hn n ipotesi di cui l'una esclude tutte le altre e che costituiscono un insieme completo (comprendente cioè tutte le possibilità). Sia inoltre
nota a priori la probabilità P(Hi), (i=1,2,...,n) che ciascuna delle n ipotesi fatte sia
vera. Si supponga ora osservato un certo evento A. Si vuole conoscere la P(Hi A),
cioè come modificare la valutazione della probabilità di verità di H utilizzando
l'informazione costituita dall'aver osservato A.
P( H i | A ) =
P( A | H i ) P(H i )
n
i =1
P( A | H i ) P( H i )
Esempio 1.7.1 : A e B sono due magazzini contenenti pezzi meccanici. È noto che i
pezzi contenuti in A sono difettosi al 10% mentre quelli di B lo sono al 20%. Facendo
prelevare 5 pezzi da un unico magazzino, se ne trovano tre difettosi. Si vuol sapere
qual'è la probabilità che i pezzi provengano dal magazzino A.
Posto:
C
= esame di cinque pezzi di cui 3 risultano difettosi.
P(A|C)
= Probabilità che, avendo osservato C, i pezzi prelevati provengano da A.
P(B|C)
= Probabilità che, avendo osservato C, i pezzi prelevati provengano da B.
P(C|A)
= Probabilità che, avendo prelevato i cinque pezzi da A, l'esame ne mostri 3 difettosi.
P(C|B)
= Probabilità che, avendo prelevato i cinque pezzi da B, l'esame ne mostri 3 difettosi.
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P(A)
P(B)
= Probabilità a priori di prendere i cinque pezzi da A.
= Probabilità a priori di prendere i 5 pezzi da B.
Per il postulato di equiprobabilità P(A) = P(B) = 50%
Il teorema di Bayes si scriverà
P ( A | C) =
P (C | A ) P ( A )
P(C | A) P(A) + P(C | B) * P(B)
Applicando la regola di Bernoulli, la qual cosa si può fare supponendo che l'universo di A non muti sensibilmente con il prelievo di alcuni pezzi (supponendo cioè che
la probabilità p=10% rimanga costante), si calcola
n k
5
P(C | A) : n = 5; k = 3; P(C | A) =
p (1 p) n k =
0,3 0,2 con p = 0, 1
k
3
P(C | B) =
5
3
0,3 0,8
Sostituendo si ottiene
P(A|C) = 0,137. Si osservi che P(A|C) è detta anche
"probabilità a posteriori" di A, mentre P(A) è la "probabilità a priori". La probabilità
a posteriori di aver preso i pezzi da A è quindi del 13,7% . Come si vede, essa è
nettamente inferiore alla probabilità a priori P(A) = 0.5.
Esempio 1.7.2 : Considerando ancora i due magazzini precedenti, si faccia ora l'ipotesi che, dei 5 pezzi, 4 provengano da un magazzino e 1 dall'altro. Ancora una volta si
trovano 3 pezzi difettosi; si vuol sapere qual'è la probabilità che 4 provengano da A
ed 1 da B.
Detta P(A) la probabilità che 4 pezzi provengano da A e 1 di B e detta P(B)
la probabilità che, invece, 4 provengano da B ed 1
da A, sarà ancora P(A)
= P(B) = 50%
La probabilità cercata è,
P
4A
1B
C
data dall'espressione
P
4A
1B
P C
C =
P C
4A
1B
P(
4A
1B
4A
1B
P(
4A
1B
)+P C
)
4B
P( )
1A 1A
4B
Occorre prima di tutto valutare la probabilità di difetto dei lotti composti da 5 pezzi,
con una media ponderale
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p
p
4
4A
=
1B
0,1 + 1
4
0, 2 + 1
4B
1A
=
0, 2
5
0,1
5
= 0,12
= 0,18
Usando questi valori nell'espressione di Bernoulli
con
n = 5,
k=3
possiamo calcolare le probabilità condizionate che forniscono:
5
P
4A
C =
1B
5
3
3
0,12 3 (1 0,12) 2
0,12 3 (1 0,12) 2 +
= 0,25
5
0,18 3 (1 0,18) 2
3
Risulta così una probabilità a posteriori che l'ipotesi fatta sia vera pari al 25% circa.
1.8. –Teorema di Poisson.
Realizzando "n" prove, ognuna con probabilità "p" di esito positivo, si è visto al punto 3) come sia possibile stimare con la legge di Bernoulli la probabilità
di conseguire "k" successi. Definiamo la nuova variabile,
m = n * p,
il cui significato fisico è quello di "numero medio di successi atteso in n prove indipendenti". Nell'ipotesi di p molto piccolo, n molto grande ed m finito, l'espressione di Bernoulli degenera nella legge di Poisson:
pk =
e
m
mk
k!(*)
Questa legge ha vastissime applicazioni poiché si manifesta per tutti i cosiddetti eventi
rari, quali avarie, incidenti, difetti di fabbricazione, richieste di servizi ecc.
(*) Quando k è grande una valutazione diretta di k! è impossibile. In tal caso si usa una formula approssimata dovuta a Stirling
k! =
2 k kk e
k
dove e=2,71828… è la base dei logaritmi naturali.
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Esempio 1.8.1 - : Al casello di un'autostrada si presentano in media 2 automezzi al
minuto. Qual'è la probabilità che in un dato minuto l'affluenza sia maggiore di 4 automezzi/min?
P(>4)= 1- P0 -P1 - P2 - P3 - P4 =
=1
4
2 i
e
2
= 1 0,94738 = 0,05262
i!
i =0
Esempio 1.8.2 : In Italia si verificano in media 30 decessi al giorno per incidenti stradali. Si domanda se è più probabile che il 15 Gennaio 2006 se ne osserveranno 29
oppure 31.
Questo è appunto un caso in cui p
0 (probabilità di morte per chi circola),
mentre n
(numero di automezzi circolanti) ed
m = n * p = 30 (numero medio di decessi quotidiani).
30 29
e 30 30 31
P31 =
29!
31!
Volendo sapere quale dei due casi è più probabile, basterà calcolare il rapporto
P31/P29 = 0,97
Risulta così più probabile l'evento che prevede il minor numero di decessi (29).
P29 =
e
30
Esempio 1.8.3: Un magazzino contiene lo 0,1% di materiali difettosi.
a) se formo delle casse con 1200 pezzi ciascuna qual'è la probabilità che ogni cassa
non contenga pezzi difettosi?
b) Qual'è la probabilità che contengano al massimo 2 pezzi difettosi?
Essendo il numero delle osservazioni elevato (n=1200 pezzi) e la probabilità (che ogni
pezzo sia difettoso) bassa, applico la formula di Poisson con m = n * p = 1200 *
0,001 = 1,2
P(0 difettosi ) =
P(0 o 1 o 2) =
e
e
1, 2
* 1,2 0
= 0,301
0!
1, 2
* 1,2 0 e
+
0!
1, 2
* 1,2 1 e
+
1!
1, 2
* 1,2 2
=
2!
=0,301+0,360+0,216=0,877
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CAPITOLO I ............................................................................................................................................. 1
1 - CALCOLO DELLE PROBABILITÀ ............................................................................................................ 2
1.1 - Definizioni ................................................................................................................................... 2
1.2. – Probabilità condizionata. .......................................................................................................... 2
1.3. - Combinazioni di probabilità....................................................................................................... 4
1.3.1. – Probabilità di due eventi simultanei. ................................................................................... 5
1.3.2. – Probabilità di più eventi simultanei..................................................................................... 5
1.4. - Teorema dell'addizione.............................................................................................................. 5
1.4.1. – Probabilità di eventi mutuamente esclusivi......................................................................... 6
1.5. – Probabilità di eventi indipendenti ma non mutuamente esclusivi............................................. 6
1.6. – Teorema di Bernoulli. ................................................................................................................ 8
1.7. - Teorema di Bayes. ..................................................................................................................... 9
1.8. –Teorema di Poisson................................................................................................................... 10
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