Teorema. Non esiste nessun numero razionale x ∈ Q tale che x2 = 2.
Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che esista x ∈ Q tale che x2 = 2.
p
Scriviamo x come x = dove p, q ∈ IN sono primi tra loro.
q
Allora
x2 =
p2
= 2.
q2
(1)
Dalla (1) segue che
p2 = 2q 2
(2)
e quindi p è pari.
Infatti se si suppone per assurdo che p sia dispari cioè che si possa scrivere
p = 2n+1 allora si trova p2 = 4n2 +4n+1 che è la somma di due numeri pari
(4n2 e 4n) ed un dispari 1, e dunque è dispari, il che contraddice l’assunzione
che p2 è pari.
Allora possiamo scrivere p = 2n con n ∈ IN .
Sostituendolo nella (2)
4n2 = 2q 2
ovvero
2n2 = q 2
dunque anche q è pari, il che contraddice l’ipotesi che p, q sono primi tra
loro.
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